Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wilthlem1 24072
 Description: The only elements that are equal to their own inverses in the multiplicative group of nonzero elements in are and . (Note that from prmdiveq 14813, is the modular inverse of in . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
wilthlem1

Proof of Theorem wilthlem1
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10
21adantl 473 . . . . . . . . 9
3 peano2zm 11004 . . . . . . . . 9
42, 3syl 17 . . . . . . . 8
54zcnd 11064 . . . . . . 7
62peano2zd 11066 . . . . . . . 8
76zcnd 11064 . . . . . . 7
85, 7mulcomd 9682 . . . . . 6
92zcnd 11064 . . . . . . 7
10 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
11 subsq 12420 . . . . . . 7
129, 10, 11sylancl 675 . . . . . 6
139sqvald 12451 . . . . . . 7
14 sq1 12407 . . . . . . . 8
1514a1i 11 . . . . . . 7
1613, 15oveq12d 6326 . . . . . 6
178, 12, 163eqtr2d 2511 . . . . 5
1817breq2d 4407 . . . 4
19 1e0p1 11102 . . . . . . . 8
2019oveq1i 6318 . . . . . . 7
21 0z 10972 . . . . . . . 8
22 fzp1ss 11873 . . . . . . . 8
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7
2420, 23eqsstri 3448 . . . . . 6
25 simpr 468 . . . . . 6
2624, 25sseldi 3416 . . . . 5
2726biantrurd 516 . . . 4
2818, 27bitrd 261 . . 3
29 simpl 464 . . . 4
30 euclemma 14744 . . . 4
3129, 4, 6, 30syl3anc 1292 . . 3
32 prmnn 14704 . . . . 5
33 fzm1ndvds 14434 . . . . 5
3432, 33sylan 479 . . . 4
35 eqid 2471 . . . . 5
3635prmdiveq 14813 . . . 4
3729, 2, 34, 36syl3anc 1292 . . 3
3828, 31, 373bitr3rd 292 . 2
3929, 32syl 17 . . . . 5
40 1zzd 10992 . . . . 5
41 moddvds 14389 . . . . 5
4239, 2, 40, 41syl3anc 1292 . . . 4
43 elfznn 11854 . . . . . . . 8
4443adantl 473 . . . . . . 7
4544nnred 10646 . . . . . 6
4639nnrpd 11362 . . . . . 6
4744nnnn0d 10949 . . . . . . 7
4847nn0ge0d 10952 . . . . . 6
49 elfzle2 11829 . . . . . . . 8
5049adantl 473 . . . . . . 7
51 prmz 14705 . . . . . . . 8
52 zltlem1 11013 . . . . . . . 8
531, 51, 52syl2anr 486 . . . . . . 7
5450, 53mpbird 240 . . . . . 6
55 modid 12154 . . . . . 6
5645, 46, 48, 54, 55syl22anc 1293 . . . . 5
5739nnred 10646 . . . . . 6
58 prmuz2 14721 . . . . . . . 8
5929, 58syl 17 . . . . . . 7
60 eluz2b2 11254 . . . . . . . 8
6160simprbi 471 . . . . . . 7
6259, 61syl 17 . . . . . 6
63 1mod 12162 . . . . . 6
6457, 62, 63syl2anc 673 . . . . 5
6556, 64eqeq12d 2486 . . . 4
6642, 65bitr3d 263 . . 3
6740znegcld 11065 . . . . 5
68 moddvds 14389 . . . . 5
6939, 2, 67, 68syl3anc 1292 . . . 4
7039nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
7170mulid2d 9679 . . . . . . . . 9
7271oveq2d 6324 . . . . . . . 8
73 neg1cn 10735 . . . . . . . . 9
74 addcom 9837 . . . . . . . . 9
7573, 70, 74sylancr 676 . . . . . . . 8
76 negsub 9942 . . . . . . . . 9
7770, 10, 76sylancl 675 . . . . . . . 8
7872, 75, 773eqtrd 2509 . . . . . . 7
7978oveq1d 6323 . . . . . 6
80 neg1rr 10736 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7
82 modcyc 12165 . . . . . . 7
8381, 46, 40, 82syl3anc 1292 . . . . . 6
84 peano2rem 9961 . . . . . . . 8
8557, 84syl 17 . . . . . . 7
86 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . 9
8739, 86syl 17 . . . . . . . 8
8887nn0ge0d 10952 . . . . . . 7
8957ltm1d 10561 . . . . . . 7
90 modid 12154 . . . . . . 7
9185, 46, 88, 89, 90syl22anc 1293 . . . . . 6
9279, 83, 913eqtr3d 2513 . . . . 5
9356, 92eqeq12d 2486 . . . 4
94 subneg 9943 . . . . . 6
959, 10, 94sylancl 675 . . . . 5
9695breq2d 4407 . . . 4
9769, 93, 963bitr3rd 292 . . 3
9866, 97orbi12d 724 . 2
9938, 98bitrd 261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cmo 12129  cexp 12310   cdvds 14382  cprime 14701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793 This theorem is referenced by:  wilthlem2  24073
 Copyright terms: Public domain W3C validator