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Theorem wl-nfeqfb 31778
Description: Extend nfeqf 2098 to an equivalence. (Contributed by Wolf Lammen, 31-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-nfeqfb  |-  ( F/ x  y  =  z  <-> 
( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)

Proof of Theorem wl-nfeqfb
StepHypRef Expression
1 nfr 1923 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
21imp 430 . . . 4  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  y  =  z )  ->  A. x  y  =  z )
3 wl-aleq 31776 . . . . 5  |-  ( A. x  y  =  z  <->  ( y  =  z  /\  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z ) ) )
43simprbi 465 . . . 4  |-  ( A. x  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
52, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  y  =  z )  ->  ( A. x  x  =  y 
<-> 
A. x  x  =  z ) )
6 nfnt 1954 . . . . . 6  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  F/ x  -.  y  =  z )
76nfrd 1925 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) )
87imp 430 . . . 4  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  -.  y  =  z )  ->  A. x  -.  y  =  z )
9 alnex 1661 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  y  =  z  <->  -.  E. x  y  =  z )
10 wl-exeq 31775 . . . . . 6  |-  ( E. x  y  =  z  <-> 
( y  =  z  \/  A. x  x  =  y  \/  A. x  x  =  z
) )
119, 10xchbinx 311 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  y  =  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  A. x  x  =  y  \/  A. x  x  =  z
) )
12 3ioran 1000 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  =  z  \/  A. x  x  =  y  \/  A. x  x  =  z
)  <->  ( -.  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z ) )
1311, 12sylbb 200 . . . 4  |-  ( A. x  -.  y  =  z  ->  ( -.  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z ) )
14 3simpc 1004 . . . 4  |-  ( ( -.  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z
) )
15 pm5.21 866 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z ) )
168, 13, 14, 154syl 19 . . 3  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  -.  y  =  z )  -> 
( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
175, 16pm2.61dan 798 . 2  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
18 ax-7 1838 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  z ) )
1918al2imi 1683 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
20 wl-nftht 31777 . . . 4  |-  ( A. x  y  =  z  ->  F/ x  y  =  z )
2119, 20syl6 34 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x  y  =  z
) )
22 nfeqf 2098 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  =  z )
2322ex 435 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  F/ x  y  =  z ) )
2421, 23bija 356 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  =  z
)
2517, 24impbii 190 1  |-  ( F/ x  y  =  z  <-> 
( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982   A.wal 1435   E.wex 1659   F/wnf 1663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-12 1904  ax-13 2052
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-ex 1660  df-nf 1664
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