MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdvspthlem Structured version   Unicode version

Theorem wlkdvspthlem 23641
Description: Lemma for wlkdvspth 23642. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspthlem  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Distinct variable groups:    k, F    k, E    P, k
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem wlkdvspthlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12342 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
43fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  x )
) )
5 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  k )  =  ( P `  x ) )
6 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
85, 7preq12d 4060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
94, 8eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) } ) )
109rspcva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
11 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
1211fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
13 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  k )  =  ( P `  y ) )
14 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  y  ->  (
k  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) ) )
1613, 15preq12d 4060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
1712, 16eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  y
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
1817rspcva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
19 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2221com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2310, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2423impancom 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2524com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2625pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
2726impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
28 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
29 eqtr2 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  ( E `
 ( F `  x ) )  /\  ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  ( E `  ( F `  x ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
3130eqcoms 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
32 eqtr2 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
3431, 33syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
3534com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) )
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
37 elfzofz 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
38 elfzofz 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
3937, 38anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
4039anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
42 f1fveq 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 y )  <->  x  =  y ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  x  =  y ) )
4443notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  -.  x  =  y ) )
4544biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V )
47 fzofzp1 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
48 fzofzp1 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
4947, 48anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  /\  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )
51 f1fveq 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  <->  ( x  + 
1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
5246, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  ( x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
53 elfzoelz 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ZZ )
5453zcnd 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  CC )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  x  e.  CC )
56 elfzoelz 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
5756zcnd 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  y  e.  CC )
60 ax-1cn 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  1  e.  CC )
6255, 59, 61addcan2d 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 )  <->  x  =  y ) )
6352, 62bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  x  =  y ) )
6463notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  -.  x  =  y ) )
65 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) )
6664, 65syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6766com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6845, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
69 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 y )  e. 
_V
70 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( y  +  1 ) )  e. 
_V
71 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 x )  e. 
_V
72 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  e. 
_V
7369, 70, 71, 72preq12b 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  <->  ( (
( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
74 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
7574eqcoms 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
76 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7776eqcoms 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7875, 77im2anan9r 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8078, 79jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) )  ->  ( ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  /\  ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
) ) ) )
8173, 80sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
( -.  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8237, 48anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
83 f1fveq 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
)  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8482, 83sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8584biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8685ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8747, 38anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
88 f1fveq 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( x  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  <->  y  =  ( x  +  1 ) ) )
8987, 88sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9089ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9190biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  y  =  ( x  +  1
) )
92 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( x  +  1 )  +  1 ) )
9392eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9560a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  1  e.  CC )
9654, 95, 953jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
98 addass 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( x  +  1 )  +  1 )  =  ( x  +  ( 1  +  1 ) ) )
9998eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
10097, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
( x  +  1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
101 1p1e2 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  +  1 )  =  2
102101oveq2i 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( x  +  2 )
103102eqeq1i 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  ( x  +  2 )  =  x )
104 zcn 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
105 2cn 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  2  e.  CC
106104, 105jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  CC  /\  2  e.  CC )
)
107 addcl 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( x  +  2 )  e.  CC )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  2 )  e.  CC )
109108, 104, 1043jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
110 subcan2 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  ( x  -  x )  <->  ( x  +  2 )  =  x ) )
111110bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
11253, 109, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
113 pncan2 9718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  2 )
11453, 106, 1133syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  2 )
11554subidd 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  -  x )  =  0 )
116114, 115eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
( x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x )  <->  2  = 
0 ) )
117112, 116bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
118103, 117syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
12094, 100, 1193bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
121 2ne0 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  2  =/=  0
122 df-ne 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
123 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( 2  =  0  ->  x  =  y ) )
124122, 123sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
2  =  0  ->  x  =  y )
)
125121, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( 2  =  0  ->  x  =  y )
126120, 125syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  =  ( x  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
128127ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y )
) )
12991, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
130129expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
131130com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) )
13286, 131syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
133132pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  ->  x  =  y )
) )
134133com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
135134imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) )
13681, 135syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
137136com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) )
13868, 137syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
140139pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
142141pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
143142pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) )
144143ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
145144com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
146145com14 88 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
14736, 146syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
14828, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  (
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
149148com15 93 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
150149adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
15127, 150mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
152151ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
153152com14 88 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
154153a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
1551543imp 1182 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
156 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
157156a1d 25 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
158155, 157pm2.61d2 160 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
159158ralrimivv 2903 . . . 4  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
1601, 159syl3an1 1252 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
161 dff13 6070 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1622, 160, 161sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
1632biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  Fun  `' F
) ) )
164 df-f1 5521 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' F ) )
165163, 164syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
166162, 165mpbird 232 1  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   {cpr 3977   `'ccnv 4937   dom cdm 4938   Fun wfun 5510   -->wf 5512   -1-1->wf1 5513   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    - cmin 9696   2c2 10472   ZZcz 10747   ...cfz 11538  ..^cfzo 11649   #chash 12204  Word cword 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-hash 12205  df-word 12331
This theorem is referenced by:  wlkdvspth  23642
  Copyright terms: Public domain W3C validator