Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilth Structured version   Unicode version

Theorem wilth 23470
 Description: Wilson's theorem. A number is prime iff it is greater or equal to and is congruent to , , or alternatively if divides . In this part of the proof we show the relatively simple reverse implication; see wilthlem3 23469 for the forward implication. This is Metamath 100 proof #51. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
wilth

Proof of Theorem wilth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 14246 . . 3
2 eqid 2457 . . . 4 mulGrpfld mulGrpfld
3 eleq2 2530 . . . . . 6
4 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
54oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
65eleq1d 2526 . . . . . . . 8
76cbvralv 3084 . . . . . . 7
8 eleq2 2530 . . . . . . . 8
98raleqbi1dv 3062 . . . . . . 7
107, 9syl5bb 257 . . . . . 6
113, 10anbi12d 710 . . . . 5
1211cbvrabv 3108 . . . 4
132, 12wilthlem3 23469 . . 3
141, 13jca 532 . 2
15 simpl 457 . . 3
16 elfzuz 11709 . . . . . . . . 9
1716adantl 466 . . . . . . . 8
18 eluz2nn 11144 . . . . . . . 8
1917, 18syl 16 . . . . . . 7
20 elfzuz3 11710 . . . . . . . 8
2120adantl 466 . . . . . . 7
22 dvdsfac 14052 . . . . . . 7
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . 6
24 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . 10
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
26 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . 9
27 faccl 12365 . . . . . . . . 9
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . . 8
2928nnzd 10989 . . . . . . 7
30 eluz2b2 11179 . . . . . . . . 9
3130simprbi 464 . . . . . . . 8
3217, 31syl 16 . . . . . . 7
33 ndvdsp1 14078 . . . . . . 7
3429, 19, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . 6
3523, 34mpd 15 . . . . 5
36 simplr 755 . . . . . 6
3719nnzd 10989 . . . . . . 7
3825nnzd 10989 . . . . . . 7
3929peano2zd 10993 . . . . . . 7
40 dvdstr 14029 . . . . . . 7
4137, 38, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . 6
4236, 41mpan2d 674 . . . . 5
4335, 42mtod 177 . . . 4
4443ralrimiva 2871 . . 3
45 isprm3 14237 . . 3
4615, 44, 45sylanbrc 664 . 2
4714, 46impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wcel 1819  wral 2807  crab 2811  cpw 4015   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  c1 9510   caddc 9512   clt 9645   cmin 9824  cn 10556  c2 10606  cn0 10816  cz 10885  cuz 11106  cfz 11697   cmo 11998  cexp 12168  cfa 12355   cdvds 13997  cprime 14228  mulGrpcmgp 17267  ℂfldccnfld 18546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-phi 14307  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-subrg 17553  df-cnfld 18547 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator