MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfrlem14 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wfrlem14 7046
Description: Lemma for well-founded recursion. Compute the value of  C. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem13.1  |-  R  We  A
wfrlem13.2  |-  R Se  A
wfrlem13.3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
wfrlem13.4  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
Assertion
Ref Expression
wfrlem14  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    y, F, z    y, G    y, R, z    y, C
Allowed substitution hints:    C( z)    G( z)

Proof of Theorem wfrlem14
StepHypRef Expression
1 wfrlem13.1 . . 3  |-  R  We  A
2 wfrlem13.2 . . 3  |-  R Se  A
3 wfrlem13.3 . . 3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
4 wfrlem13.4 . . 3  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
51, 2, 3, 4wfrlem13 7045 . 2  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  C  Fn  ( dom  F  u.  { z } ) )
6 elun 3573 . . . 4  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  e.  {
z } ) )
7 elsn 3981 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
87orbi2i 522 . . . 4  |-  ( ( y  e.  dom  F  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
96, 8bitri 253 . . 3  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
101, 2, 3wfrlem12 7044 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
11 fnfun 5671 . . . . . . . 8  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  Fun  C )
12 ssun1 3596 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } )
1312, 4sseqtr4i 3464 . . . . . . . . 9  |-  F  C_  C
14 funssfv 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( C `  y
)  =  ( F `
 y ) )
153wfrdmcl 7041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  F )
16 fun2ssres 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  F )  ->  ( C  |` 
Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
1715, 16syl3an3 1302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )
1817fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
1914, 18eqeq12d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  C  /\  F  C_  C  /\  y  e. 
dom  F )  -> 
( ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2013, 19mp3an2 1351 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  C  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2111, 20sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2210, 21syl5ibr 225 . . . . . 6  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( y  e.  dom  F  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
2322ex 436 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( y  e.  dom  F  -> 
( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
2423pm2.43d 50 . . . 4  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( C `
 y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
25 ssnid 3996 . . . . . . 7  |-  z  e. 
{ z }
26 elun2 3601 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( dom  F  u.  {
z } ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  z  e.  ( dom  F  u.  { z } )
284reseq1i 5100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } )  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )
29 resundir 5118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } )  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )  =  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )
30 wefr 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  We  A  ->  R  Fr  A )
311, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  Fr  A
32 predfrirr 5408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Fr  A  ->  -.  z  e.  Pred ( R ,  A ,  z ) )
33 ressnop0 6069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  Pred ( R ,  A , 
z )  ->  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )  =  (/) )
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )  =  (/)
3534uneq2i 3584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)  u.  (/) )
36 un0 3758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  (/) )  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3735, 36eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  u.  ( { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >. }  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )
3828, 29, 373eqtri 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
)
3938fveq2i 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )
4039opeq2i 4169 . . . . . . . . . 10  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  =  <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.
41 opex 4663 . . . . . . . . . . 11  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  _V
4241elsnc 3991 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }  <->  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.  =  <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. )
4340, 42mpbir 213 . . . . . . . . 9  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }
44 elun2 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
z ,  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.  e.  ( F  u.  { <. z ,  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>. } ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  ( F  u.  {
<. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
4645, 4eleqtrri 2527 . . . . . . 7  |-  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
>.  e.  C
47 fnopfvb 5904 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  z  e.  ( dom  F  u.  { z } ) )  ->  ( ( C `
 z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  <->  <. z ,  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) >.  e.  C
) )
4846, 47mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  z  e.  ( dom  F  u.  { z } ) )  ->  ( C `  z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
4927, 48mpan2 676 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( C `  z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
50 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( C `  y )  =  ( C `  z ) )
51 predeq3 5383 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
5251reseq2d 5104 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )
5352fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  ( C  |` 
Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
5450, 53eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( C `  z )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
5549, 54syl5ibrcom 226 . . . 4  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  =  z  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
5624, 55jaod 382 . . 3  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( ( y  e.  dom  F  \/  y  =  z )  ->  ( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
579, 56syl5bi 221 . 2  |-  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  -> 
( C `  y
)  =  ( G `
 ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
585, 57syl 17 1  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    \ cdif 3400    u. cun 3401    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   <.cop 3973    Fr wfr 4789   Se wse 4790    We wwe 4791   dom cdm 4833    |` cres 4835   Predcpred 5378   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   ` cfv 5581  wrecscwrecs 7024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-fv 5589  df-wrecs 7025
This theorem is referenced by:  wfrlem15  7047
  Copyright terms: Public domain W3C validator