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Theorem wl-mo3t 31812
Description: Closed form of mo3 2308. (Contributed by Wolf Lammen, 18-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-mo3t  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem wl-mo3t
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfa1 1956 . . 3  |-  F/ x A. x F/ y ph
2 nfmo1 2282 . . 3  |-  F/ x E* x ph
3 nfnf1 1958 . . . . . . 7  |-  F/ y F/ y ph
43nfal 2007 . . . . . 6  |-  F/ y A. x F/ y
ph
5 sp 1914 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ y ph  ->  F/ y ph )
61, 5nfmod 2286 . . . . . 6  |-  ( A. x F/ y ph  ->  F/ y E* x ph )
74, 6nfan1 1987 . . . . 5  |-  F/ y ( A. x F/ y ph  /\  E* x ph )
8 mo2v 2278 . . . . . . 7  |-  ( E* x ph  <->  E. u A. x ( ph  ->  x  =  u ) )
9 sp 1914 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( ph  ->  x  =  u ) )
10 spsbim 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] x  =  u ) )
11 equsb3 2233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
x  =  u  <->  y  =  u )
1210, 11syl6ib 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  y  =  u ) )
139, 12anim12d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  ( x  =  u  /\  y  =  u ) ) )
14 equtr2 1856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  u )  ->  x  =  y )
1513, 14syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  u )  -> 
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
1615exlimiv 1770 . . . . . . 7  |-  ( E. u A. x (
ph  ->  x  =  u )  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
)
178, 16sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
1817adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A. x F/ y
ph  /\  E* x ph )  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
197, 18alrimi 1932 . . . 4  |-  ( ( A. x F/ y
ph  /\  E* x ph )  ->  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
2019ex 435 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  ->  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
211, 2, 20alrimd 1936 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
22 nfa1 1956 . . . . . 6  |-  F/ x A. x ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
23 nfs1v 2238 . . . . . 6  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
24 pm3.3 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
2524com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
2625sps 1920 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
2722, 23, 26alrimd 1936 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  -> 
( [ y  /  x ] ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) )
2827aleximi 1698 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
2928alcoms 1897 . . 3  |-  ( A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
30 moabs 2302 . . . 4  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E* x ph ) )
31 wl-sb8et 31788 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph ) )
32 wl-mo2t 31811 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
3331, 32imbi12d 321 . . . 4  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( ( E. x ph  ->  E* x ph )  <->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) ) )
3430, 33syl5bb 260 . . 3  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) ) )
3529, 34syl5ibr 224 . 2  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( A. x A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  E* x ph ) )
3621, 35impbid 193 1  |-  ( A. x F/ y ph  ->  ( E* x ph  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657   F/wnf 1661   [wsb 1790   E*wmo 2272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276
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