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Theorem wlkdvspthlem 23474
Description: Lemma for wlkdvspth 23475. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspthlem  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Distinct variable groups:    k, F    k, E    P, k
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem wlkdvspthlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12232 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
43fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  x )
) )
5 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  k )  =  ( P `  x ) )
6 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
85, 7preq12d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
94, 8eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) } ) )
109rspcva 3066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
11 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
1211fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
13 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  k )  =  ( P `  y ) )
14 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  y  ->  (
k  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) ) )
1613, 15preq12d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
1712, 16eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  y
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
1817rspcva 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
19 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2221com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2310, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2423impancom 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2524com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2625pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
2726impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
28 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
29 eqtr2 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  ( E `
 ( F `  x ) )  /\  ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  ( E `  ( F `  x ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
3130eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
32 eqtr2 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
3431, 33syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
3534com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) )
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
37 elfzofz 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
38 elfzofz 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
3937, 38anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
4039anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
42 f1fveq 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 y )  <->  x  =  y ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  x  =  y ) )
4443notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  -.  x  =  y ) )
4544biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V )
47 fzofzp1 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
48 fzofzp1 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
4947, 48anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  /\  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )
51 f1fveq 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  <->  ( x  + 
1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
5246, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  ( x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
53 elfzoelz 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ZZ )
5453zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  CC )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  x  e.  CC )
56 elfzoelz 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
5756zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  y  e.  CC )
60 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  1  e.  CC )
6255, 59, 61addcan2d 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 )  <->  x  =  y ) )
6352, 62bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  x  =  y ) )
6463notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  -.  x  =  y ) )
65 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) )
6664, 65syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6766com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6845, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
69 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 y )  e. 
_V
70 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( y  +  1 ) )  e. 
_V
71 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 x )  e. 
_V
72 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  e. 
_V
7369, 70, 71, 72preq12b 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  <->  ( (
( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
74 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
7574eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
76 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7776eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7875, 77im2anan9r 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8078, 79jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) )  ->  ( ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  /\  ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
) ) ) )
8173, 80sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
( -.  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8237, 48anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
83 f1fveq 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
)  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8482, 83sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8584biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8685ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8747, 38anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
88 f1fveq 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( x  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  <->  y  =  ( x  +  1 ) ) )
8987, 88sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9089ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9190biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  y  =  ( x  +  1
) )
92 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( x  +  1 )  +  1 ) )
9392eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9560a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  1  e.  CC )
9654, 95, 953jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
98 addass 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( x  +  1 )  +  1 )  =  ( x  +  ( 1  +  1 ) ) )
9998eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
10097, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
( x  +  1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
101 1p1e2 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  +  1 )  =  2
102101oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( x  +  2 )
103102eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  ( x  +  2 )  =  x )
104 zcn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
105 2cn 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  2  e.  CC
106104, 105jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  CC  /\  2  e.  CC )
)
107 addcl 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( x  +  2 )  e.  CC )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  2 )  e.  CC )
109108, 104, 1043jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
110 subcan2 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  ( x  -  x )  <->  ( x  +  2 )  =  x ) )
111110bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
11253, 109, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
113 pncan2 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  2 )
11453, 106, 1133syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  2 )
11554subidd 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  -  x )  =  0 )
116114, 115eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
( x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x )  <->  2  = 
0 ) )
117112, 116bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
118103, 117syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
12094, 100, 1193bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
121 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  2  =/=  0
122 df-ne 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
123 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( 2  =  0  ->  x  =  y ) )
124122, 123sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
2  =  0  ->  x  =  y )
)
125121, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( 2  =  0  ->  x  =  y )
126120, 125syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  =  ( x  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
128127ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y )
) )
12991, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
130129expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
131130com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) )
13286, 131syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
133132pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  ->  x  =  y )
) )
134133com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
135134imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) )
13681, 135syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
137136com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) )
13868, 137syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
140139pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
142141pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
143142pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) )
144143ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
145144com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
146145com14 88 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
14736, 146syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
14828, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  (
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
149148com15 93 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
150149adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
15127, 150mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
152151ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
153152com14 88 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
154153a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
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( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
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1551543imp 1181 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
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156 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
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)
157156a1d 25 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
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158155, 157pm2.61d2 160 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
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( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
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159158ralrimivv 2802 . . . 4  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
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 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
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# `  F )
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( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   {cpr 3874   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   2c2 10363   ZZcz 10638   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221
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