Theorem wl-sb8et 30166

Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8e 2172. (Contributed by Wolf Lammen, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-sb8et	|- ( A. x F/ y ph -> ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sb8et

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wl-nfnbi 30144	. . . . 5 |- ( F/ y ph <-> F/ y -. ph )
2	1	albii 1648	. . . 4 |- ( A. x F/ y ph <-> A. x F/ y -. ph )
3		wl-sb8t 30165	. . . 4 |- ( A. x F/ y -. ph -> ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph ) )
4	2, 3	sylbi 195	. . 3 |- ( A. x F/ y ph -> ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph ) )
5		alnex 1622	. . 3 |- ( A. x -. ph <-> -. E. x ph )
6		sbn 2136	. . . . 5 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
7	6	albii 1648	. . . 4 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
8		alnex 1622	. . . 4 |- ( A. y -. [ y / x ] ph <-> -. E. y [ y / x ] ph )
9	7, 8	bitri 249	. . 3 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> -. E. y [ y / x ] ph )
10	4, 5, 9	3bitr3g 287	. 2 |- ( A. x F/ y ph -> ( -. E. x ph <-> -. E. y [ y / x ] ph ) )
11	10	con4bid 291	1 |- ( A. x F/ y ph -> ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1397   E.wex 1620   F/wnf 1624   [wsb 1747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748

This theorem is referenced by:  wl-mo3t  30186  wl-sb8mot  30188