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Theorem wlkdvspthlem 25026
Description: Lemma for wlkdvspth 25027. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspthlem  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Distinct variable groups:    k, F    k, E    P, k
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem wlkdvspthlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12603 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
213ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
43fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  x )
) )
5 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  k )  =  ( P `  x ) )
6 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
85, 7preq12d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
94, 8eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) } ) )
109rspcva 3158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
11 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
1211fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
13 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  k )  =  ( P `  y ) )
14 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  y  ->  (
k  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) ) )
1613, 15preq12d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
1712, 16eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  y
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
1817rspcva 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
19 pm3.2 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2120ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2221com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2423impancom 438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2524com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2625pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
2726impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
28 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
29 eqtr2 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  ( E `
 ( F `  x ) )  /\  ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
3029ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  ( E `  ( F `  x ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
3130eqcoms 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
32 eqtr2 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
3332ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
3431, 33syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
3534com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) )
3635imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
37 elfzofz 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
38 elfzofz 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
3937, 38anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
4039anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
4140ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
42 f1fveq 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 y )  <->  x  =  y ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  x  =  y ) )
4443notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  -.  x  =  y ) )
4544biimparc 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )
46 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V )
47 fzofzp1 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
48 fzofzp1 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
4947, 48anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  /\  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )
51 f1fveq 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  <->  ( x  + 
1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
5246, 50, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  ( x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
53 elfzoelz 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ZZ )
5453zcnd 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  CC )
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  x  e.  CC )
56 elfzoelz 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
5756zcnd 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
5857adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
5958adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  y  e.  CC )
60 1cnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  1  e.  CC )
6155, 59, 60addcan2d 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 )  <->  x  =  y ) )
6252, 61bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  x  =  y ) )
6362notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  -.  x  =  y ) )
64 pm3.2 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) )
6563, 64syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6665com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6745, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
68 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 y )  e. 
_V
69 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( y  +  1 ) )  e. 
_V
70 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 x )  e. 
_V
71 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  e. 
_V
7268, 69, 70, 71preq12b 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  <->  ( (
( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
73 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
7473eqcoms 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
75 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7675eqcoms 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7774, 76im2anan9r 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
78 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
7977, 78jaoi 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) )  ->  ( ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  /\  ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
) ) ) )
8072, 79sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
( -.  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8137, 48anim12ci 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
82 f1fveq 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
)  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8381, 82sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8483biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8584ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8647, 38anim12ci 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
87 f1fveq 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( x  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  <->  y  =  ( x  +  1 ) ) )
8886, 87sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
8988ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9089biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  y  =  ( x  +  1
) )
91 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( x  +  1 )  +  1 ) )
9291eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9392adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
94 1cnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  1  e.  CC )
9554, 94, 943jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
9695ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
97 addass 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( x  +  1 )  +  1 )  =  ( x  +  ( 1  +  1 ) ) )
9897eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
( x  +  1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
100 1p1e2 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  +  1 )  =  2
101100oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( x  +  2 )
102101eqeq1i 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  ( x  +  2 )  =  x )
103 zcn 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
104 2cn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  2  e.  CC
105103, 104jctir 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  CC  /\  2  e.  CC )
)
106 addcl 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( x  +  2 )  e.  CC )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  2 )  e.  CC )
108107, 103, 1033jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
109 subcan2 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  ( x  -  x )  <->  ( x  +  2 )  =  x ) )
110109bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
11153, 108, 1103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
112 pncan2 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  2 )
11353, 105, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  2 )
11454subidd 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  -  x )  =  0 )
115113, 114eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
( x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x )  <->  2  = 
0 ) )
116111, 115bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
117102, 116syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
11993, 99, 1183bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
120 2ne0 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  2  =/=  0
121 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
122 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( 2  =  0  ->  x  =  y ) )
123121, 122sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
2  =  0  ->  x  =  y )
)
124120, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( 2  =  0  ->  x  =  y )
125119, 124syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
126125ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  =  ( x  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
127126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y )
) )
12890, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
129128expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
130129com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) )
13185, 130syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
132131pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  ->  x  =  y )
) )
133132com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
134133imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) )
13580, 134syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
136135com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) )
13767, 136syl8 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
138137ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
139138pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
140139com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
141140pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
142141pm2.43i 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) )
143142ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
144143com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
145144com14 88 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
14636, 145syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
14728, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  (
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
148147com15 93 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
149148adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
15027, 149mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
151150ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
152151com14 88 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
153152a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
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k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
1541533imp 1191 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
155 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
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)
156155a1d 25 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
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 x )  =  ( F `  y
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157154, 156pm2.61d2 160 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
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) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
158157ralrimivv 2824 . . . 4  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
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) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
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1591, 158syl3an1 1263 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
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160 dff13 6147 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
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) )
1612, 159, 160sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
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 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
1622biantrurd 506 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
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( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  Fun  `' F
) ) )
163 df-f1 5574 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
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# `  F )
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 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  F : ( 0..^ ( # `  F
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 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   {cpr 3974   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   Fun wfun 5563   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    - cmin 9841   2c2 10626   ZZcz 10905   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854   #chash 12452  Word cword 12583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591
This theorem is referenced by:  wlkdvspth  25027
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