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Theorem wfrlem12 7058
Description: Lemma for well-founded recursion. Here, we compute the value of the recursive definition generator. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrfun.1  |-  R  We  A
wfrfun.2  |-  R Se  A
wfrfun.3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
Assertion
Ref Expression
wfrlem12  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, G    y, R
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem wfrlem12
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3083 . . 3  |-  y  e. 
_V
21eldm2 5052 . 2  |-  ( y  e.  dom  F  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  F )
3 wfrfun.3 . . . . . . 7  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
4 df-wrecs 7039 . . . . . . 7  |- wrecs ( R ,  A ,  G
)  =  U. {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) }
53, 4eqtri 2451 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }
65eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  <. y ,  z
>.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )
7 eluniab 4230 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
86, 7bitri 252 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  E. f ( <.
y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
9 abid 2409 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
10 elssuni 4248 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  ->  f  C_  U. {
f  |  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) } )
1110, 5syl6sseqr 3511 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  ->  f  C_  F
)
129, 11sylbir 216 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
f  C_  F )
13 fnop 5697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  <.
y ,  z >.  e.  f )  ->  y  e.  x )
1413ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  y  e.  x ) )
15 rsp 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
1615impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
17 rsp 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
18 fndm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
1918sseq2d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
2018eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  dom  f  <->  y  e.  x ) )
2119, 20anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2221biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
2322expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) ) )
2423impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
y  e.  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
25 wfrfun.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R  We  A
26 wfrfun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  R Se  A
2725, 26, 3wfrfun 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Fun  F
28 funssfv 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  y  e. 
dom  f )  -> 
( F `  y
)  =  ( f `
 y ) )
29283adant3l 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F `  y )  =  ( f `  y ) )
30 fun2ssres 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
31303adant3r 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )
3231fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
3329, 32eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( F `
 y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
3433biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
3527, 34mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
3635expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( f  C_  F  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3736com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3824, 37syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
3938expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( f  Fn  x  ->  ( (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4039com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4117, 40sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4342com14 91 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4416, 43syl7 70 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4544exp4a 609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) ) )
4645pm2.43d 50 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4746com34 86 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4814, 47syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4948com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( f  Fn  x  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
50493impd 1219 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5150exlimdv 1772 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5212, 51mpdi 43 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
5352imp 430 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
5453exlimiv 1770 . . . 4  |-  ( E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
558, 54sylbi 198 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
5655exlimiv 1770 . 2  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  F  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
572, 56sylbi 198 1  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   {cab 2407   A.wral 2771    C_ wss 3436   <.cop 4004   U.cuni 4219   Se wse 4810    We wwe 4811   dom cdm 4853    |` cres 4855   Predcpred 5398   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  wrecscwrecs 7038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609  df-wrecs 7039
This theorem is referenced by:  wfrlem14  7060  wfr2a  7064
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