Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wfrlem16 Unicode version

Theorem wfrlem16 25485
 Description: Lemma for well-founded recursion. If is minimal in , then is acceptable and thus a subset of , but is bigger than . Thus, cannot be minimal, so must be empty, and (due to wfrlem7 25476), . (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem13.1
wfrlem13.2 Se
wfrlem13.3
wfrlem13.4
wfrlem13.5
Assertion
Ref Expression
wfrlem16
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem wfrlem16
StepHypRef Expression
1 wfrlem13.3 . . 3
2 wfrlem13.4 . . 3
31, 2wfrlem7 25476 . 2
4 eldifn 3430 . . . . . 6
5 ssun2 3471 . . . . . . . . 9
6 vex 2919 . . . . . . . . . 10
76snid 3801 . . . . . . . . 9
85, 7sselii 3305 . . . . . . . 8
9 wfrlem13.5 . . . . . . . . . 10
109dmeqi 5030 . . . . . . . . 9
11 dmun 5035 . . . . . . . . 9
12 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11
1312dmsnop 5303 . . . . . . . . . 10
1413uneq2i 3458 . . . . . . . . 9
1510, 11, 143eqtri 2428 . . . . . . . 8
168, 15eleqtrri 2477 . . . . . . 7
17 wfrlem13.1 . . . . . . . . . . . 12
18 wfrlem13.2 . . . . . . . . . . . 12 Se
1917, 18, 1, 2, 9wfrlem15 25484 . . . . . . . . . . 11
20 elssuni 4003 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221, 2syl6sseqr 3355 . . . . . . . . 9
23 dmss 5028 . . . . . . . . 9
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8
2524sseld 3307 . . . . . . 7
2616, 25mpi 17 . . . . . 6
274, 26mtand 641 . . . . 5
2827nrex 2768 . . . 4
29 df-ne 2569 . . . . 5
30 difss 3434 . . . . . 6
3117, 18tz6.26i 25420 . . . . . 6
3230, 31mpan 652 . . . . 5
3329, 32sylbir 205 . . . 4
3428, 33mt3 173 . . 3
35 ssdif0 3646 . . 3
3634, 35mpbir 201 . 2
373, 36eqssi 3324 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   w3a 936  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  cab 2390   wne 2567  wral 2666  wrex 2667   cdif 3277   cun 3278   wss 3280  c0 3588  csn 3774  cop 3777  cuni 3975   Se wse 4499   wwe 4500   cdm 4837   cres 4839   wfn 5408  cfv 5413  cpred 25381 This theorem is referenced by:  wfr1  25486  wfr2  25487 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-pred 25382
 Copyright terms: Public domain W3C validator