MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainf Structured version   Unicode version

Theorem winainf 9118
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainf  |-  ( A  e.  InaccW  ->  om  C_  A
)

Proof of Theorem winainf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 9110 . 2  |-  ( A  e.  InaccW  <->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y
) )
2 cfon 8683 . . . 4  |-  ( cf `  A )  e.  On
3 eleq1 2501 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  =  A  ->  (
( cf `  A
)  e.  On  <->  A  e.  On ) )
42, 3mpbii 214 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  =  A  ->  A  e.  On )
5 winainflem 9117 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
64, 5syl3an2 1298 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
71, 6sylbi 198 1  |-  ( A  e.  InaccW  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   Oncon0 5442   ` cfv 5601   omcom 6706    ~< csdm 7576   cfccf 8370   InaccWcwina 9106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-card 8372  df-cf 8374  df-wina 9108
This theorem is referenced by:  winalim  9119  winalim2  9120  gchina  9123  inar1  9199
  Copyright terms: Public domain W3C validator