Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wfrlem4 Unicode version

Theorem wfrlem4 25473
 Description: Lemma for well-founded recursion. Properties of the restriction of an acceptable function to the domain of another one. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem4.1
wfrlem4.2
Assertion
Ref Expression
wfrlem4
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,   ,,,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)

Proof of Theorem wfrlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wfrlem4.2 . . . . . 6
21wfrlem2 25471 . . . . 5
3 funfn 5441 . . . . 5
42, 3sylib 189 . . . 4
5 fnresin1 5518 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
8 inss1 3521 . . . . . . . 8
98sseli 3304 . . . . . . 7
101wfrlem1 25470 . . . . . . . . 9
1110abeq2i 2511 . . . . . . . 8
12 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . 13
1312raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . 12
1413biimpar 472 . . . . . . . . . . 11
15 rsp 2726 . . . . . . . . . . 11
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10
17163adant2 976 . . . . . . . . 9
1817exlimiv 1641 . . . . . . . 8
1911, 18sylbi 188 . . . . . . 7
209, 19syl5 30 . . . . . 6
2120imp 419 . . . . 5
2221adantlr 696 . . . 4
23 fvres 5704 . . . . 5
2423adantl 453 . . . 4
25 resres 5118 . . . . . 6
26 predss 25387 . . . . . . . . 9
27 sseqin2 3520 . . . . . . . . 9
2826, 27mpbi 200 . . . . . . . 8
291wfrlem1 25470 . . . . . . . . . . . 12
3029abeq2i 2511 . . . . . . . . . . 11
31 3an6 1264 . . . . . . . . . . . . . 14
32312exbii 1590 . . . . . . . . . . . . 13
33 eeanv 1933 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33bitri 241 . . . . . . . . . . . 12
35 ssinss1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
37 nfra1 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 nfra1 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3937, 38nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4140sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4341, 42syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
44 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4544sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4745, 46syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4843, 47anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49 ssin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5049biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5148, 50syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5239, 51ralrimi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5436, 53jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5612, 55ineqan12d 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6057, 59anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6256, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6354, 62mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14
65643adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13
6665exlimivv 1642 . . . . . . . . . . . 12
6734, 66sylbir 205 . . . . . . . . . . 11
6811, 30, 67syl2anb 466 . . . . . . . . . 10
6968adantr 452 . . . . . . . . 9
70 simpr 448 . . . . . . . . 9
71 preddowncl 25410 . . . . . . . . 9
7269, 70, 71sylc 58 . . . . . . . 8
7328, 72syl5eq 2448 . . . . . . 7
7473reseq2d 5105 . . . . . 6
7525, 74syl5eq 2448 . . . . 5
7675fveq2d 5691 . . . 4
7722, 24, 763eqtr4d 2446 . . 3
7877ralrimiva 2749 . 2
797, 78jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  cab 2390  wral 2666   cin 3279   wss 3280   wwe 4500   cdm 4837   cres 4839   wfun 5407   wfn 5408  cfv 5413  cpred 25381 This theorem is referenced by:  wfrlem5  25474 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421  df-pred 25382
 Copyright terms: Public domain W3C validator