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Theorem wlkiswwlk1 30350
Description: The sequence of vertices in a walk is a walk as word in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlk1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Walks  E ) P  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )

Proof of Theorem wlkiswwlk1
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 23455 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2 wlkn0 30305 . . . . 5  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  P  =/=  (/) )
3 iswlk 23448 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P  =/=  (/) )
5 ffz0iswrd 12276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  e. Word  V )
653ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  P  e. Word  V )
76adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  ->  P  e. Word  V )
87adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P  e. Word  V )
9 lencl 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  (
# `  F )  e.  NN0 )
10 hashfzdm 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )
11 nn0cn 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  CC )
12 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
13 pncan 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  F
) )
1413eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1511, 12, 14sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
17 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  =  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
1817eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
1918eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 )  <-> 
( # `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
2016, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( (
( # `  F )  e.  NN0  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
2110, 20mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
229, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2423oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
2524raleqdv 2944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
26 usgrafun 23299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  Fun  E )
2827ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  Fun  E )
29 wrdf 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
30 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3121eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  -  1 )  =  ( # `  F ) )
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  -  1 )  =  ( # `  F ) )
3332oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
3433eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  <-> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
3630, 35ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
3736exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
3829, 9, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
4228, 41jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( Fun  E  /\  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  -> 
( Fun  E  /\  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
44 fvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Fun  E  /\  ( F `  i )  e.  dom  E )  -> 
( E `  ( F `  i )
)  e.  ran  E
)
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  i )
)  e.  ran  E
)
46 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `  i ) )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `  i
) )  e.  ran  E ) )
4746eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `
 i ) )  e.  ran  E ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  -> 
( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <-> 
( E `  ( F `  i )
)  e.  ran  E
) )
4945, 48mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5150ralimdva 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5225, 51sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5352exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
)  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
5453com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) ) )
55543impia 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5655impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
584, 8, 573jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5958ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
60 iswwlk 30343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
6160bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6359, 62sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6463exp4b 607 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  ( P  =/=  (/)  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) ) )
653, 64sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( P  =/=  (/)  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) ) )
662, 65mpdi 42 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
67663adant1 1006 . . 3  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
681, 67mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6968com12 31 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Walks  E ) P  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   _Vcvv 2993   (/)c0 3658   {cpr 3900   class class class wbr 4313   dom cdm 4861   ran crn 4862   Fun wfun 5433   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    - cmin 9616   NN0cn0 10600   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   #chash 12124  Word cword 12242   USGrph cusg 23286   Walks cwalk 23427   WWalks cwwlk 30337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250  df-usgra 23288  df-wlk 23437  df-wwlk 30339
This theorem is referenced by:  wlkiswwlk  30358  wlklniswwlkn1  30359
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