Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklniswwlkn1 Structured version   Unicode version

Theorem wlklniswwlkn1 24998
 Description: The sequence of vertices in a walk of length n is a walk as word of length n in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlklniswwlkn1 USGrph Walks WWalksN

Proof of Theorem wlklniswwlkn1
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 24822 . . . 4 Walks
21adantr 463 . . 3 Walks
3 wlkiswwlk1 24989 . . . . . . . . 9 USGrph Walks WWalks
43com12 29 . . . . . . . 8 Walks USGrph WWalks
54adantr 463 . . . . . . 7 Walks USGrph WWalks
65adantl 464 . . . . . 6 Walks USGrph WWalks
76imp 427 . . . . 5 Walks USGrph WWalks
8 2mwlk 24820 . . . . . . . . . 10 Walks Word
9 ffn 5668 . . . . . . . . . . . 12
10 hashfn 12396 . . . . . . . . . . . 12
11 hashfz0 12444 . . . . . . . . . . . . . 14
12113ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . 13
13 eqeq1 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
1413eqcoms 2412 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 14syl5ib 219 . . . . . . . . . . . 12
169, 10, 153syl 20 . . . . . . . . . . 11
1716adantl 464 . . . . . . . . . 10 Word
188, 17syl 17 . . . . . . . . 9 Walks
1918adantr 463 . . . . . . . 8 Walks
20 oveq1 6239 . . . . . . . . . 10
2120eqeq2d 2414 . . . . . . . . 9
2221adantl 464 . . . . . . . 8 Walks
2319, 22sylibd 214 . . . . . . 7 Walks
2423impcom 428 . . . . . 6 Walks
2524adantr 463 . . . . 5 Walks USGrph
26 simpl2l 1048 . . . . . . . 8 Walks
27 simpl2r 1049 . . . . . . . 8 Walks
28 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . 13
2928biimpcd 224 . . . . . . . . . . . 12
30293ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . 11
3130com12 29 . . . . . . . . . 10
3231adantl 464 . . . . . . . . 9 Walks
3332impcom 428 . . . . . . . 8 Walks
3426, 27, 333jca 1175 . . . . . . 7 Walks
3534adantr 463 . . . . . 6 Walks USGrph
36 iswwlkn 24983 . . . . . 6 WWalksN WWalks
3735, 36syl 17 . . . . 5 Walks USGrph WWalksN WWalks
387, 25, 37mpbir2and 921 . . . 4 Walks USGrph WWalksN
3938ex 432 . . 3 Walks USGrph WWalksN
402, 39mpancom 667 . 2 Walks USGrph WWalksN
4140com12 29 1 USGrph Walks WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840  cvv 3056   class class class wbr 4392   cdm 4940   wfn 5518  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443  cn0 10754  cfz 11641  chash 12357  Word cword 12488   USGrph cusg 24629   Walks cwalk 24797   WWalks cwwlk 24976   WWalksN cwwlkn 24977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-hash 12358  df-word 12496  df-usgra 24632  df-wlk 24807  df-wwlk 24978  df-wwlkn 24979 This theorem is referenced by:  wlklniswwlkn  25000
 Copyright terms: Public domain W3C validator