Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wfrlem12 Structured version   Unicode version

Theorem wfrlem12 28781
Description: Lemma for well-founded recursion. Here, we compute the value of the recursive definition generator. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem11.1  |-  R  We  A
wfrlem11.2  |-  R Se  A
wfrlem11.3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
Assertion
Ref Expression
wfrlem12  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, G    y, R
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem wfrlem12
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3109 . . 3  |-  y  e. 
_V
21eldm2 5192 . 2  |-  ( y  e.  dom  F  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  F )
3 wfrlem11.3 . . . . . . 7  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
4 df-wrecs 28763 . . . . . . 7  |- wrecs ( R ,  A ,  G
)  =  U. {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) }
53, 4eqtri 2489 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }
65eleq2i 2538 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  <. y ,  z
>.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )
7 eluniab 4249 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
86, 7bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  E. f ( <.
y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
9 abid 2447 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
10 elssuni 4268 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  ->  f  C_  U. {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) } )
1110, 5syl6sseqr 3544 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  ->  f  C_  F
)
129, 11sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
f  C_  F )
13 fnop 5675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  <.
y ,  z >.  e.  f )  ->  y  e.  x )
1413ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  y  e.  x ) )
15 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
1615impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
17 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
18 fndm 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
1918sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
2018eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  dom  f  <->  y  e.  x ) )
2119, 20anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
2322expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) ) )
2423impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
y  e.  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
25 wfrlem11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R  We  A
26 wfrlem11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R Se  A
2725, 26, 3wfrlem11 28780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Fun  F
28 funssfv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  y  e. 
dom  f )  -> 
( F `  y
)  =  ( f `
 y ) )
29283adant3l 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F `  y )  =  ( f `  y ) )
30 fun2ssres 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
31303adant3r 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )
3231fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
3329, 32eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( F `
 y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
3433biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
3527, 34mp3an1 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
3635expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( f  C_  F  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3736com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3824, 37syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
3938expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( f  Fn  x  ->  ( (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4039com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4117, 40sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4342com14 88 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4416, 43syl7 68 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4544exp4a 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) ) )
4645pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4746com34 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4814, 47syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4948com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( f  Fn  x  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
50493impd 1205 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5150exlimdv 1695 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5212, 51mpdi 42 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
5352imp 429 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
5453exlimiv 1693 . . . 4  |-  ( E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
558, 54sylbi 195 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
5655exlimiv 1693 . 2  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
572, 56sylbi 195 1  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2445   A.wral 2807    C_ wss 3469   <.cop 4026   U.cuni 4238   Se wse 4829    We wwe 4830   dom cdm 4992    |` cres 4994   Fun wfun 5573    Fn wfn 5574   ` cfv 5579   Predcpred 28670  wrecscwrecs 28762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-fv 5587  df-pred 28671  df-wrecs 28763
This theorem is referenced by:  wfrlem14  28783  wfr2  28787
  Copyright terms: Public domain W3C validator