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Theorem wlkiswwlk1 24513
Description: The sequence of vertices in a walk is a walk as word in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlk1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Walks  E ) P  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )

Proof of Theorem wlkiswwlk1
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 24346 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2 wlkn0 24350 . . . . 5  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  P  =/=  (/) )
3 iswlk 24343 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
4 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P  =/=  (/) )
5 ffz0iswrd 12549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  e. Word  V )
653ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  P  e. Word  V )
76adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  ->  P  e. Word  V )
87adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P  e. Word  V )
9 lencl 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  (
# `  F )  e.  NN0 )
10 hashfzdm 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )
11 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  CC )
12 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
13 pncan 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  F
) )
1413eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1511, 12, 14sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
17 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  =  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
1817eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
1918eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 )  <-> 
( # `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
2016, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( (
( # `  F )  e.  NN0  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
2110, 20mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
229, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2423oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
2524raleqdv 3069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
26 usgrafun 24172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  Fun  E )
2827ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  Fun  E )
29 wrdf 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
30 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3121eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  -  1 )  =  ( # `  F ) )
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  -  1 )  =  ( # `  F ) )
3332oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
3433eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  <-> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
3630, 35ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
3736exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
3829, 9, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
4228, 41jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( Fun  E  /\  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  -> 
( Fun  E  /\  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
44 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Fun  E  /\  ( F `  i )  e.  dom  E )  -> 
( E `  ( F `  i )
)  e.  ran  E
)
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  i )
)  e.  ran  E
)
46 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `  i ) )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `  i
) )  e.  ran  E ) )
4746eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `
 i ) )  e.  ran  E ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  -> 
( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <-> 
( E `  ( F `  i )
)  e.  ran  E
) )
4945, 48mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  /\  ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )
)  /\  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5150ralimdva 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5225, 51sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
) )  /\  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5352exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E
)  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
5453com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) ) )
55543impia 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5655impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
584, 8, 573jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  /\  ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5958ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
60 iswwlk 24506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
6160bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6359, 62sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( P  =/=  (/)  /\  V USGrph  E )  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6463exp4b 607 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  ( P  =/=  (/)  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) ) )
653, 64sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( P  =/=  (/)  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) ) )
662, 65mpdi 42 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
67663adant1 1014 . . 3  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
681, 67mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6968com12 31 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Walks  E ) P  ->  P  e.  ( V WWalks  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {cpr 4035   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ran crn 5006   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    - cmin 9817   NN0cn0 10807   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   USGrph cusg 24153   Walks cwalk 24321   WWalks cwwlk 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-usgra 24156  df-wlk 24331  df-wwlk 24502
This theorem is referenced by:  wlkiswwlk  24521  wlklniswwlkn1  24522
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