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Theorem wfrlem17 7058
Description: Without using ax-rep 4534, show that all restrictions of wrecs are sets. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem17.1  |-  R  We  A
wfrlem17.2  |-  R Se  A
wfrlem17.3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
Assertion
Ref Expression
wfrlem17  |-  ( X  e.  dom  F  -> 
( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  e. 
_V )

Proof of Theorem wfrlem17
Dummy variables  f 
g  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wfrlem17.1 . . . . 5  |-  R  We  A
2 wfrlem17.2 . . . . 5  |-  R Se  A
3 wfrlem17.3 . . . . 5  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
41, 2, 3wfrfun 7052 . . . 4  |-  Fun  F
5 funfvop 6007 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  dom  F )  ->  <. X ,  ( F `
 X ) >.  e.  F )
64, 5mpan 675 . . 3  |-  ( X  e.  dom  F  ->  <. X ,  ( F `
 X ) >.  e.  F )
7 df-wrecs 7034 . . . . . 6  |- wrecs ( R ,  A ,  G
)  =  U. {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) }
83, 7eqtri 2452 . . . . 5  |-  F  = 
U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }
98eleq2i 2501 . . . 4  |-  ( <. X ,  ( F `  X ) >.  e.  F  <->  <. X ,  ( F `  X ) >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )
10 eluni 4220 . . . 4  |-  ( <. X ,  ( F `  X ) >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. g ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )
119, 10bitri 253 . . 3  |-  ( <. X ,  ( F `  X ) >.  e.  F  <->  E. g ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )
126, 11sylib 200 . 2  |-  ( X  e.  dom  F  ->  E. g ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )
13 simprr 765 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )  ->  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )
14 eqid 2423 . . . . 5  |-  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }
15 vex 3085 . . . . 5  |-  g  e. 
_V
1614, 15wfrlem3a 7044 . . . 4  |-  ( g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. z ( g  Fn  z  /\  ( z 
C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
)  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  w )
) ) ) )
1713, 16sylib 200 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )  ->  E. z
( g  Fn  z  /\  ( z  C_  A  /\  A. w  e.  z 
Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z )  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  w ) ) ) ) )
18 3simpa 1003 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  z  /\  ( z  C_  A  /\  A. w  e.  z 
Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z )  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  w ) ) ) )  ->  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) )
19 simprlr 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  g  e.  {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) } )
20 elssuni 4246 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  ->  g  C_  U. {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) } )
2120, 8syl6sseqr 3512 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  ->  g  C_  F
)
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  g  C_  F
)
23 simprll 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g )
24 df-br 4422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X g ( F `  X )  <->  <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g )
2523, 24sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  X g ( F `  X ) )
26 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
27 breldmg 5057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( F `  X
)  e.  _V  /\  X g ( F `
 X ) )  ->  X  e.  dom  g )
2826, 27mp3an2 1349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  X g ( F `
 X ) )  ->  X  e.  dom  g )
2925, 28syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  X  e.  dom  g )
30 simprrl 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  g  Fn  z
)
31 fndm 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  dom  g  =  z )
3329, 32eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  X  e.  z )
34 simprrr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) )  ->  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
)
3534adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  A. w  e.  z 
Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z )
36 predeq3 5401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  Pred ( R ,  A ,  w )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
3736sseq1d 3492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z  <->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  z
) )
3837rspcva 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  z  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
)  ->  Pred ( R ,  A ,  X
)  C_  z )
3933, 35, 38syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  z )
4039, 32sseqtr4d 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
dom  g )
41 fun2ssres 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  g  C_  F  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  dom  g )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X )
)  =  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  X )
) )
424, 41mp3an1 1348 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  C_  F  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  dom  g )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X )
)  =  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  X )
) )
4322, 40, 42syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
4415resex 5165 . . . . . . 7  |-  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  X )
)  e.  _V
4543, 44syl6eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( ( <. X , 
( F `  X
) >.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )  /\  ( g  Fn  z  /\  (
z  C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
) ) ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  e. 
_V )
4645expr 619 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )  ->  (
( g  Fn  z  /\  ( z  C_  A  /\  A. w  e.  z 
Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z ) )  -> 
( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  e. 
_V ) )
4718, 46syl5 34 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )  ->  (
( g  Fn  z  /\  ( z  C_  A  /\  A. w  e.  z 
Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z )  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  w ) ) ) )  ->  ( F  |` 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  e.  _V )
)
4847exlimdv 1769 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )  ->  ( E. z ( g  Fn  z  /\  ( z 
C_  A  /\  A. w  e.  z  Pred ( R ,  A ,  w )  C_  z
)  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  Pred ( R ,  A ,  w )
) ) )  -> 
( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  e. 
_V ) )
4917, 48mpd 15 . 2  |-  ( ( X  e.  dom  F  /\  ( <. X ,  ( F `  X )
>.  e.  g  /\  g  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X )
)  e.  _V )
5012, 49exlimddv 1771 1  |-  ( X  e.  dom  F  -> 
( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   <.cop 4003   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   Se wse 4808    We wwe 4809   dom cdm 4851    |` cres 4853   Predcpred 5396   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   ` cfv 5599  wrecscwrecs 7033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-wrecs 7034
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