MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainf Structured version   Unicode version

Theorem winainf 9072
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainf  |-  ( A  e.  InaccW  ->  om  C_  A
)

Proof of Theorem winainf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 9064 . 2  |-  ( A  e.  InaccW  <->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y
) )
2 cfon 8635 . . . 4  |-  ( cf `  A )  e.  On
3 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  =  A  ->  (
( cf `  A
)  e.  On  <->  A  e.  On ) )
42, 3mpbii 211 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  =  A  ->  A  e.  On )
5 winainflem 9071 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
64, 5syl3an2 1262 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
71, 6sylbi 195 1  |-  ( A  e.  InaccW  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   Oncon0 4878   ` cfv 5588   omcom 6684    ~< csdm 7515   cfccf 8318   InaccWcwina 9060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-card 8320  df-cf 8322  df-wina 9062
This theorem is referenced by:  winalim  9073  winalim2  9074  gchina  9077  inar1  9153
  Copyright terms: Public domain W3C validator