MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdvspthlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wlkdvspthlem 25416
Description: Lemma for wlkdvspth 25417. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspthlem  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Distinct variable groups:    k, F    k, E    P, k
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem wlkdvspthlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12723 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
213ad2ant1 1051 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
43fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  x )
) )
5 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  k )  =  ( P `  x ) )
6 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
85, 7preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
94, 8eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) } ) )
109rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
11 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
1211fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  k )  =  ( P `  y ) )
14 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  y  ->  (
k  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) ) )
1613, 15preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
1712, 16eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  y
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
1817rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
19 pm3.2 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2120ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2221com3r 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2423impancom 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2524com3r 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2625pm2.43a 50 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
2726impcom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
29 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  ( E `
 ( F `  x ) )  /\  ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
3029ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  ( E `  ( F `  x ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
3130eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
32 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
3332ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
3431, 33syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
3534com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) )
3635imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
37 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
38 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
3937, 38anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
4039anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
4140ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
42 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 y )  <->  x  =  y ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  x  =  y ) )
4443notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  -.  x  =  y ) )
4544biimparc 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V )
47 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
48 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
4947, 48anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  /\  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )
51 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  <->  ( x  + 
1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
5246, 50, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  ( x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
53 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ZZ )
5453zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  CC )
5554ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  x  e.  CC )
56 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
5756zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  y  e.  CC )
60 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  1  e.  CC )
6155, 59, 60addcan2d 9855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 )  <->  x  =  y ) )
6252, 61bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  x  =  y ) )
6362notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  -.  x  =  y ) )
64 pm3.2 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) )
6563, 64syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6665com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6745, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
68 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 y )  e. 
_V
69 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( y  +  1 ) )  e. 
_V
70 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 x )  e. 
_V
71 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  e. 
_V
7268, 69, 70, 71preq12b 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  <->  ( (
( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
73 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
7473eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
75 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7675eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7774, 76im2anan9r 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
78 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
7977, 78jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) )  ->  ( ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  /\  ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
) ) ) )
8072, 79sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
( -.  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8137, 48anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
82 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
)  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8381, 82sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8483biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8584ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8647, 38anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
87 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( x  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  <->  y  =  ( x  +  1 ) ) )
8886, 87sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
8988ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9089biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  y  =  ( x  +  1
) )
91 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( x  +  1 )  +  1 ) )
9291eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
94 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  1  e.  CC )
9554, 94, 943jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
97 addass 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( x  +  1 )  +  1 )  =  ( x  +  ( 1  +  1 ) ) )
9897eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
( x  +  1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
100 1p1e2 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  +  1 )  =  2
101100oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( x  +  2 )
102101eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  ( x  +  2 )  =  x )
103 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
104 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  2  e.  CC
105103, 104jctir 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  CC  /\  2  e.  CC )
)
106 addcl 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( x  +  2 )  e.  CC )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  2 )  e.  CC )
108107, 103, 1033jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
109 subcan2 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  ( x  -  x )  <->  ( x  +  2 )  =  x ) )
110109bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
11153, 108, 1103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
112 pncan2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  2 )
11353, 105, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  2 )
11454subidd 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  -  x )  =  0 )
115113, 114eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
( x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x )  <->  2  = 
0 ) )
116111, 115bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
117102, 116syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
118117ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
11993, 99, 1183bitrd 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
120 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  2  =/=  0
121 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
122 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( 2  =  0  ->  x  =  y ) )
123121, 122sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
2  =  0  ->  x  =  y )
)
124120, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( 2  =  0  ->  x  =  y )
125119, 124syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
126125ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  =  ( x  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
127126ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y )
) )
12890, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
129128expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
130129com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) )
13185, 130syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
132131pm2.43a 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  ->  x  =  y )
) )
133132com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
134133imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) )
13580, 134syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
136135com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) )
13767, 136syl8 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
138137ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
139138pm2.43a 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
140139com14 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
141140pm2.43a 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
142141pm2.43i 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) )
143142ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
144143com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
145144com14 90 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
14636, 145syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
14728, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  (
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
148147com15 95 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
149148adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
15027, 149mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
151150ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
152151com14 90 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
153152a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
1541533imp 1224 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
155 2a1 27 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
156154, 155pm2.61d2 165 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
157156ralrimivv 2813 . . . 4  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
1581, 157syl3an1 1325 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
159 dff13 6177 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1602, 158, 159sylanbrc 677 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
1612biantrurd 516 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  Fun  `' F
) ) )
162 df-f1 5594 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' F ) )
163161, 162syl6bbr 271 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
164160, 163mpbird 240 1  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {cpr 3961   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    - cmin 9880   2c2 10681   ZZcz 10961   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711
This theorem is referenced by:  wlkdvspth  25417
  Copyright terms: Public domain W3C validator