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Theorem wlkiswwlk2 30502
Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlk2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) )
Distinct variable groups:    f, E    P, f    f, V

Proof of Theorem wlkiswwlk2
Dummy variables  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlkprop 30490 . . 3  |-  ( P  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  P  e. Word  V ) )
2 iswwlk 30488 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
323adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4 ovex 6228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  e.  _V
5 mptexg 6059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )  e.  _V )
64, 5mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. 
_V )
7 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E )  ->  V USGrph  E )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  V USGrph  E )
9 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  P  e. Word  V )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  P  e. Word  V
)
11 hashge1 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  P  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  P
) )
1211ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  1  <_  ( # `  P
) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  1  <_  ( # `
 P ) )
148, 10, 133jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  1  <_  ( # `  P
) ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  1  <_  ( # `  P
) ) )
16 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
1716wlkiswwlk2lem6 30501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  1  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
19 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( f  e. Word  dom  E  <-> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )  e. Word  dom  E
) )
20 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( # `  f )  =  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2120oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( 0 ... ( # `
 f ) )  =  ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
2221feq2d 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  <-> 
P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V ) )
2320oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( 0..^ ( # `  f ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) ) ) )
24 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )
2524fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( E `  (
f `  i )
)  =  ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) ) )
2625eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( E `  ( f `  i
) )  =  {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  <-> 
( E `  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
2723, 26raleqbidv 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
2819, 22, 273anbi123d 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
2928imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) )  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) ) ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3118, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
326, 31spcimedv 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3433com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) ) )
35343impia 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
3635expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) ) )
3736impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
3837imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
39 3simpa 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
40 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
4140jctl 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
f  e.  _V  /\  P  e. Word  V )
)
42413ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
f  e.  _V  /\  P  e. Word  V )
)
4339, 42jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  P  e. Word  V ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  P  e. Word  V ) ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
f  e.  _V  /\  P  e. Word  V )
) )
46 iswlk 23605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  P  e. Word  V ) )  ->  ( f
( V Walks  E ) P 
<->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( f
( V Walks  E ) P 
<->  ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4847exbidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E. f  f ( V Walks 
E ) P  <->  E. f
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4938, 48mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
)  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f 
f ( V Walks  E
) P )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f 
f ( V Walks  E
) P ) )
5150ex 434 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) ) )
523, 51sylbid 215 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) ) )
531, 52mpcom 36 . 2  |-  ( P  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V USGrph  E  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) )
5453com12 31 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  ->  E. f  f ( V Walks  E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   {cpr 3990   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   ran crn 4952   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    <_ cle 9534    - cmin 9710   ...cfz 11558  ..^cfzo 11669   #chash 12224  Word cword 12343   USGrph cusg 23443   Walks cwalk 23584   WWalks cwwlk 30482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-usgra 23445  df-wlk 23594  df-wwlk 30484
This theorem is referenced by:  wlkiswwlk  30503  wlklniswwlkn2  30505
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