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Theorem wl-ax11-lem8 31915
Description: Lemma. (Contributed by Wolf Lammen, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-ax11-lem8  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. y A. x ph ) )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u)

Proof of Theorem wl-ax11-lem8
StepHypRef Expression
1 axc11n 2142 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. x  x  =  y )
21con3i 141 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. y 
y  =  x )
3 wl-ax11-lem1 31908 . . . . . . 7  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( A. u  u  =  x  <->  A. y 
y  =  x ) )
43notbid 296 . . . . . 6  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( -.  A. u  u  =  x  <->  -.  A. y 
y  =  x ) )
54anbi1d 710 . . . . 5  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. u A. x [ u  /  y ] ph )  <->  ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. u A. x [ u  /  y ] ph ) ) )
64anbi1d 710 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. x [ u  /  y ] ph ) 
<->  ( -.  A. y 
y  =  x  /\  A. x [ u  / 
y ] ph )
) )
7 axc11n 2142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  y  =  x )
87con3i 141 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  -.  A. x  x  =  y )
9 wl-ax11-lem4 31911 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y )
10 sbequ12 2082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( ph 
<->  [ u  /  y ] ph ) )
1110equcoms 1863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  y  ->  ( ph 
<->  [ u  /  y ] ph ) )
1211sps 1942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ph  <->  [ u  /  y ] ph ) )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( ph  <->  [ u  /  y ]
ph ) )
149, 13albid 1962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ u  /  y ] ph ) )
1514ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ u  /  y ] ph ) ) )
168, 15syl5 33 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( -.  A. y 
y  =  x  -> 
( A. x ph  <->  A. x [ u  / 
y ] ph )
) )
1716pm5.32d 644 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. x ph )  <->  ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. x [ u  /  y ] ph ) ) )
186, 17bitr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. x [ u  /  y ] ph ) 
<->  ( -.  A. y 
y  =  x  /\  A. x ph ) ) )
1918dral1 2158 . . . . . 6  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( A. u ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. x [ u  /  y ] ph )  <->  A. y
( -.  A. y 
y  =  x  /\  A. x ph ) ) )
20 wl-ax11-lem7 31914 . . . . . 6  |-  ( A. u ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. x [ u  /  y ] ph ) 
<->  ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. u A. x [
u  /  y ]
ph ) )
21 wl-ax11-lem7 31914 . . . . . 6  |-  ( A. y ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. x ph )  <->  ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. y A. x ph )
)
2219, 20, 213bitr3g 291 . . . . 5  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ( -.  A. u  u  =  x  /\  A. u A. x [ u  /  y ] ph )  <->  ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. y A. x ph ) ) )
235, 22bitr3d 259 . . . 4  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. u A. x [ u  /  y ] ph )  <->  ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. y A. x ph ) ) )
24 pm5.32 641 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  ->  ( A. u A. x [
u  /  y ]
ph 
<-> 
A. y A. x ph ) )  <->  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. u A. x [ u  / 
y ] ph )  <->  ( -.  A. y  y  =  x  /\  A. y A. x ph )
) )
2523, 24sylibr 216 . . 3  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( -.  A. y 
y  =  x  -> 
( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. y A. x ph ) ) )
2625imp 431 . 2  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. y A. x ph ) )
272, 26sylan2 477 1  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. y A. x ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1441   [wsb 1796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-wl-11v 31907
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797
This theorem is referenced by:  wl-ax11-lem10  31917
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