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Theorem wl-ax11-lem3 31917
Description: Lemma. (Contributed by Wolf Lammen, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
wl-ax11-lem3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x A. u  u  =  y )
Distinct variable group:    x, u

Proof of Theorem wl-ax11-lem3
StepHypRef Expression
1 nfna1 1985 . 2  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
2 wl-naev 31862 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. u  u  =  x )
3 nfa1 1979 . . . . . . 7  |-  F/ u A. u  u  =  y
4 nfna1 1985 . . . . . . 7  |-  F/ u  -.  A. u  u  =  x
53, 4nfan 2011 . . . . . 6  |-  F/ u
( A. u  u  =  y  /\  -.  A. u  u  =  x )
6 axc11n 2143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  y  =  x )
7 wl-aetr 31863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  y  =  u  ->  ( A. y  y  =  x  ->  A. u  u  =  x )
)
86, 7syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  y  =  u  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. u  u  =  x )
)
98aecoms 2146 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. u  u  =  x )
)
109con3d 139 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  u  =  y  ->  ( -.  A. u  u  =  x  ->  -. 
A. x  x  =  y ) )
1110imdistani 696 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. u  u  =  x
)  ->  ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
12 wl-ax11-lem2 31916 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  A. x  u  =  y )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. u  u  =  x
)  ->  A. x  u  =  y )
145, 13alrimi 1955 . . . . 5  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. u  u  =  x
)  ->  A. u A. x  u  =  y )
152, 14sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( A. u  u  =  y  /\  -.  A. x  x  =  y
)  ->  A. u A. x  u  =  y )
1615expcom 437 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. u  u  =  y  ->  A. u A. x  u  =  y )
)
17 ax-wl-11v 31914 . . 3  |-  ( A. u A. x  u  =  y  ->  A. x A. u  u  =  y )
1816, 17syl6 34 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. u  u  =  y  ->  A. x A. u  u  =  y )
)
191, 18nfd 1956 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x A. u  u  =  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442   F/wnf 1667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-wl-11v 31914
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1664  df-nf 1668
This theorem is referenced by:  wl-ax11-lem4  31918  wl-ax11-lem6  31920
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