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Theorem wl-2sb6d 30173
Description: Version of 2sb6 2192 with a context, and distinct variable conditions replaced with distinctors. (Contributed by Wolf Lammen, 4-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wl-2sb6d.1  |-  ( ph  ->  -.  A. y  y  =  x )
wl-2sb6d.2  |-  ( ph  ->  -.  A. y  y  =  w )
wl-2sb6d.3  |-  ( ph  ->  -.  A. y  y  =  z )
wl-2sb6d.4  |-  ( ph  ->  -.  A. x  x  =  z )
Assertion
Ref Expression
wl-2sb6d  |-  ( ph  ->  ( [ z  /  x ] [ w  / 
y ] ps  <->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) ) )

Proof of Theorem wl-2sb6d
StepHypRef Expression
1 wl-2sb6d.4 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. x  x  =  z )
2 wl-2sb6d.2 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. y  y  =  w )
3 wl-2sb6d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. y  y  =  x )
4 wl-2sb6d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. y  y  =  z )
53, 4jca 530 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
6 wl-sb6nae 30171 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  x ] [ w  /  y ] ps  <->  A. x ( x  =  z  ->  [ w  /  y ] ps ) ) )
7 nfnae 2064 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  w
8 wl-nfnae1 30146 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
9 nfnae 2064 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
108, 9nfan 1936 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
117, 10nfan 1936 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  w  /\  ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
12 wl-sb6nae 30171 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  w  ->  ( [
w  /  y ] ps  <->  A. y ( y  =  w  ->  ps ) ) )
1312imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  w  ->  ( (
x  =  z  ->  [ w  /  y ] ps )  <->  ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
14 impexp 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps )  <->  ( x  =  z  -> 
( y  =  w  ->  ps ) ) )
1514albii 1648 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) 
<-> 
A. y ( x  =  z  ->  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
16 nfeqf 2051 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  x  =  z )
17 19.21t 1912 . . . . . . 7  |-  ( F/ y  x  =  z  ->  ( A. y
( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ps )
)  <->  ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. y ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ps )
)  <->  ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
1915, 18syl5rbb 258 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
x  =  z  ->  A. y ( y  =  w  ->  ps )
)  <->  A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) ) )
2013, 19sylan9bb 697 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  w  /\  ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z
) )  ->  (
( x  =  z  ->  [ w  / 
y ] ps )  <->  A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) ) )
2111, 20albid 1893 . . 3  |-  ( ( -.  A. y  y  =  w  /\  ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z
) )  ->  ( A. x ( x  =  z  ->  [ w  /  y ] ps ) 
<-> 
A. x A. y
( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) ) )
226, 21sylan9bb 697 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. y  y  =  w  /\  ( -. 
A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z
) ) )  -> 
( [ z  /  x ] [ w  / 
y ] ps  <->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) ) )
231, 2, 5, 22syl12anc 1224 1  |-  ( ph  ->  ( [ z  /  x ] [ w  / 
y ] ps  <->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397   F/wnf 1624   [wsb 1747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748
This theorem is referenced by:  wl-sbcom2d-lem2  30175
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