Theorem wl-nfeqfb 31863

Description: Extend nfeqf 2138 to an equivalence. (Contributed by Wolf Lammen, 31-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-nfeqfb	|- ( F/ x y = z <-> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )

Proof of Theorem wl-nfeqfb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfr 1950	. . . . 5 |- ( F/ x y = z -> ( y = z -> A. x y = z ) )
2	1	imp 431	. . . 4 |- ( ( F/ x y = z /\ y = z ) -> A. x y = z )
3		wl-aleq 31861	. . . . 5 |- ( A. x y = z <-> ( y = z /\ ( A. x x = y <-> A. x x = z ) ) )
4	3	simprbi 466	. . . 4 |- ( A. x y = z -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( F/ x y = z /\ y = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
6		nfnt 1981	. . . . . 6 |- ( F/ x y = z -> F/ x -. y = z )
7	6	nfrd 1952	. . . . 5 |- ( F/ x y = z -> ( -. y = z -> A. x -. y = z ) )
8	7	imp 431	. . . 4 |- ( ( F/ x y = z /\ -. y = z ) -> A. x -. y = z )
9		alnex 1664	. . . . . 6 |- ( A. x -. y = z <-> -. E. x y = z )
10		wl-exeq 31860	. . . . . 6 |- ( E. x y = z <-> ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) )
11	9, 10	xchbinx 312	. . . . 5 |- ( A. x -. y = z <-> -. ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) )
12		3ioran 1002	. . . . 5 |- ( -. ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) <-> ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
13	11, 12	sylbb 201	. . . 4 |- ( A. x -. y = z -> ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
14		3simpc 1006	. . . 4 |- ( ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
15		pm5.21 868	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
16	8, 13, 14, 15	4syl 19	. . 3 |- ( ( F/ x y = z /\ -. y = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
17	5, 16	pm2.61dan 799	. 2 |- ( F/ x y = z -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
18		ax7 1859	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x = z -> y = z ) )
19	18	al2imi 1686	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = z -> A. x y = z ) )
20		wl-nftht 31862	. . . 4 |- ( A. x y = z -> F/ x y = z )
21	19, 20	syl6 34	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = z -> F/ x y = z ) )
22		nfeqf 2138	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y = z )
23	22	ex 436	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> F/ x y = z ) )
24	21, 23	bija 357	. 2 |- ( ( A. x x = y <-> A. x x = z ) -> F/ x y = z )
25	17, 24	impbii 191	1 |- ( F/ x y = z <-> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 983   /\ w3a 984   A.wal 1441   E.wex 1662   F/wnf 1666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-12 1932  ax-13 2090

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-ex 1663  df-nf 1667

This theorem is referenced by: (None)