Theorem winainflem 8975

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	|- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 6613	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) )
2		simp1 988	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A =/= (/) )
3	2	necon2bi 2689	. . . . 5 |- ( A = (/) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
4		vex 3081	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
5	4	sucid 4909	. . . . . . . . . . 11 |- z e. suc z
6		eleq2 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc z -> ( z e. A <-> z e. suc z ) )
7	5, 6	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc z -> z e. A )
8	7	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> z e. A )
9		breq1 4406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ~< y <-> z ~< y ) )
10	9	rexbidv 2868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. y e. A z ~< y ) )
11		breq2 4407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( z ~< y <-> z ~< w ) )
12	11	cbvrexv 3054	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A z ~< y <-> E. w e. A z ~< w )
13	10, 12	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. w e. A z ~< w ) )
14	13	rspcv 3175	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
15	8, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
16		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = suc z -> ( w e. A <-> w e. suc z ) )
17	16	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A = suc z /\ w e. A ) -> w e. suc z )
18	17	3ad2antl2 1151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. suc z )
19		nnon 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> z e. On )
20		suceloni 6537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> suc z e. On )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> suc z e. On )
22		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = suc z -> ( A e. On <-> suc z e. On ) )
23	22	biimparc 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( suc z e. On /\ A = suc z ) -> A e. On )
24	21, 23	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> A e. On )
25	24	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A e. On )
26		onelon 4855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ w e. A ) -> w e. On )
27	25, 26	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. On )
28		simpl1 991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. om )
29	28, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. On )
30		onsssuc 4917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. On /\ z e. On ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
32	18, 31	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w C_ z )
33		ssdomg 7468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( w C_ z -> w ~<_ z ) )
34	4, 32, 33	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w ~<_ z )
35		domnsym 7550	. . . . . . . . . . 11 |- ( w ~<_ z -> -. z ~< w )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> -. z ~< w )
37	36	nrexdv 2925	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. E. w e. A z ~< w )
38	37	3expia 1190	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> -. E. w e. A z ~< w ) )
39	15, 38	pm2.65d 175	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. A. x e. A E. y e. A x ~< y )
40		simp3 990	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A. x e. A E. y e. A x ~< y )
41	39, 40	nsyl 121	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
42	41	rexlimiva 2942	. . . . 5 |- ( E. z e. om A = suc z -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
43	3, 42	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
44	1, 43	syl 16	. . 3 |- ( A e. om -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
45	44	con2i 120	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. A e. om )
46		ordom 6598	. . 3 |- Ord om
47		eloni 4840	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
48	47	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> Ord A )
49		ordtri1 4863	. . 3 |- ( ( Ord om /\ Ord A ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
50	46, 48, 49	sylancr 663	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
51	45, 50	mpbird 232	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   Ord word 4829   Oncon0 4830   suc csuc 4832   omcom 6589   ~<_ cdom 7421   ~< csdm 7422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-om 6590  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426

This theorem is referenced by:  winainf  8976  tskcard  9063  gruina  9100