Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlk2 Structured version   Unicode version

Theorem wlkiswwlk2 24995
 Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlk2 USGrph WWalks Walks
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem wlkiswwlk2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlkprop 24983 . . 3 WWalks Word
2 iswwlk 24981 . . . . 5 WWalks Word ..^
323adant3 1017 . . . 4 Word WWalks Word ..^
4 ovex 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
5 mptexg 6079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
64, 5mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word USGrph ..^
7 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word USGrph USGrph
87adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word USGrph USGrph
9 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Word
109adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word USGrph Word
11 hashge1 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word
1211ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
1312adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word USGrph
148, 10, 133jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word USGrph USGrph Word
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word USGrph ..^ USGrph Word
16 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
1716wlkiswwlk2lem6 24994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph Word ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ ..^
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word USGrph ..^ ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ ..^
19 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ Word ..^ Word
20 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
2120oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
2221feq2d 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
2320oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^ ..^ ..^
24 fveq1 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
2524fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
2625eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
2723, 26raleqbidv 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
2819, 22, 273anbi123d 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ Word ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ ..^
2928imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ ..^
3029adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word USGrph ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ ..^
3118, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word USGrph ..^ ..^ Word ..^
326, 31spcimedv 3142 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word USGrph ..^ Word ..^
3332ex 432 . . . . . . . . . . . 12 Word Word USGrph ..^ Word ..^
3433com23 78 . . . . . . . . . . 11 Word ..^ Word USGrph Word ..^
35343impia 1194 . . . . . . . . . 10 Word ..^ Word USGrph Word ..^
3635expd 434 . . . . . . . . 9 Word ..^ Word USGrph Word ..^
3736impcom 428 . . . . . . . 8 Word Word ..^ USGrph Word ..^
3837imp 427 . . . . . . 7 Word Word ..^ USGrph Word ..^
39 3simpa 994 . . . . . . . . . . . 12 Word
40 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . 14
4140jctl 539 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
42413ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
4339, 42jca 530 . . . . . . . . . . 11 Word Word
4443adantr 463 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ Word
4544adantr 463 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ USGrph Word
46 iswlk 24818 . . . . . . . . 9 Word Walks Word ..^
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 Word Word ..^ USGrph Walks Word ..^
4847exbidv 1735 . . . . . . 7 Word Word ..^ USGrph Walks Word ..^
4938, 48mpbird 232 . . . . . 6 Word Word ..^ USGrph Walks
5049ex 432 . . . . 5 Word Word ..^ USGrph Walks
5150ex 432 . . . 4 Word Word ..^ USGrph Walks
523, 51sylbid 215 . . 3 Word WWalks USGrph Walks
531, 52mpcom 34 . 2 WWalks USGrph Walks
5453com12 29 1 USGrph WWalks Walks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  cvv 3058  c0 3737  cpr 3973   class class class wbr 4394   cmpt 4452  ccnv 4941   cdm 4942   crn 4943  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6234  cc0 9442  c1 9443   caddc 9445   cle 9579   cmin 9761  cfz 11643  ..^cfzo 11767  chash 12359  Word cword 12490   USGrph cusg 24628   Walks cwalk 24796   WWalks cwwlk 24975 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-hash 12360  df-word 12498  df-usgra 24631  df-wlk 24806  df-wwlk 24977 This theorem is referenced by:  wlkiswwlk  24996  wlklniswwlkn2  24998
 Copyright terms: Public domain W3C validator