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Theorem wl-mo3t 31388
Description: Closed form of mo3 2278. (Contributed by Wolf Lammen, 18-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-mo3t  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem wl-mo3t
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfa1 1925 . . 3  |-  F/ x A. x F/ y ph
2 nfmo1 2251 . . 3  |-  F/ x E* x ph
3 nfnf1 1927 . . . . . . 7  |-  F/ y F/ y ph
43nfal 1975 . . . . . 6  |-  F/ y A. x F/ y
ph
5 sp 1883 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ y ph  ->  F/ y ph )
61, 5nfmod 2255 . . . . . 6  |-  ( A. x F/ y ph  ->  F/ y E* x ph )
74, 6nfan1 1955 . . . . 5  |-  F/ y ( A. x F/ y ph  /\  E* x ph )
8 mo2v 2245 . . . . . . 7  |-  ( E* x ph  <->  E. u A. x ( ph  ->  x  =  u ) )
9 sp 1883 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( ph  ->  x  =  u ) )
10 spsbim 2159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] x  =  u ) )
11 equsb3 2200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
x  =  u  <->  y  =  u )
1210, 11syl6ib 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  y  =  u ) )
139, 12anim12d 561 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  ( x  =  u  /\  y  =  u ) ) )
14 equtr2 1826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  x  =  y )
1513, 14syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
1615exlimiv 1743 . . . . . . 7  |-  ( E. u A. x (
ph  ->  x  =  u )  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
)
178, 16sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
1817adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A. x F/ y
ph  /\  E* x ph )  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
197, 18alrimi 1901 . . . 4  |-  ( ( A. x F/ y
ph  /\  E* x ph )  ->  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
2019ex 432 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  ->  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
211, 2, 20alrimd 1905 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
22 nfa1 1925 . . . . . 6  |-  F/ x A. x ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
23 nfs1v 2205 . . . . . 6  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
24 pm3.3 442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
2524com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
2625sps 1889 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
2722, 23, 26alrimd 1905 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) )
2827aleximi 1674 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
2928alcoms 1867 . . 3  |-  ( A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
30 moabs 2271 . . . 4  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E* x ph ) )
31 wl-sb8et 31368 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )
32 wl-mo2t 31387 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
3331, 32imbi12d 318 . . . 4  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( ( E. x ph  ->  E* x ph )  <->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) ) )
3430, 33syl5bb 257 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) ) )
3529, 34syl5ibr 221 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( A. x A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  E* x ph ) )
3621, 35impbid 190 1  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403   E.wex 1633   F/wnf 1637   [wsb 1763   E*wmo 2239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243
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