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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > wilthlem1 | Structured version Unicode version |
Description: The only elements that
are equal to their own inverses in the
multiplicative group of nonzero elements in ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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wilthlem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elfzelz 11563 |
. . . . . . . . . 10
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2 | 1 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
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3 | peano2zm 10792 |
. . . . . . . . 9
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4 | 2, 3 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | zcnd 10852 |
. . . . . . 7
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6 | 2 | peano2zd 10854 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | zcnd 10852 |
. . . . . . 7
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8 | 5, 7 | mulcomd 9511 |
. . . . . 6
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9 | 2 | zcnd 10852 |
. . . . . . 7
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10 | ax-1cn 9444 |
. . . . . . 7
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11 | subsq 12083 |
. . . . . . 7
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12 | 9, 10, 11 | sylancl 662 |
. . . . . 6
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13 | 9 | sqvald 12115 |
. . . . . . 7
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14 | sq1 12070 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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16 | 13, 15 | oveq12d 6211 |
. . . . . 6
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17 | 8, 12, 16 | 3eqtr2d 2498 |
. . . . 5
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18 | 17 | breq2d 4405 |
. . . 4
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19 | 1e0p1 10887 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | oveq1i 6203 |
. . . . . . 7
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21 | 0z 10761 |
. . . . . . . 8
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22 | fzp1ss 11616 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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24 | 20, 23 | eqsstri 3487 |
. . . . . 6
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25 | simpr 461 |
. . . . . 6
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26 | 24, 25 | sseldi 3455 |
. . . . 5
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27 | 26 | biantrurd 508 |
. . . 4
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28 | 18, 27 | bitrd 253 |
. . 3
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29 | simpl 457 |
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30 | euclemma 13905 |
. . . 4
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31 | 29, 4, 6, 30 | syl3anc 1219 |
. . 3
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32 | prmnn 13877 |
. . . . 5
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33 | fzm1ndvds 13696 |
. . . . 5
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34 | 32, 33 | sylan 471 |
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35 | eqid 2451 |
. . . . 5
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36 | 35 | prmdiveq 13972 |
. . . 4
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37 | 29, 2, 34, 36 | syl3anc 1219 |
. . 3
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38 | 28, 31, 37 | 3bitr3rd 284 |
. 2
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39 | 29, 32 | syl 16 |
. . . . 5
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40 | 1zzd 10781 |
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41 | moddvds 13653 |
. . . . 5
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42 | 39, 2, 40, 41 | syl3anc 1219 |
. . . 4
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43 | elfznn 11588 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | adantl 466 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | nnred 10441 |
. . . . . 6
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46 | 39 | nnrpd 11130 |
. . . . . 6
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47 | 44 | nnnn0d 10740 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | nn0ge0d 10743 |
. . . . . 6
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49 | elfzle2 11565 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | adantl 466 |
. . . . . . 7
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51 | prmz 13878 |
. . . . . . . 8
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52 | zltlem1 10801 |
. . . . . . . 8
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53 | 1, 51, 52 | syl2anr 478 |
. . . . . . 7
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54 | 50, 53 | mpbird 232 |
. . . . . 6
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55 | modid 11842 |
. . . . . 6
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56 | 45, 46, 48, 54, 55 | syl22anc 1220 |
. . . . 5
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57 | 39 | nnred 10441 |
. . . . . 6
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58 | prmuz2 13892 |
. . . . . . . 8
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59 | 29, 58 | syl 16 |
. . . . . . 7
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60 | eluz2b2 11031 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | simprbi 464 |
. . . . . . 7
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62 | 59, 61 | syl 16 |
. . . . . 6
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63 | 1mod 11850 |
. . . . . 6
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64 | 57, 62, 63 | syl2anc 661 |
. . . . 5
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65 | 56, 64 | eqeq12d 2473 |
. . . 4
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66 | 42, 65 | bitr3d 255 |
. . 3
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67 | 40 | znegcld 10853 |
. . . . 5
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68 | moddvds 13653 |
. . . . 5
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69 | 39, 2, 67, 68 | syl3anc 1219 |
. . . 4
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70 | 39 | nncnd 10442 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 70 | mulid2d 9508 |
. . . . . . . . 9
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72 | 71 | oveq2d 6209 |
. . . . . . . 8
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73 | neg1cn 10529 |
. . . . . . . . 9
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74 | addcom 9659 |
. . . . . . . . 9
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75 | 73, 70, 74 | sylancr 663 |
. . . . . . . 8
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76 | negsub 9761 |
. . . . . . . . 9
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77 | 70, 10, 76 | sylancl 662 |
. . . . . . . 8
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78 | 72, 75, 77 | 3eqtrd 2496 |
. . . . . . 7
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79 | 78 | oveq1d 6208 |
. . . . . 6
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80 | neg1rr 10530 |
. . . . . . . 8
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81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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82 | modcyc 11853 |
. . . . . . 7
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83 | 81, 46, 40, 82 | syl3anc 1219 |
. . . . . 6
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84 | peano2rem 9779 |
. . . . . . . 8
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85 | 57, 84 | syl 16 |
. . . . . . 7
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86 | nnm1nn0 10725 |
. . . . . . . . 9
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87 | 39, 86 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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88 | 87 | nn0ge0d 10743 |
. . . . . . 7
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89 | 57 | ltm1d 10369 |
. . . . . . 7
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90 | modid 11842 |
. . . . . . 7
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91 | 85, 46, 88, 89, 90 | syl22anc 1220 |
. . . . . 6
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92 | 79, 83, 91 | 3eqtr3d 2500 |
. . . . 5
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93 | 56, 92 | eqeq12d 2473 |
. . . 4
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94 | subneg 9762 |
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95 | 9, 10, 94 | sylancl 662 |
. . . . 5
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96 | 95 | breq2d 4405 |
. . . 4
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97 | 69, 93, 96 | 3bitr3rd 284 |
. . 3
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98 | 66, 97 | orbi12d 709 |
. 2
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99 | 38, 98 | bitrd 253 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4504 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-un 6475 ax-cnex 9442 ax-resscn 9443 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-addrcl 9447 ax-mulcl 9448 ax-mulrcl 9449 ax-mulcom 9450 ax-addass 9451 ax-mulass 9452 ax-distr 9453 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 ax-1rid 9456 ax-rnegex 9457 ax-rrecex 9458 ax-cnre 9459 ax-pre-lttri 9460 ax-pre-lttrn 9461 ax-pre-ltadd 9462 ax-pre-mulgt0 9463 ax-pre-sup 9464 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rmo 2803 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-csb 3390 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-pss 3445 df-nul 3739 df-if 3893 df-pw 3963 df-sn 3979 df-pr 3981 df-tp 3983 df-op 3985 df-uni 4193 df-int 4230 df-iun 4274 df-br 4394 df-opab 4452 df-mpt 4453 df-tr 4487 df-eprel 4733 df-id 4737 df-po 4742 df-so 4743 df-fr 4780 df-we 4782 df-ord 4823 df-on 4824 df-lim 4825 df-suc 4826 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-ima 4954 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fo 5525 df-f1o 5526 df-fv 5527 df-riota 6154 df-ov 6196 df-oprab 6197 df-mpt2 6198 df-om 6580 df-1st 6680 df-2nd 6681 df-recs 6935 df-rdg 6969 df-1o 7023 df-2o 7024 df-oadd 7027 df-er 7204 df-map 7319 df-en 7414 df-dom 7415 df-sdom 7416 df-fin 7417 df-sup 7795 df-card 8213 df-cda 8441 df-pnf 9524 df-mnf 9525 df-xr 9526 df-ltxr 9527 df-le 9528 df-sub 9701 df-neg 9702 df-div 10098 df-nn 10427 df-2 10484 df-3 10485 df-n0 10684 df-z 10751 df-uz 10966 df-rp 11096 df-fz 11548 df-fzo 11659 df-fl 11752 df-mod 11819 df-seq 11917 df-exp 11976 df-hash 12214 df-cj 12699 df-re 12700 df-im 12701 df-sqr 12835 df-abs 12836 df-dvds 13647 df-gcd 13802 df-prm 13875 df-phi 13952 |
This theorem is referenced by: wilthlem2 22533 |
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