Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem wfrlem5 7052
 Description: Lemma for well-founded recursion. The values of two acceptable functions agree within their domains. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem5.1
wfrlem5.2 Se
wfrlem5.3
Assertion
Ref Expression
wfrlem5
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,,,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem wfrlem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3083 . . . . . 6
2 vex 3083 . . . . . 6
31, 2breldm 5058 . . . . 5
4 vex 3083 . . . . . 6
51, 4breldm 5058 . . . . 5
63, 5anim12i 568 . . . 4
7 elin 3649 . . . 4
86, 7sylibr 215 . . 3
9 anandir 836 . . . . 5
102brres 5130 . . . . . 6
114brres 5130 . . . . . 6
1210, 11anbi12i 701 . . . . 5
139, 12bitr4i 255 . . . 4
1413biimpi 197 . . 3
158, 14mpdan 672 . 2
16 wfrlem5.3 . . . . . . . . 9
1716wfrlem3 7049 . . . . . . . 8
18 ssinss1 3690 . . . . . . . 8
19 wfrlem5.1 . . . . . . . . . 10
20 wess 4840 . . . . . . . . . 10
2119, 20mpi 20 . . . . . . . . 9
22 wfrlem5.2 . . . . . . . . . 10 Se
23 sess2 4822 . . . . . . . . . 10 Se Se
2422, 23mpi 20 . . . . . . . . 9 Se
2521, 24jca 534 . . . . . . . 8 Se
2617, 18, 253syl 18 . . . . . . 7 Se
2726adantr 466 . . . . . 6 Se
2819, 16wfrlem4 7051 . . . . . 6
2919, 16wfrlem4 7051 . . . . . . . 8
3029ancoms 454 . . . . . . 7
31 incom 3655 . . . . . . . . . . 11
3231reseq2i 5121 . . . . . . . . . 10
3332fneq1i 5688 . . . . . . . . 9
3431fneq2i 5689 . . . . . . . . 9
3533, 34bitri 252 . . . . . . . 8
3632fveq1i 5883 . . . . . . . . . 10
37 predeq2 5402 . . . . . . . . . . . . 13
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
3932, 38reseq12i 5122 . . . . . . . . . . 11
4039fveq2i 5885 . . . . . . . . . 10
4136, 40eqeq12i 2442 . . . . . . . . 9
4231, 41raleqbii 2867 . . . . . . . 8
4335, 42anbi12i 701 . . . . . . 7
4430, 43sylibr 215 . . . . . 6
45 wfr3g 7046 . . . . . 6 Se
4627, 28, 44, 45syl3anc 1264 . . . . 5
4746breqd 4434 . . . 4
4847biimprd 226 . . 3
4916wfrlem2 7048 . . . . 5
50 funres 5640 . . . . 5
51 dffun2 5611 . . . . . 6
5251simprbi 465 . . . . 5
53 2sp 1921 . . . . . 6
5453sps 1920 . . . . 5
5549, 50, 52, 544syl 19 . . . 4
5748, 56sylan2d 484 . 2
5815, 57syl5 33 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982  wal 1435   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872  cab 2407  wral 2771   cin 3435   wss 3436   class class class wbr 4423   Se wse 4810   wwe 4811   cdm 4853   cres 4855   wrel 4858  cpred 5398   wfun 5595   wfn 5596  cfv 5601 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609 This theorem is referenced by:  wfrfun  7058
 Copyright terms: Public domain W3C validator