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Theorem wl-sbalnae 31856
Description: A theorem used in elimination of disjoint variable restrictions by replacing them with distinctors. (Contributed by Wolf Lammen, 25-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-sbalnae  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sbalnae
StepHypRef Expression
1 sb4b 2155 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
2 nfnae 2117 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 2117 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfeqf 2104 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  =  z )
6 19.21t 1963 . . . . . . . 8  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( A. x
( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
76bicomd 204 . . . . . . 7  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x ( y  =  z  ->  ph )
) )
85, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( (
y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
94, 8albid 1940 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
101, 9sylan9bbr 705 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) ) )
11 nfnae 2117 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
12 sb4b 2155 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  z  ->  ph )
) )
1311, 12albid 1940 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) ) )
14 alcom 1899 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) )
1513, 14syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
1615adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
1710, 16bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
1817ex 435 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
19 sbequ12 2051 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
2019sps 1920 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
21 sbequ12 2051 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
2221sps 1920 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( ph  <->  [ z  /  y ] ph ) )
2322dral2 2125 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
2420, 23bitr3d 258 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ z  / 
y ] A. x ph 
<-> 
A. x [ z  /  y ] ph ) )
2518, 24pm2.61d2 163 1  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   F/wnf 1661   [wsb 1790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791
This theorem is referenced by:  wl-sbal1  31857  wl-sbal2  31858
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