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Theorem wl-sb8et 28524
Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8e 2135. (Contributed by Wolf Lammen, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-sb8et  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sb8et
StepHypRef Expression
1 wl-nfnbi 28502 . . . . 5  |-  ( F/ y ph  <->  F/ y  -.  ph )
21albii 1611 . . . 4  |-  ( A. x F/ y ph  <->  A. x F/ y  -.  ph )
3 wl-sb8t 28523 . . . 4  |-  ( A. x F/ y  -.  ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
42, 3sylbi 195 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
)
5 alnex 1589 . . 3  |-  ( A. x  -.  ph  <->  -.  E. x ph )
6 sbn 2092 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
76albii 1611 . . . 4  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
8 alnex 1589 . . . 4  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
97, 8bitri 249 . . 3  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
104, 5, 93bitr3g 287 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( -.  E. x ph  <->  -. 
E. y [ y  /  x ] ph ) )
1110con4bid 293 1  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1368   E.wex 1587   F/wnf 1590   [wsb 1702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703
This theorem is referenced by:  wl-mo3t  28544  wl-sb8mot  28546
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