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Theorem winainflem 9136
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6736 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z ) )
2 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  =/=  (/) )
32necon2bi 2673 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
54sucid 5509 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
suc  z
6 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( z  e.  A  <->  z  e.  suc  z ) )
75, 6mpbiri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  z  -> 
z  e.  A )
87adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  z  e.  A
)
9 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ~<  y  <->  z  ~<  y ) )
109rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. y  e.  A  z  ~<  y ) )
11 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  ~<  y  <->  z  ~<  w ) )
1211cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w )
1310, 12syl6bb 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
1413rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
158, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
16 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( w  e.  A  <->  w  e.  suc  z ) )
1716biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  suc  z  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  suc  z )
18173ad2antl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  suc  z
)
19 nnon 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
20 suceloni 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  On )
22 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( A  e.  On  <->  suc  z  e.  On ) )
2322biimparc 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  A  =  suc  z
)  ->  A  e.  On )
2421, 23sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  A  e.  On )
25243adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  e.  On )
26 onelon 5455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
2725, 26sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
28 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  om )
2928, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  On )
30 onsssuc 5517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3127, 29, 30syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3218, 31mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  C_  z )
33 ssdomg 7633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  C_  z  ->  w  ~<_  z ) )
344, 32, 33mpsyl 64 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  ~<_  z )
35 domnsym 7716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  ~<_  z  ->  -.  z  ~<  w )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  -.  z  ~<  w
)
3736nrexdv 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  E. w  e.  A  z 
~<  w )
38373expia 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  -.  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
3915, 38pm2.65d 180 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )
4039intn3an3d 1409 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4140rexlimiva 2868 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  om  A  =  suc  z  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
423, 41jaoi 386 . . . 4  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
431, 42syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4443con2i 124 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  A  e.  om )
45 ordom 6720 . . 3  |-  Ord  om
46 eloni 5440 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
47463ad2ant2 1052 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  Ord  A )
48 ordtri1 5463 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  A )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
4945, 47, 48sylancr 676 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
5044, 49mpbird 240 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   Ord word 5429   Oncon0 5430   suc csuc 5432   omcom 6711    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590
This theorem is referenced by:  winainf  9137  tskcard  9224  gruina  9261
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