Theorem wl-nfeqfb 31778

Description: Extend nfeqf 2098 to an equivalence. (Contributed by Wolf Lammen, 31-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-nfeqfb	|- ( F/ x y = z <-> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )

Proof of Theorem wl-nfeqfb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfr 1923	. . . . 5 |- ( F/ x y = z -> ( y = z -> A. x y = z ) )
2	1	imp 430	. . . 4 |- ( ( F/ x y = z /\ y = z ) -> A. x y = z )
3		wl-aleq 31776	. . . . 5 |- ( A. x y = z <-> ( y = z /\ ( A. x x = y <-> A. x x = z ) ) )
4	3	simprbi 465	. . . 4 |- ( A. x y = z -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( F/ x y = z /\ y = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
6		nfnt 1954	. . . . . 6 |- ( F/ x y = z -> F/ x -. y = z )
7	6	nfrd 1925	. . . . 5 |- ( F/ x y = z -> ( -. y = z -> A. x -. y = z ) )
8	7	imp 430	. . . 4 |- ( ( F/ x y = z /\ -. y = z ) -> A. x -. y = z )
9		alnex 1661	. . . . . 6 |- ( A. x -. y = z <-> -. E. x y = z )
10		wl-exeq 31775	. . . . . 6 |- ( E. x y = z <-> ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) )
11	9, 10	xchbinx 311	. . . . 5 |- ( A. x -. y = z <-> -. ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) )
12		3ioran 1000	. . . . 5 |- ( -. ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) <-> ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
13	11, 12	sylbb 200	. . . 4 |- ( A. x -. y = z -> ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
14		3simpc 1004	. . . 4 |- ( ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
15		pm5.21 866	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
16	8, 13, 14, 15	4syl 19	. . 3 |- ( ( F/ x y = z /\ -. y = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
17	5, 16	pm2.61dan 798	. 2 |- ( F/ x y = z -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
18		ax-7 1838	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x = z -> y = z ) )
19	18	al2imi 1683	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = z -> A. x y = z ) )
20		wl-nftht 31777	. . . 4 |- ( A. x y = z -> F/ x y = z )
21	19, 20	syl6 34	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = z -> F/ x y = z ) )
22		nfeqf 2098	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y = z )
23	22	ex 435	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> F/ x y = z ) )
24	21, 23	bija 356	. 2 |- ( ( A. x x = y <-> A. x x = z ) -> F/ x y = z )
25	17, 24	impbii 190	1 |- ( F/ x y = z <-> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 187   /\ wa 370   \/ w3o 981   /\ w3a 982   A.wal 1435   E.wex 1659   F/wnf 1663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-12 1904  ax-13 2052

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-ex 1660  df-nf 1664

This theorem is referenced by: (None)