Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wfisg Structured version   Unicode version

Theorem wfisg 27621
Description: Well-Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than  y of a well-founded class  A to  y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of  A. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
wfisg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
wfisg  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem wfisg
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3432 . . 3  |-  { y  e.  A  |  ph }  C_  A
2 dfss3 3341 . . . . . . . 8  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph } 
<-> 
A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) z  e. 
{ y  e.  A  |  ph } )
3 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y A
43elrabsf 3220 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  y ]. ph ) )
54simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. z  /  y ]. ph )
65ralimi 2786 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) z  e.  {
y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
72, 6sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
8 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  w  e.  A
9 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y Pred ( R ,  A ,  w )
10 nfsbc1v 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
119, 10nfral 2764 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph
12 nfsbc1v 3201 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ph
1311, 12nfim 1852 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph )
148, 13nfim 1852 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) )
15 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  A  <->  w  e.  A ) )
16 predeq3 27580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A ,  w ) )
1716raleqdv 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph ) )
18 sbceq1a 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  y ]. ph ) )
1917, 18imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) )
2015, 19imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )  <-> 
( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) ) )
21 wfisg.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
2214, 20, 21chvar 1957 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
237, 22syl5 32 . . . . . 6  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
2423anc2li 557 . . . . 5  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph )
) )
253elrabsf 3220 . . . . 5  |-  ( w  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph ) )
2624, 25syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) )
2726rgen 2776 . . 3  |-  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } )
28 wfi 27619 . . 3  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { y  e.  A  |  ph }  C_  A  /\  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) ) )  ->  A  =  {
y  e.  A  |  ph } )
291, 27, 28mpanr12 685 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  A  =  { y  e.  A  |  ph } )
30 rabid2 2893 . 2  |-  ( A  =  { y  e.  A  |  ph }  <->  A. y  e.  A  ph )
3129, 30sylib 196 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   [.wsbc 3181    C_ wss 3323   Se wse 4672    We wwe 4673   Predcpred 27575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-br 4288  df-opab 4346  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-xp 4841  df-cnv 4843  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-pred 27576
This theorem is referenced by:  wfis  27622  wfis2fg  27623
  Copyright terms: Public domain W3C validator