Users' Mathboxes Mathbox for Wolf Lammen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wl-sb8et Structured version   Unicode version

Theorem wl-sb8et 31788
Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8e 2230. (Contributed by Wolf Lammen, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-sb8et  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sb8et
StepHypRef Expression
1 wl-nfnbi 31766 . . . . 5  |-  ( F/ y ph  <->  F/ y  -.  ph )
21albii 1685 . . . 4  |-  ( A. x F/ y ph  <->  A. x F/ y  -.  ph )
3 wl-sb8t 31787 . . . 4  |-  ( A. x F/ y  -.  ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
42, 3sylbi 198 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
5 alnex 1659 . . 3  |-  ( A. x  -.  ph  <->  -.  E. x ph )
6 sbn 2196 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
76albii 1685 . . . 4  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
8 alnex 1659 . . . 4  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
97, 8bitri 252 . . 3  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
104, 5, 93bitr3g 290 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( -.  E. x ph  <->  -. 
E. y [ y  /  x ] ph ) )
1110con4bid 294 1  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187   A.wal 1435   E.wex 1657   F/wnf 1661   [wsb 1790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791
This theorem is referenced by:  wl-mo3t  31812  wl-sb8mot  31814
  Copyright terms: Public domain W3C validator