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Theorem winainflem 8975
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6613 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z ) )
2 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  =/=  (/) )
32necon2bi 2689 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
54sucid 4909 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
suc  z
6 eleq2 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( z  e.  A  <->  z  e.  suc  z ) )
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  z  -> 
z  e.  A )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  z  e.  A
)
9 breq1 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ~<  y  <->  z  ~<  y ) )
109rexbidv 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. y  e.  A  z  ~<  y ) )
11 breq2 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  ~<  y  <->  z  ~<  w ) )
1211cbvrexv 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w )
1310, 12syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
1413rspcv 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
158, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
16 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( w  e.  A  <->  w  e.  suc  z ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  suc  z  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  suc  z )
18173ad2antl2 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  suc  z
)
19 nnon 6595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
20 suceloni 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  On )
22 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( A  e.  On  <->  suc  z  e.  On ) )
2322biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  A  =  suc  z
)  ->  A  e.  On )
2421, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  A  e.  On )
25243adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  e.  On )
26 onelon 4855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
2725, 26sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
28 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  om )
2928, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  On )
30 onsssuc 4917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3127, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3218, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  C_  z )
33 ssdomg 7468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  C_  z  ->  w  ~<_  z ) )
344, 32, 33mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  ~<_  z )
35 domnsym 7550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  ~<_  z  ->  -.  z  ~<  w )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  -.  z  ~<  w
)
3736nrexdv 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  E. w  e.  A  z 
~<  w )
38373expia 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  -.  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
3915, 38pm2.65d 175 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )
40 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )
4139, 40nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4241rexlimiva 2942 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  om  A  =  suc  z  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
433, 42jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
441, 43syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4544con2i 120 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  A  e.  om )
46 ordom 6598 . . 3  |-  Ord  om
47 eloni 4840 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
48473ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  Ord  A )
49 ordtri1 4863 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  A )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
5046, 48, 49sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
5145, 50mpbird 232 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   Ord word 4829   Oncon0 4830   suc csuc 4832   omcom 6589    ~<_ cdom 7421    ~< csdm 7422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-om 6590  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426
This theorem is referenced by:  winainf  8976  tskcard  9063  gruina  9100
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