Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklniswwlkn2 Structured version   Unicode version

Theorem wlklniswwlkn2 25104
 Description: A walk of length n as word corresponds to the sequence of vertices in a walk of length n in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlklniswwlkn2 USGrph WWalksN Walks
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem wlklniswwlkn2
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 25090 . . 3 WWalksN Word
2 simpl 455 . . . . . 6
32adantr 463 . . . . 5 Word
4 simpr 459 . . . . . 6
54adantr 463 . . . . 5 Word
6 simpl 455 . . . . . 6 Word
76adantl 464 . . . . 5 Word
8 iswwlkn 25088 . . . . 5 WWalksN WWalks
93, 5, 7, 8syl3anc 1230 . . . 4 Word WWalksN WWalks
10 lencl 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
1110nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . 13 Word
1211adantl 464 . . . . . . . . . . . 12 Word
13 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . 12 Word
14 nn0cn 10845 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 Word
1612, 13, 15subadd2d 9985 . . . . . . . . . . 11 Word
17 eqcom 2411 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl6rbb 262 . . . . . . . . . 10 Word
1918adantl 464 . . . . . . . . 9 Word
2019biimpcd 224 . . . . . . . 8 Word
2120adantl 464 . . . . . . 7 WWalks Word
2221impcom 428 . . . . . 6 Word WWalks
23 wlkiswwlk2 25101 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph WWalks Walks
2423com12 29 . . . . . . . . . . . 12 WWalks USGrph Walks
2524adantr 463 . . . . . . . . . . 11 WWalks USGrph Walks
2625adantl 464 . . . . . . . . . 10 Word WWalks USGrph Walks
2726imp 427 . . . . . . . . 9 Word WWalks USGrph Walks
28 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12 Word WWalks USGrph Walks Walks
29 wlklenvm1 24936 . . . . . . . . . . . 12 Walks
3028, 29jccir 537 . . . . . . . . . . 11 Word WWalks USGrph Walks Walks
3130ex 432 . . . . . . . . . 10 Word WWalks USGrph Walks Walks
3231eximdv 1731 . . . . . . . . 9 Word WWalks USGrph Walks Walks
3327, 32mpd 15 . . . . . . . 8 Word WWalks USGrph Walks
34 eqeq2 2417 . . . . . . . . . 10
3534anbi2d 702 . . . . . . . . 9 Walks Walks
3635exbidv 1735 . . . . . . . 8 Walks Walks
3733, 36syl5ib 219 . . . . . . 7 Word WWalks USGrph Walks
3837expd 434 . . . . . 6 Word WWalks USGrph Walks
3922, 38mpcom 34 . . . . 5 Word WWalks USGrph Walks
4039ex 432 . . . 4 Word WWalks USGrph Walks
419, 40sylbid 215 . . 3 Word WWalksN USGrph Walks
421, 41mpcom 34 . 2 WWalksN USGrph Walks
4342com12 29 1 USGrph WWalksN Walks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842  cvv 3058   class class class wbr 4394  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc 9519  c1 9522   caddc 9524   cmin 9840  cn0 10835  chash 12450  Word cword 12581   USGrph cusg 24734   Walks cwalk 24902   WWalks cwwlk 25081   WWalksN cwwlkn 25082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-usgra 24737  df-wlk 24912  df-wwlk 25083  df-wwlkn 25084 This theorem is referenced by:  wlklniswwlkn  25105
 Copyright terms: Public domain W3C validator