Theorem winainflem 9125

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	|- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 6731	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) )
2		simp1 1005	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A =/= (/) )
3	2	necon2bi 2657	. . . . 5 |- ( A = (/) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
4		vex 3083	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
5	4	sucid 5521	. . . . . . . . . . 11 |- z e. suc z
6		eleq2 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc z -> ( z e. A <-> z e. suc z ) )
7	5, 6	mpbiri 236	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc z -> z e. A )
8	7	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> z e. A )
9		breq1 4426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ~< y <-> z ~< y ) )
10	9	rexbidv 2936	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. y e. A z ~< y ) )
11		breq2 4427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( z ~< y <-> z ~< w ) )
12	11	cbvrexv 3055	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A z ~< y <-> E. w e. A z ~< w )
13	10, 12	syl6bb 264	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. w e. A z ~< w ) )
14	13	rspcv 3178	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
16		eleq2 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = suc z -> ( w e. A <-> w e. suc z ) )
17	16	biimpa 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A = suc z /\ w e. A ) -> w e. suc z )
18	17	3ad2antl2 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. suc z )
19		nnon 6712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> z e. On )
20		suceloni 6654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> suc z e. On )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> suc z e. On )
22		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = suc z -> ( A e. On <-> suc z e. On ) )
23	22	biimparc 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( suc z e. On /\ A = suc z ) -> A e. On )
24	21, 23	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> A e. On )
25	24	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A e. On )
26		onelon 5467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ w e. A ) -> w e. On )
27	25, 26	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. On )
28		simpl1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. om )
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. On )
30		onsssuc 5529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. On /\ z e. On ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
32	18, 31	mpbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w C_ z )
33		ssdomg 7625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( w C_ z -> w ~<_ z ) )
34	4, 32, 33	mpsyl 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w ~<_ z )
35		domnsym 7707	. . . . . . . . . . 11 |- ( w ~<_ z -> -. z ~< w )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> -. z ~< w )
37	36	nrexdv 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. E. w e. A z ~< w )
38	37	3expia 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> -. E. w e. A z ~< w ) )
39	15, 38	pm2.65d 178	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. A. x e. A E. y e. A x ~< y )
40	39	intn3an3d 1376	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
41	40	rexlimiva 2910	. . . . 5 |- ( E. z e. om A = suc z -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
42	3, 41	jaoi 380	. . . 4 |- ( ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
43	1, 42	syl 17	. . 3 |- ( A e. om -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
44	43	con2i 123	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. A e. om )
45		ordom 6715	. . 3 |- Ord om
46		eloni 5452	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
47	46	3ad2ant2 1027	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> Ord A )
48		ordtri1 5475	. . 3 |- ( ( Ord om /\ Ord A ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
49	45, 47, 48	sylancr 667	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
50	44, 49	mpbird 235	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   Ord word 5441   Oncon0 5442   suc csuc 5444   omcom 6706   ~<_ cdom 7578   ~< csdm 7579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-om 6707  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583

This theorem is referenced by:  winainf  9126  tskcard  9213  gruina  9250