Theorem wl-sb8et 31788

Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8e 2230. (Contributed by Wolf Lammen, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-sb8et	|- ( A. x F/ y ph -> ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sb8et

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wl-nfnbi 31766	. . . . 5 |- ( F/ y ph <-> F/ y -. ph )
2	1	albii 1685	. . . 4 |- ( A. x F/ y ph <-> A. x F/ y -. ph )
3		wl-sb8t 31787	. . . 4 |- ( A. x F/ y -. ph -> ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph ) )
4	2, 3	sylbi 198	. . 3 |- ( A. x F/ y ph -> ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph ) )
5		alnex 1659	. . 3 |- ( A. x -. ph <-> -. E. x ph )
6		sbn 2196	. . . . 5 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
7	6	albii 1685	. . . 4 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
8		alnex 1659	. . . 4 |- ( A. y -. [ y / x ] ph <-> -. E. y [ y / x ] ph )
9	7, 8	bitri 252	. . 3 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> -. E. y [ y / x ] ph )
10	4, 5, 9	3bitr3g 290	. 2 |- ( A. x F/ y ph -> ( -. E. x ph <-> -. E. y [ y / x ] ph ) )
11	10	con4bid 294	1 |- ( A. x F/ y ph -> ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   A.wal 1435   E.wex 1657   F/wnf 1661   [wsb 1790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791

This theorem is referenced by:  wl-mo3t  31812  wl-sb8mot  31814