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Theorem wfrlem15 25484
Description: Lemma for well-founded recursion. When  z is  R minimal,  C is an acceptable function. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem13.1  |-  R  We  A
wfrlem13.2  |-  R Se  A
wfrlem13.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }
wfrlem13.4  |-  F  = 
U. B
wfrlem13.5  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
Assertion
Ref Expression
wfrlem15  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  e.  B )
Distinct variable groups:    A, f, x, y, z    f, F, x, y, z    f, G, x, y    R, f, x, y, z    C, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, f)    C( z)    G( z)

Proof of Theorem wfrlem15
StepHypRef Expression
1 wfrlem13.1 . . . . . 6  |-  R  We  A
2 wfrlem13.3 . . . . . 6  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }
3 wfrlem13.4 . . . . . 6  |-  F  = 
U. B
41, 2, 3wfrlem10 25479 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  =  dom  F )
5 eldifi 3429 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  z  e.  A )
6 wfrlem13.2 . . . . . . 7  |-  R Se  A
7 setlikespec 25401 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
104, 9eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  dom  F  e.  _V )
11 snex 4365 . . . 4  |-  { z }  e.  _V
12 unexg 4669 . . . 4  |-  ( ( dom  F  e.  _V  /\ 
{ z }  e.  _V )  ->  ( dom 
F  u.  { z } )  e.  _V )
1310, 11, 12sylancl 644 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  e.  _V )
14 wfrlem13.5 . . . . . 6  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
151, 6, 2, 3, 14wfrlem13 25482 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  C  Fn  ( dom  F  u.  { z } ) )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  Fn  ( dom  F  u.  { z } ) )
172, 3wfrlem7 25476 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  A
185snssd 3903 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  { z }  C_  A )
19 unss 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  C_  A  /\  { z }  C_  A )  <->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A )
2019biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  C_  A  /\  { z }  C_  A )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A
)
2117, 18, 20sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A
)
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A
)
23 elun 3448 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  e.  {
z } ) )
24 elsn 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
2524orbi2i 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  dom  F  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
2623, 25bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
272, 3wfrlem9 25478 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  F )
28 ssun3 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
31 ssun1 3470 . . . . . . . . . 10  |-  dom  F  C_  ( dom  F  u.  { z } )
324, 31syl6eqss 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) )
33 predeq3 25385 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3433sseq1d 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } )  <->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
3532, 34syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
y  =  z  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
3630, 35jaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
( y  e.  dom  F  \/  y  =  z )  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
3726, 36syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
3837ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )
3922, 38jca 519 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
( dom  F  u.  { z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
401, 6, 2, 3, 14wfrlem14 25483 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
4140ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
4241adantr 452 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
4316, 39, 423jca 1134 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  /\  ( ( dom  F  u.  {
z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
44 fneq2 5494 . . . . 5  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( C  Fn  x 
<->  C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } ) ) )
45 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A ) )
46 sseq2 3330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
4746raleqbi1dv 2872 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  <->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
4845, 47anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  <->  ( ( dom 
F  u.  { z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  {
z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) ) )
49 raleq 2864 . . . . 5  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
5044, 48, 493anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( ( C  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  <->  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  /\  ( ( dom  F  u.  { z } ) 
C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) )  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
5150spcegv 2997 . . 3  |-  ( ( dom  F  u.  {
z } )  e. 
_V  ->  ( ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  /\  ( ( dom 
F  u.  { z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  {
z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
5213, 43, 51sylc 58 . 2  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
5311, 12mpan2 653 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  u.  {
z } )  e. 
_V )
54 fnex 5920 . . . . 5  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  ( dom  F  u.  { z } )  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
5553, 54sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  dom  F  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
5616, 10, 55syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  e.  _V )
57 fneq1 5493 . . . . . 6  |-  ( f  =  C  ->  (
f  Fn  x  <->  C  Fn  x ) )
58 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  C  ->  (
f `  y )  =  ( C `  y ) )
59 reseq1 5099 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  C  ->  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  C  ->  ( G `  ( f  |` 
Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
6158, 60eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( f  =  C  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
6261ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( f  =  C  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
6357, 623anbi13d 1256 . . . . 5  |-  ( f  =  C  ->  (
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  <->  ( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6463exbidv 1633 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  <->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6564, 2elab2g 3044 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( C  e.  B  <->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6656, 65syl 16 . 2  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( C  e.  B  <->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6752, 66mpbird 224 1  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   Se wse 4499    We wwe 4500   dom cdm 4837    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   Predcpred 25381
This theorem is referenced by:  wfrlem16  25485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-pred 25382
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