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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > wilthlem1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The only elements that
are equal to their own inverses in the
multiplicative group of nonzero elements in ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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wilthlem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elfzelz 11826 |
. . . . . . . . . 10
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2 | 1 | adantl 473 |
. . . . . . . . 9
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3 | peano2zm 11004 |
. . . . . . . . 9
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4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | zcnd 11064 |
. . . . . . 7
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6 | 2 | peano2zd 11066 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | zcnd 11064 |
. . . . . . 7
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8 | 5, 7 | mulcomd 9682 |
. . . . . 6
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9 | 2 | zcnd 11064 |
. . . . . . 7
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10 | ax-1cn 9615 |
. . . . . . 7
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11 | subsq 12420 |
. . . . . . 7
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12 | 9, 10, 11 | sylancl 675 |
. . . . . 6
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13 | 9 | sqvald 12451 |
. . . . . . 7
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14 | sq1 12407 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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16 | 13, 15 | oveq12d 6326 |
. . . . . 6
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17 | 8, 12, 16 | 3eqtr2d 2511 |
. . . . 5
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18 | 17 | breq2d 4407 |
. . . 4
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19 | 1e0p1 11102 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | oveq1i 6318 |
. . . . . . 7
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21 | 0z 10972 |
. . . . . . . 8
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22 | fzp1ss 11873 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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24 | 20, 23 | eqsstri 3448 |
. . . . . 6
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25 | simpr 468 |
. . . . . 6
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26 | 24, 25 | sseldi 3416 |
. . . . 5
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27 | 26 | biantrurd 516 |
. . . 4
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28 | 18, 27 | bitrd 261 |
. . 3
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29 | simpl 464 |
. . . 4
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30 | euclemma 14744 |
. . . 4
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31 | 29, 4, 6, 30 | syl3anc 1292 |
. . 3
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32 | prmnn 14704 |
. . . . 5
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33 | fzm1ndvds 14434 |
. . . . 5
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34 | 32, 33 | sylan 479 |
. . . 4
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35 | eqid 2471 |
. . . . 5
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36 | 35 | prmdiveq 14813 |
. . . 4
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37 | 29, 2, 34, 36 | syl3anc 1292 |
. . 3
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38 | 28, 31, 37 | 3bitr3rd 292 |
. 2
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39 | 29, 32 | syl 17 |
. . . . 5
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40 | 1zzd 10992 |
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41 | moddvds 14389 |
. . . . 5
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42 | 39, 2, 40, 41 | syl3anc 1292 |
. . . 4
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43 | elfznn 11854 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | adantl 473 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | nnred 10646 |
. . . . . 6
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46 | 39 | nnrpd 11362 |
. . . . . 6
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47 | 44 | nnnn0d 10949 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | nn0ge0d 10952 |
. . . . . 6
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49 | elfzle2 11829 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | adantl 473 |
. . . . . . 7
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51 | prmz 14705 |
. . . . . . . 8
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52 | zltlem1 11013 |
. . . . . . . 8
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53 | 1, 51, 52 | syl2anr 486 |
. . . . . . 7
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54 | 50, 53 | mpbird 240 |
. . . . . 6
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55 | modid 12154 |
. . . . . 6
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56 | 45, 46, 48, 54, 55 | syl22anc 1293 |
. . . . 5
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57 | 39 | nnred 10646 |
. . . . . 6
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58 | prmuz2 14721 |
. . . . . . . 8
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59 | 29, 58 | syl 17 |
. . . . . . 7
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60 | eluz2b2 11254 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | simprbi 471 |
. . . . . . 7
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62 | 59, 61 | syl 17 |
. . . . . 6
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63 | 1mod 12162 |
. . . . . 6
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64 | 57, 62, 63 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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65 | 56, 64 | eqeq12d 2486 |
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66 | 42, 65 | bitr3d 263 |
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67 | 40 | znegcld 11065 |
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68 | moddvds 14389 |
. . . . 5
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69 | 39, 2, 67, 68 | syl3anc 1292 |
. . . 4
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70 | 39 | nncnd 10647 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 70 | mulid2d 9679 |
. . . . . . . . 9
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72 | 71 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . 8
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73 | neg1cn 10735 |
. . . . . . . . 9
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74 | addcom 9837 |
. . . . . . . . 9
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75 | 73, 70, 74 | sylancr 676 |
. . . . . . . 8
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76 | negsub 9942 |
. . . . . . . . 9
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77 | 70, 10, 76 | sylancl 675 |
. . . . . . . 8
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78 | 72, 75, 77 | 3eqtrd 2509 |
. . . . . . 7
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79 | 78 | oveq1d 6323 |
. . . . . 6
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80 | neg1rr 10736 |
. . . . . . . 8
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81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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82 | modcyc 12165 |
. . . . . . 7
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83 | 81, 46, 40, 82 | syl3anc 1292 |
. . . . . 6
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84 | peano2rem 9961 |
. . . . . . . 8
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85 | 57, 84 | syl 17 |
. . . . . . 7
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86 | nnm1nn0 10935 |
. . . . . . . . 9
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87 | 39, 86 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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88 | 87 | nn0ge0d 10952 |
. . . . . . 7
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89 | 57 | ltm1d 10561 |
. . . . . . 7
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90 | modid 12154 |
. . . . . . 7
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91 | 85, 46, 88, 89, 90 | syl22anc 1293 |
. . . . . 6
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92 | 79, 83, 91 | 3eqtr3d 2513 |
. . . . 5
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93 | 56, 92 | eqeq12d 2486 |
. . . 4
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94 | subneg 9943 |
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95 | 9, 10, 94 | sylancl 675 |
. . . . 5
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96 | 95 | breq2d 4407 |
. . . 4
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97 | 69, 93, 96 | 3bitr3rd 292 |
. . 3
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98 | 66, 97 | orbi12d 724 |
. 2
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99 | 38, 98 | bitrd 261 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-sup 7974 df-inf 7975 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-rp 11326 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-fl 12061 df-mod 12130 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-dvds 14383 df-gcd 14548 df-prm 14702 df-phi 14793 |
This theorem is referenced by: wilthlem2 24073 |
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