MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdvspthlem Structured version   Unicode version

Theorem wlkdvspthlem 25335
Description: Lemma for wlkdvspth 25336. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspthlem  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Distinct variable groups:    k, F    k, E    P, k
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem wlkdvspthlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12680 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
213ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
3 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
43fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  x )
) )
5 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  k )  =  ( P `  x ) )
6 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
85, 7preq12d 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
94, 8eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) } ) )
109rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
11 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
1211fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
13 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  k )  =  ( P `  y ) )
14 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  y  ->  (
k  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  y  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) ) )
1613, 15preq12d 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
1712, 16eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  y
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
1817rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
19 pm3.2 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
2120ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2221com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2423impancom 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2524com3r 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) ) )
2625pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
2726impcom 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
28 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  y )
) )
29 eqtr2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  ( E `
 ( F `  x ) )  /\  ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) } )  -> 
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) } )
3029ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  ( E `  ( F `  x ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
3130eqcoms 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  x
) )  =  {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) } ) )
32 eqtr2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
3332ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
3431, 33syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) ) )
3534com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( E `  ( F `  x )
)  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ) )
3635imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `
 ( F `  y ) )  ->  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) )
37 elfzofz 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
38 elfzofz 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
3937, 38anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
4039anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
4140ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) ) )
42 f1fveq 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0 ... ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 y )  <->  x  =  y ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  x  =  y ) )
4443notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  <->  -.  x  =  y ) )
4544biimparc 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )
46 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V )
47 fzofzp1 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
48 fzofzp1 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
4947, 48anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  /\  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )
51 f1fveq 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  <->  ( x  + 
1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
5246, 50, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  ( x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) ) )
53 elfzoelz 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  ZZ )
5453zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  x  e.  CC )
5554ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  x  e.  CC )
56 elfzoelz 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
5756zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
5857adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  y  e.  CC )
60 1cnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  1  e.  CC )
6155, 59, 60addcan2d 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 )  <->  x  =  y ) )
6252, 61bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  x  =  y ) )
6362notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  <->  -.  x  =  y ) )
64 pm3.2 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) )
6563, 64syl6bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6665com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
6745, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) ) ) ) )
68 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 y )  e. 
_V
69 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( y  +  1 ) )  e. 
_V
70 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 x )  e. 
_V
71 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  e. 
_V
7268, 69, 70, 71preq12b 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  <->  ( (
( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
73 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
7473eqcoms 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  -> 
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
75 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  x )  =  ( P `  y )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7675eqcoms 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  ->  ( -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y )  -> 
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x ) ) )
7774, 76im2anan9r 844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
78 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( -.  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
7977, 78jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P `  y )  =  ( P `  x )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  \/  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) )  ->  ( ( -.  ( P `  (
x  +  1 ) )  =  ( P `
 ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x
)  =  ( P `
 y ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  /\  ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
) ) ) )
8072, 79sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  (
( -.  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  =  ( P `  (
y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `  x )  =  ( P `  y ) )  -> 
( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) ) ) )
8137, 48anim12ci 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
82 f1fveq 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  x  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x
)  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8381, 82sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  <->  ( y  +  1 )  =  x ) )
8483biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8584ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
y  +  1 )  =  x ) )
8647, 38anim12ci 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F ) ) ) )
87 f1fveq 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  /\  ( x  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  <->  y  =  ( x  +  1 ) ) )
8886, 87sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  ( x  e.  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
8988ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
9089biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  y  =  ( x  +  1
) )
91 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( x  +  1 )  +  1 ) )
9291eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
9392adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  ( (
x  +  1 )  +  1 )  =  x ) )
94 1cnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  1  e.  CC )
9554, 94, 943jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
9695ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
97 addass 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( x  +  1 )  +  1 )  =  ( x  +  ( 1  +  1 ) ) )
9897eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
( x  +  1 )  +  1 )  =  x  <->  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x ) )
100 1p1e2 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  +  1 )  =  2
101100oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( x  +  2 )
102101eqeq1i 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  ( x  +  2 )  =  x )
103 zcn 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
104 2cn 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  2  e.  CC
105103, 104jctir 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  CC  /\  2  e.  CC )
)
106 addcl 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( x  +  2 )  e.  CC )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  2 )  e.  CC )
108107, 103, 1033jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
109 subcan2 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  ( x  -  x )  <->  ( x  +  2 )  =  x ) )
110109bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( x  +  2 )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
11153, 108, 1103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x
) ) )
112 pncan2 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
2 )  -  x
)  =  2 )
11353, 105, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  -  x )  =  2 )
11454subidd 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( x  -  x )  =  0 )
115113, 114eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
( x  +  2 )  -  x )  =  ( x  -  x )  <->  2  = 
0 ) )
116111, 115bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  2 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
117102, 116syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
118117ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
x  +  ( 1  +  1 ) )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
11993, 99, 1183bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  <->  2  = 
0 ) )
120 2ne0 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  2  =/=  0
121 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
122 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( 2  =  0  ->  x  =  y ) )
123121, 122sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
2  =  0  ->  x  =  y )
)
124120, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( 2  =  0  ->  x  =  y )
125119, 124syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  y  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
126125ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( y  =  ( x  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
127126ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y )
) )
12890, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  /\  ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) )
129128expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  x  =  y ) ) )
130129com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) )
13185, 130syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( P `
 y )  =  ( P `  (
x  +  1 ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
132131pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x )  ->  (
( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  ->  x  =  y )
) )
133132com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P `  y )  =  ( P `  ( x  +  1
) )  ->  (
( P `  (
y  +  1 ) )  =  ( P `
 x )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
134133imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  y
)  =  ( P `
 ( x  + 
1 ) )  /\  ( P `  ( y  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) )
13580, 134syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  x  =  y ) ) )
136135com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( P `  ( x  +  1
) )  =  ( P `  ( y  +  1 ) )  /\  -.  ( P `
 x )  =  ( P `  y
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) )
13767, 136syl8 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
138137ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
139138pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( {
( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
140139com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) ) )
141140pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
142141pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) )
143142ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) )
-1-1-> V  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
144143com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  =  {
( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  ->  x  =  y ) ) ) )
145144com14 91 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( P `  y
) ,  ( P `
 ( y  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
14636, 145syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  ( F `
 x ) )  =  ( E `  ( F `  y ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  y )
)  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
14728, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  (
( ( E `  ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  x  =  y )
) ) ) )
148147com15 96 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 y ) )  =  { ( P `
 y ) ,  ( P `  (
y  +  1 ) ) }  /\  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
149148adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  y ) )  =  { ( P `  y ) ,  ( P `  ( y  +  1 ) ) }  /\  ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
15027, 149mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
151150ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
152151com14 91 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
153152a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
1541533imp 1199 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
155 2a1 28 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
156154, 155pm2.61d2 163 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
157156ralrimivv 2842 . . . 4  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
1581, 157syl3an1 1297 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
159 dff13 6174 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1602, 158, 159sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
1612biantrurd 510 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  Fun  `' F
) ) )
162 df-f1 5606 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' F ) )
163161, 162syl6bbr 266 . 2  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' F  <->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
164160, 163mpbird 235 1  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) -1-1-> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  Fun  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   {cpr 4000   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   Fun wfun 5595   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    - cmin 9867   2c2 10666   ZZcz 10944   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   #chash 12521  Word cword 12660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668
This theorem is referenced by:  wlkdvspth  25336
  Copyright terms: Public domain W3C validator