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Theorem winainflem 9125
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6731 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z ) )
2 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  =/=  (/) )
32necon2bi 2657 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4 vex 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
54sucid 5521 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
suc  z
6 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( z  e.  A  <->  z  e.  suc  z ) )
75, 6mpbiri 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  z  -> 
z  e.  A )
87adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  z  e.  A
)
9 breq1 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ~<  y  <->  z  ~<  y ) )
109rexbidv 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. y  e.  A  z  ~<  y ) )
11 breq2 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  ~<  y  <->  z  ~<  w ) )
1211cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w )
1310, 12syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
1413rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
158, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
16 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( w  e.  A  <->  w  e.  suc  z ) )
1716biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  suc  z  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  suc  z )
18173ad2antl2 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  suc  z
)
19 nnon 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
20 suceloni 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  On )
22 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( A  e.  On  <->  suc  z  e.  On ) )
2322biimparc 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  A  =  suc  z
)  ->  A  e.  On )
2421, 23sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  A  e.  On )
25243adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  e.  On )
26 onelon 5467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
2725, 26sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
28 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  om )
2928, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  On )
30 onsssuc 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3127, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3218, 31mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  C_  z )
33 ssdomg 7625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  C_  z  ->  w  ~<_  z ) )
344, 32, 33mpsyl 65 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  ~<_  z )
35 domnsym 7707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  ~<_  z  ->  -.  z  ~<  w )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  -.  z  ~<  w
)
3736nrexdv 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  E. w  e.  A  z 
~<  w )
38373expia 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  -.  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
3915, 38pm2.65d 178 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )
4039intn3an3d 1376 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4140rexlimiva 2910 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  om  A  =  suc  z  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
423, 41jaoi 380 . . . 4  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
431, 42syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4443con2i 123 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  A  e.  om )
45 ordom 6715 . . 3  |-  Ord  om
46 eloni 5452 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
47463ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  Ord  A )
48 ordtri1 5475 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  A )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
4945, 47, 48sylancr 667 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
5044, 49mpbird 235 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   Ord word 5441   Oncon0 5442   suc csuc 5444   omcom 6706    ~<_ cdom 7578    ~< csdm 7579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-om 6707  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583
This theorem is referenced by:  winainf  9126  tskcard  9213  gruina  9250
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