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Theorem wl-ax11-lem6 29623
Description: Lemma. (Contributed by Wolf Lammen, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-ax11-lem6  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u)

Proof of Theorem wl-ax11-lem6
StepHypRef Expression
1 ax-wl-11v 29617 . . 3  |-  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  ->  A. x A. u [ u  /  y ] ph )
2 ax-wl-11v 29617 . . 3  |-  ( A. x A. u [ u  /  y ] ph  ->  A. u A. x [ u  /  y ] ph )
31, 2impbii 188 . 2  |-  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. u [
u  /  y ]
ph )
4 nfna1 1851 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
5 wl-ax11-lem3 29620 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x A. u  u  =  y )
64, 5nfan1 1874 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. u  u  =  y )
7 wl-ax11-lem5 29622 . . . . 5  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( A. u [
u  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ph )
)
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. u  u  =  y
)  ->  ( A. u [ u  /  y ] ph  <->  A. y ph )
)
96, 8albid 1833 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. u  u  =  y
)  ->  ( A. x A. u [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
109ancoms 453 . 2  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. x A. u [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
113, 10syl5bb 257 1  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   [wsb 1711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-wl-11v 29617
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712
This theorem is referenced by:  wl-ax11-lem10  29627
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