Theorem winainflem 8856

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	|- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 6499	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) )
2		simp1 983	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A =/= (/) )
3	2	necon2bi 2655	. . . . 5 |- ( A = (/) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
4		vex 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
5	4	sucid 4794	. . . . . . . . . . 11 |- z e. suc z
6		eleq2 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc z -> ( z e. A <-> z e. suc z ) )
7	5, 6	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc z -> z e. A )
8	7	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> z e. A )
9		breq1 4292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ~< y <-> z ~< y ) )
10	9	rexbidv 2734	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. y e. A z ~< y ) )
11		breq2 4293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( z ~< y <-> z ~< w ) )
12	11	cbvrexv 2946	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A z ~< y <-> E. w e. A z ~< w )
13	10, 12	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. w e. A z ~< w ) )
14	13	rspcv 3066	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
15	8, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
16		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = suc z -> ( w e. A <-> w e. suc z ) )
17	16	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A = suc z /\ w e. A ) -> w e. suc z )
18	17	3ad2antl2 1146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. suc z )
19		nnon 6481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> z e. On )
20		suceloni 6423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> suc z e. On )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> suc z e. On )
22		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = suc z -> ( A e. On <-> suc z e. On ) )
23	22	biimparc 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( suc z e. On /\ A = suc z ) -> A e. On )
24	21, 23	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> A e. On )
25	24	3adant3 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A e. On )
26		onelon 4740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ w e. A ) -> w e. On )
27	25, 26	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. On )
28		simpl1 986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. om )
29	28, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. On )
30		onsssuc 4802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. On /\ z e. On ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
32	18, 31	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w C_ z )
33		ssdomg 7351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( w C_ z -> w ~<_ z ) )
34	4, 32, 33	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w ~<_ z )
35		domnsym 7433	. . . . . . . . . . 11 |- ( w ~<_ z -> -. z ~< w )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> -. z ~< w )
37	36	nrexdv 2817	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. E. w e. A z ~< w )
38	37	3expia 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> -. E. w e. A z ~< w ) )
39	15, 38	pm2.65d 175	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. A. x e. A E. y e. A x ~< y )
40		simp3 985	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A. x e. A E. y e. A x ~< y )
41	39, 40	nsyl 121	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
42	41	rexlimiva 2834	. . . . 5 |- ( E. z e. om A = suc z -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
43	3, 42	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
44	1, 43	syl 16	. . 3 |- ( A e. om -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
45	44	con2i 120	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. A e. om )
46		ordom 6484	. . 3 |- Ord om
47		eloni 4725	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
48	47	3ad2ant2 1005	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> Ord A )
49		ordtri1 4748	. . 3 |- ( ( Ord om /\ Ord A ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
50	46, 48, 49	sylancr 658	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
51	45, 50	mpbird 232	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   Ord word 4714   Oncon0 4715   suc csuc 4717   omcom 6475   ~<_ cdom 7304   ~< csdm 7305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-om 6476  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309

This theorem is referenced by:  winainf  8857  tskcard  8944  gruina  8981