Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdvspth Structured version   Unicode version

Theorem wlkdvspth 25180
 Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
wlkdvspth Walks SPaths

Proof of Theorem wlkdvspth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wlk 25078 . . . 4 Walks Word ..^
21brovmpt2ex 6968 . . 3 Walks
3 simpr1 1011 . . . . . . . . . . 11 Word ..^ Word
4 df-f1 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 wlkdvspthlem 25179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^
653exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^
76com3l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ Word
84, 7sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ Word
98expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ Word
109com14 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^
11103imp 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
1211com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
1312adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
1413imp 430 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
153, 14jca 534 . . . . . . . . . 10 Word ..^ Word
16 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10 Word ..^
17 simpr3 1013 . . . . . . . . . 10 Word ..^ ..^
1815, 16, 173jca 1185 . . . . . . . . 9 Word ..^ Word ..^
1918ex 435 . . . . . . . 8 Word ..^ Word ..^
20 iswlk 25090 . . . . . . . . 9 Walks Word ..^
2120adantr 466 . . . . . . . 8 Walks Word ..^
22 istrl 25109 . . . . . . . . 9 Trails Word ..^
2322adantr 466 . . . . . . . 8 Trails Word ..^
2419, 21, 233imtr4d 271 . . . . . . 7 Walks Trails
25 simpr 462 . . . . . . 7
2624, 25jctird 546 . . . . . 6 Walks Trails
27 isspth 25141 . . . . . . . 8 SPaths Trails
2827bicomd 204 . . . . . . 7 Trails SPaths
2928adantr 466 . . . . . 6 Trails SPaths
3026, 29sylibd 217 . . . . 5 Walks SPaths
3130ex 435 . . . 4 Walks SPaths
3231com23 81 . . 3 Walks SPaths
332, 32mpcom 37 . 2 Walks SPaths
3433imp 430 1 Walks SPaths
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867  wral 2773  cvv 3078  cpr 3995   class class class wbr 4417  ccnv 4844   cdm 4845   wfun 5586  wf 5588  wf1 5589  cfv 5592  (class class class)co 6296  cc0 9528  c1 9529   caddc 9531  cfz 11771  ..^cfzo 11902  chash 12501  Word cword 12632   Walks cwalk 25068   Trails ctrail 25069   SPaths cspath 25071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-hash 12502  df-word 12640  df-wlk 25078  df-trail 25079  df-spth 25081 This theorem is referenced by:  usg2wotspth  25454
 Copyright terms: Public domain W3C validator