Theorem weth 5745

Description: Well-ordering theorem: any set A can be well-ordered. This is an equivalent of the Axiom of Choice. Theorem 6 of [Suppes] p. 242. First proved by Ernst Zermelo (the "Z" in ZFC) in 1904.

Hypothesis

Ref	Expression
weth.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
weth	|- E.x x We A

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem weth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weth.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	numth 5742	. 2 |- E.y e. On E.f f:y-1-1-onto->A
3		f1ocnv 4462	. . . . . 6 |- (f:y-1-1-onto->A -> `'f:A-1-1-onto->y)
4		eqid 1721	. . . . . . . . 9 |- {<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} = {<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)}
5	4	f1owe 4693	. . . . . . . 8 |- (`'f:A-1-1-onto->y -> (_E We y -> {<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} We A))
6		weinxp 3870	. . . . . . . . 9 |- ({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} We A <-> ({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} i^i (A X. A)) We A)
7	1, 1	xpex 3907	. . . . . . . . . . 11 |- (A X. A) e. _V
8	7	inex2 3268	. . . . . . . . . 10 |- ({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} i^i (A X. A)) e. _V
9		weeq1 3461	. . . . . . . . . 10 |- (x = ({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} i^i (A X. A)) -> (x We A <-> ({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} i^i (A X. A)) We A))
10	8, 9	cla4ev 2204	. . . . . . . . 9 |- (({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} i^i (A X. A)) We A -> E.x x We A)
11	6, 10	sylbi 215	. . . . . . . 8 |- ({<.z, w>. | (`'f` z)_E(`'f` w)} We A -> E.x x We A)
12	5, 11	syl6 25	. . . . . . 7 |- (`'f:A-1-1-onto->y -> (_E We y -> E.x x We A))
13		eloni 3482	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> Ord y)
14		ordwe 3486	. . . . . . . 8 |- (Ord y -> _E We y)
15	13, 14	syl 12	. . . . . . 7 |- (y e. On -> _E We y)
16	12, 15	syl5 20	. . . . . 6 |- (`'f:A-1-1-onto->y -> (y e. On -> E.x x We A))
17	3, 16	syl 12	. . . . 5 |- (f:y-1-1-onto->A -> (y e. On -> E.x x We A))
18	17	19.23aiv 1512	. . . 4 |- (E.f f:y-1-1-onto->A -> (y e. On -> E.x x We A))
19	18	com12 14	. . 3 |- (y e. On -> (E.f f:y-1-1-onto->A -> E.x x We A))
20	19	r19.23aiv 2045	. 2 |- (E.y e. On E.f f:y-1-1-onto->A -> E.x x We A)
21	2, 20	ax-mp 7	1 |- E.x x We A

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1138  E.wex 1164  E.wrex 1940  _Vcvv 2125   i^i cin 2425   class class class wbr 3158  {copab 3213  _Ecep 3396   We wwe 3439  Ord word 3471  Oncon0 3472   X. cxp 3795  `'ccnv 3796  -1-1-onto->wf1o 3808  ` cfv 3809

This theorem is referenced by:  zorn2lem7 5752  acdc3 8550  acdc2 8554  acdc5 8557  acdc 8559

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-ac 5702

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-suc 3478  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-iso 3826

Copyright terms: Public domain