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Theorem wl-sb8et 31925
Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8e 2264. (Contributed by Wolf Lammen, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-sb8et  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sb8et
StepHypRef Expression
1 wl-nfnbi 31903 . . . . 5  |-  ( F/ y ph  <->  F/ y  -.  ph )
21albii 1701 . . . 4  |-  ( A. x F/ y ph  <->  A. x F/ y  -.  ph )
3 wl-sb8t 31924 . . . 4  |-  ( A. x F/ y  -.  ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
42, 3sylbi 200 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
5 alnex 1675 . . 3  |-  ( A. x  -.  ph  <->  -.  E. x ph )
6 sbn 2230 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
76albii 1701 . . . 4  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
8 alnex 1675 . . . 4  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
97, 8bitri 257 . . 3  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
104, 5, 93bitr3g 295 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( -.  E. x ph  <->  -. 
E. y [ y  /  x ] ph ) )
1110con4bid 299 1  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189   A.wal 1452   E.wex 1673   F/wnf 1677   [wsb 1807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808
This theorem is referenced by:  wl-mo3t  31949  wl-sb8mot  31951
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