Users' Mathboxes Mathbox for Wolf Lammen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wl-ax11-lem6 Structured version   Unicode version

Theorem wl-ax11-lem6 31623
Description: Lemma. (Contributed by Wolf Lammen, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-ax11-lem6  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u)

Proof of Theorem wl-ax11-lem6
StepHypRef Expression
1 ax-wl-11v 31617 . . 3  |-  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  ->  A. x A. u [ u  /  y ] ph )
2 ax-wl-11v 31617 . . 3  |-  ( A. x A. u [ u  /  y ] ph  ->  A. u A. x [ u  /  y ] ph )
31, 2impbii 190 . 2  |-  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. u [
u  /  y ]
ph )
4 nfna1 1960 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
5 wl-ax11-lem3 31620 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x A. u  u  =  y )
64, 5nfan1 1985 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. u  u  =  y )
7 wl-ax11-lem5 31622 . . . . 5  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( A. u [
u  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ph )
)
87adantl 467 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. u  u  =  y
)  ->  ( A. u [ u  /  y ] ph  <->  A. y ph )
)
96, 8albid 1938 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. u  u  =  y
)  ->  ( A. x A. u [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
109ancoms 454 . 2  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. x A. u [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
113, 10syl5bb 260 1  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  ( A. u A. x [ u  /  y ] ph  <->  A. x A. y ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   [wsb 1789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-wl-11v 31617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790
This theorem is referenced by:  wl-ax11-lem10  31627
  Copyright terms: Public domain W3C validator