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Theorem wl-sb8et 30166
Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8e 2172. (Contributed by Wolf Lammen, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-sb8et  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sb8et
StepHypRef Expression
1 wl-nfnbi 30144 . . . . 5  |-  ( F/ y ph  <->  F/ y  -.  ph )
21albii 1648 . . . 4  |-  ( A. x F/ y ph  <->  A. x F/ y  -.  ph )
3 wl-sb8t 30165 . . . 4  |-  ( A. x F/ y  -.  ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
42, 3sylbi 195 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
5 alnex 1622 . . 3  |-  ( A. x  -.  ph  <->  -.  E. x ph )
6 sbn 2136 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
76albii 1648 . . . 4  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
8 alnex 1622 . . . 4  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
97, 8bitri 249 . . 3  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
104, 5, 93bitr3g 287 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( -.  E. x ph  <->  -. 
E. y [ y  /  x ] ph ) )
1110con4bid 291 1  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1397   E.wex 1620   F/wnf 1624   [wsb 1747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748
This theorem is referenced by:  wl-mo3t  30186  wl-sb8mot  30188
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