Theorem winainflem 9136

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	|- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 6736	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) )
2		simp1 1030	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A =/= (/) )
3	2	necon2bi 2673	. . . . 5 |- ( A = (/) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
4		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
5	4	sucid 5509	. . . . . . . . . . 11 |- z e. suc z
6		eleq2 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc z -> ( z e. A <-> z e. suc z ) )
7	5, 6	mpbiri 241	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc z -> z e. A )
8	7	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> z e. A )
9		breq1 4398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ~< y <-> z ~< y ) )
10	9	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. y e. A z ~< y ) )
11		breq2 4399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( z ~< y <-> z ~< w ) )
12	11	cbvrexv 3006	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A z ~< y <-> E. w e. A z ~< w )
13	10, 12	syl6bb 269	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. w e. A z ~< w ) )
14	13	rspcv 3132	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
16		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = suc z -> ( w e. A <-> w e. suc z ) )
17	16	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A = suc z /\ w e. A ) -> w e. suc z )
18	17	3ad2antl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. suc z )
19		nnon 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> z e. On )
20		suceloni 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> suc z e. On )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> suc z e. On )
22		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = suc z -> ( A e. On <-> suc z e. On ) )
23	22	biimparc 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( suc z e. On /\ A = suc z ) -> A e. On )
24	21, 23	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> A e. On )
25	24	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A e. On )
26		onelon 5455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ w e. A ) -> w e. On )
27	25, 26	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. On )
28		simpl1 1033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. om )
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. On )
30		onsssuc 5517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. On /\ z e. On ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
32	18, 31	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w C_ z )
33		ssdomg 7633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( w C_ z -> w ~<_ z ) )
34	4, 32, 33	mpsyl 64	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w ~<_ z )
35		domnsym 7716	. . . . . . . . . . 11 |- ( w ~<_ z -> -. z ~< w )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> -. z ~< w )
37	36	nrexdv 2842	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. E. w e. A z ~< w )
38	37	3expia 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> -. E. w e. A z ~< w ) )
39	15, 38	pm2.65d 180	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. A. x e. A E. y e. A x ~< y )
40	39	intn3an3d 1409	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
41	40	rexlimiva 2868	. . . . 5 |- ( E. z e. om A = suc z -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
42	3, 41	jaoi 386	. . . 4 |- ( ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
43	1, 42	syl 17	. . 3 |- ( A e. om -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
44	43	con2i 124	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. A e. om )
45		ordom 6720	. . 3 |- Ord om
46		eloni 5440	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
47	46	3ad2ant2 1052	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> Ord A )
48		ordtri1 5463	. . 3 |- ( ( Ord om /\ Ord A ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
49	45, 47, 48	sylancr 676	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
50	44, 49	mpbird 240	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   Ord word 5429   Oncon0 5430   suc csuc 5432   omcom 6711   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590

This theorem is referenced by:  winainf  9137  tskcard  9224  gruina  9261