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Theorem wlkiswwlk2 24995
Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlk2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) )
Distinct variable groups:    f, E    P, f    f, V

Proof of Theorem wlkiswwlk2
Dummy variables  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlkprop 24983 . . 3  |-  ( P  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  P  e. Word  V ) )
2 iswwlk 24981 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
323adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4 ovex 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  e.  _V
5 mptexg 6079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )  e.  _V )
64, 5mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. 
_V )
7 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E )  ->  V USGrph  E )
87adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  V USGrph  E )
9 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  P  e. Word  V )
109adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  P  e. Word  V
)
11 hashge1 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  P  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  P
) )
1211ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  1  <_  ( # `  P
) )
1312adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  1  <_  ( # `
 P ) )
148, 10, 133jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  1  <_  ( # `  P
) ) )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  1  <_  ( # `  P
) ) )
16 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
1716wlkiswwlk2lem6 24994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  1  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
19 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( f  e. Word  dom  E  <-> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )  e. Word  dom  E
) )
20 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( # `  f )  =  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2120oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( 0 ... ( # `
 f ) )  =  ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
2221feq2d 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  <-> 
P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V ) )
2320oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( 0..^ ( # `  f ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) ) ) )
24 fveq1 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )
2524fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( E `  (
f `  i )
)  =  ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) ) )
2625eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( E `  ( f `  i
) )  =  {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  <-> 
( E `  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
2723, 26raleqbidv 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
2819, 22, 273anbi123d 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
2928imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3029adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3118, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
326, 31spcimedv 3142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
3332ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3433com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) ) )
35343impia 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
3635expd 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3736impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
3837imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
39 3simpa 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
40 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
4140jctl 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
f  e.  _V  /\  P  e. Word  V )
)
42413ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
f  e.  _V  /\  P  e. Word  V )
)
4339, 42jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  P  e. Word  V ) ) )
4443adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  P  e. Word  V ) ) )
4544adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
f  e.  _V  /\  P  e. Word  V )
) )
46 iswlk 24818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  P  e. Word  V ) )  ->  ( f
( V Walks  E ) P 
<->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( f
( V Walks  E ) P 
<->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4847exbidv 1735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E. f  f ( V Walks 
E ) P  <->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4938, 48mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f 
f ( V Walks  E
) P )
5049ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f 
f ( V Walks  E
) P ) )
5150ex 432 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) ) )
523, 51sylbid 215 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) ) )
531, 52mpcom 34 . 2  |-  ( P  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) )
5453com12 29 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   {cpr 3973   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4941   dom cdm 4942   ran crn 4943   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    <_ cle 9579    - cmin 9761   ...cfz 11643  ..^cfzo 11767   #chash 12359  Word cword 12490   USGrph cusg 24628   Walks cwalk 24796   WWalks cwwlk 24975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-hash 12360  df-word 12498  df-usgra 24631  df-wlk 24806  df-wwlk 24977
This theorem is referenced by:  wlkiswwlk  24996  wlklniswwlkn2  24998
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