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Theorem wl-nfeqfb 31863
Description: Extend nfeqf 2138 to an equivalence. (Contributed by Wolf Lammen, 31-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-nfeqfb  |-  ( F/ x  y  =  z  <-> 
( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)

Proof of Theorem wl-nfeqfb
StepHypRef Expression
1 nfr 1950 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
21imp 431 . . . 4  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  y  =  z )  ->  A. x  y  =  z )
3 wl-aleq 31861 . . . . 5  |-  ( A. x  y  =  z  <->  ( y  =  z  /\  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z ) ) )
43simprbi 466 . . . 4  |-  ( A. x  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
52, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  y  =  z )  ->  ( A. x  x  =  y 
<-> 
A. x  x  =  z ) )
6 nfnt 1981 . . . . . 6  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  F/ x  -.  y  =  z )
76nfrd 1952 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) )
87imp 431 . . . 4  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  -.  y  =  z )  ->  A. x  -.  y  =  z )
9 alnex 1664 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  y  =  z  <->  -.  E. x  y  =  z )
10 wl-exeq 31860 . . . . . 6  |-  ( E. x  y  =  z  <-> 
( y  =  z  \/  A. x  x  =  y  \/  A. x  x  =  z
) )
119, 10xchbinx 312 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  y  =  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  A. x  x  =  y  \/  A. x  x  =  z
) )
12 3ioran 1002 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  =  z  \/  A. x  x  =  y  \/  A. x  x  =  z
)  <->  ( -.  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z ) )
1311, 12sylbb 201 . . . 4  |-  ( A. x  -.  y  =  z  ->  ( -.  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z ) )
14 3simpc 1006 . . . 4  |-  ( ( -.  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z
) )
15 pm5.21 868 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z ) )
168, 13, 14, 154syl 19 . . 3  |-  ( ( F/ x  y  =  z  /\  -.  y  =  z )  -> 
( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
175, 16pm2.61dan 799 . 2  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
18 ax7 1859 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  z ) )
1918al2imi 1686 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
20 wl-nftht 31862 . . . 4  |-  ( A. x  y  =  z  ->  F/ x  y  =  z )
2119, 20syl6 34 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x  y  =  z
) )
22 nfeqf 2138 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  =  z )
2322ex 436 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  F/ x  y  =  z ) )
2421, 23bija 357 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  =  z
)
2517, 24impbii 191 1  |-  ( F/ x  y  =  z  <-> 
( A. x  x  =  y  <->  A. x  x  =  z )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 983    /\ w3a 984   A.wal 1441   E.wex 1662   F/wnf 1666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-12 1932  ax-13 2090
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-ex 1663  df-nf 1667
This theorem is referenced by: (None)
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