Theorem wl-ax11-lem8 30194

Description: Lemma. (Contributed by Wolf Lammen, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-ax11-lem8	|- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. y A. x ph ) )

Distinct variable group:   x, u

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u)

Proof of Theorem wl-ax11-lem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axc11n 2050	. . 3 |- ( A. y y = x -> A. x x = y )
2	1	con3i 135	. 2 |- ( -. A. x x = y -> -. A. y y = x )
3		wl-ax11-lem1 30187	. . . . . . 7 |- ( A. u u = y -> ( A. u u = x <-> A. y y = x ) )
4	3	notbid 294	. . . . . 6 |- ( A. u u = y -> ( -. A. u u = x <-> -. A. y y = x ) )
5	4	anbi1d 704	. . . . 5 |- ( A. u u = y -> ( ( -. A. u u = x /\ A. u A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. u A. x [ u / y ] ph ) ) )
6	4	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( A. u u = y -> ( ( -. A. u u = x /\ A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. x [ u / y ] ph ) ) )
7		axc11n 2050	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x x = y -> A. y y = x )
8	7	con3i 135	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. y y = x -> -. A. x x = y )
9		wl-ax11-lem4 30190	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( A. u u = y /\ -. A. x x = y )
10		sbequ12 1993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ph <-> [ u / y ] ph ) )
11	10	equcoms 1796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = y -> ( ph <-> [ u / y ] ph ) )
12	11	sps 1866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u u = y -> ( ph <-> [ u / y ] ph ) )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( ph <-> [ u / y ] ph ) )
14	9, 13	albid 1886	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( A. x ph <-> A. x [ u / y ] ph ) )
15	14	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u u = y -> ( -. A. x x = y -> ( A. x ph <-> A. x [ u / y ] ph ) ) )
16	8, 15	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( A. u u = y -> ( -. A. y y = x -> ( A. x ph <-> A. x [ u / y ] ph ) ) )
17	16	pm5.32d 639	. . . . . . . 8 |- ( A. u u = y -> ( ( -. A. y y = x /\ A. x ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. x [ u / y ] ph ) ) )
18	6, 17	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( A. u u = y -> ( ( -. A. u u = x /\ A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. x ph ) ) )
19	18	dral1 2068	. . . . . 6 |- ( A. u u = y -> ( A. u ( -. A. u u = x /\ A. x [ u / y ] ph ) <-> A. y ( -. A. y y = x /\ A. x ph ) ) )
20		wl-ax11-lem7 30193	. . . . . 6 |- ( A. u ( -. A. u u = x /\ A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. u u = x /\ A. u A. x [ u / y ] ph ) )
21		wl-ax11-lem7 30193	. . . . . 6 |- ( A. y ( -. A. y y = x /\ A. x ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. y A. x ph ) )
22	19, 20, 21	3bitr3g 287	. . . . 5 |- ( A. u u = y -> ( ( -. A. u u = x /\ A. u A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. y A. x ph ) ) )
23	5, 22	bitr3d 255	. . . 4 |- ( A. u u = y -> ( ( -. A. y y = x /\ A. u A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. y A. x ph ) ) )
24		pm5.32 636	. . . 4 |- ( ( -. A. y y = x -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. y A. x ph ) ) <-> ( ( -. A. y y = x /\ A. u A. x [ u / y ] ph ) <-> ( -. A. y y = x /\ A. y A. x ph ) ) )
25	23, 24	sylibr 212	. . 3 |- ( A. u u = y -> ( -. A. y y = x -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. y A. x ph ) ) )
26	25	imp 429	. 2 |- ( ( A. u u = y /\ -. A. y y = x ) -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. y A. x ph ) )
27	2, 26	sylan2 474	1 |- ( ( A. u u = y /\ -. A. x x = y ) -> ( A. u A. x [ u / y ] ph <-> A. y A. x ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   [wsb 1740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-wl-11v 30186

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741

This theorem is referenced by:  wl-ax11-lem10  30196