Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wfrlem14 Structured version   Unicode version

Theorem wfrlem14 27871
Description: Lemma for well-founded recursion. Compute the value of  C. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem13.1  |-  R  We  A
wfrlem13.2  |-  R Se  A
wfrlem13.3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
wfrlem13.4  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
Assertion
Ref Expression
wfrlem14  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    y, F, z    y, G    y, R, z    y, C
Allowed substitution hints:    C( z)    G( z)

Proof of Theorem wfrlem14
StepHypRef Expression
1 wfrlem13.1 . . 3  |-  R  We  A
2 wfrlem13.2 . . 3  |-  R Se  A
3 wfrlem13.3 . . 3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
4 wfrlem13.4 . . 3  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
51, 2, 3, 4wfrlem13 27870 . 2  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  C  Fn  ( dom  F  u.  { z } ) )
6 elun 3595 . . . 4  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  e.  {
z } ) )
7 elsn 3989 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
87orbi2i 519 . . . 4  |-  ( ( y  e.  dom  F  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
96, 8bitri 249 . . 3  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
101, 2, 3wfrlem12 27869 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
11 fnfun 5606 . . . . . . . 8  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  Fun  C )
12 ssun1 3617 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } )
1312, 4sseqtr4i 3487 . . . . . . . . 9  |-  F  C_  C
14 funssfv 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( C `  y
)  =  ( F `
 y ) )
153wfrlem9 27866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  F )
16 fun2ssres 5557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  F )  ->  ( C  |` 
Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
1715, 16syl3an3 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )
1817fveq2d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
1914, 18eqeq12d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2013, 19mp3an2 1303 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  C  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2111, 20sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2210, 21syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( y  e.  dom  F  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2322ex 434 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( y  e.  dom  F  -> 
( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
2423pm2.43d 48 . . . 4  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( C `
 y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
25 ssnid 4004 . . . . . . 7  |-  z  e. 
{ z }
26 elun2 3622 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( dom  F  u.  {
z } ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  z  e.  ( dom  F  u.  { z } )
284reseq1i 5204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } )  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )
29 resundir 5223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } )  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )  =  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )
30 wefr 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  We  A  ->  R  Fr  A )
311, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  Fr  A
32 predfrirr 27793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Fr  A  ->  -.  z  e.  Pred ( R ,  A ,  z ) )
33 ressnop0 5988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  Pred ( R ,  A , 
z )  ->  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )  =  (/) )
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )  =  (/)
3534uneq2i 3605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)  u.  (/) )
36 un0 3760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  (/) )  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3735, 36eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )
3828, 29, 373eqtri 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)
3938fveq2i 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )
4039opeq2i 4161 . . . . . . . . . 10  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  =  <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.
41 opex 4654 . . . . . . . . . . 11  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  _V
4241elsnc 3999 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }  <->  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.  =  <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. )
4340, 42mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }
44 elun2 3622 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
z ,  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.  e.  ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  ( F  u.  {
<. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
4645, 4eleqtrri 2538 . . . . . . 7  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  C
47 fnopfvb 5832 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  z  e.  ( dom  F  u.  { z } ) )  ->  ( ( C `
 z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  <->  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.  e.  C
) )
4846, 47mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  z  e.  ( dom  F  u.  { z } ) )  ->  ( C `  z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
4927, 48mpan2 671 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( C `  z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
50 fveq2 5789 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( C `  y )  =  ( C `  z ) )
51 predeq3 27763 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
5251reseq2d 5208 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )
5352fveq2d 5793 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  ( C  |` 
Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
5450, 53eqeq12d 2473 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( C `  z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
5549, 54syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  =  z  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
5624, 55jaod 380 . . 3  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( ( y  e.  dom  F  \/  y  =  z )  ->  ( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
579, 56syl5bi 217 . 2  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  -> 
( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
585, 57syl 16 1  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3423    u. cun 3424    C_ wss 3426   (/)c0 3735   {csn 3975   <.cop 3981    Fr wfr 4774   Se wse 4775    We wwe 4776   dom cdm 4938    |` cres 4940   Fun wfun 5510    Fn wfn 5511   ` cfv 5516   Predcpred 27758  wrecscwrecs 27850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-fv 5524  df-pred 27759  df-wrecs 27851
This theorem is referenced by:  wfrlem15  27872
  Copyright terms: Public domain W3C validator