Theorem wereucl 3655

Description: The unique minimal element of a subset of a well-ordered set.

Hypothesis

Ref	Expression
wereu.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
wereucl	|- ((R We A /\ B C_ A /\ B =/= (/)) -> U.{x e. B | A.y e. B -. yRx} e. B)

Distinct variable groups:   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem wereucl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wereu.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	wereu 3654	. 2 |- ((R We A /\ B C_ A /\ B =/= (/)) -> E!x e. B A.y e. B -. yRx)
3		reucl 3213	. 2 |- (E!x e. B A.y e. B -. yRx -> U.{x e. B | A.y e. B -. yRx} e. B)
4	2, 3	syl 12	1 |- ((R We A /\ B C_ A /\ B =/= (/)) -> U.{x e. B | A.y e. B -. yRx} e. B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E!wreu 2107  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   We wwe 3624

This theorem is referenced by:  ordtypelem1 5684  ordtypelem6 5689  ordtypelem7 5690  htalem 5857  zorn2lem1 5950  acdc3lem 8754  acdc2lem1 8757  acdc5lem1 8760  acdclem 8763  ordtypelem1OLD 15375  ordtypelem6OLD 15380  ordtypelem7OLD 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644

Copyright terms: Public domain