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Theorem wereu2 4820
Description: All nonempty (possibly proper) subclasses of  A, which has a well-founded relation  R, have  R-minimal elements. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wereu2  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, R, y

Proof of Theorem wereu2
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3748 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
2 rabeq0 3761 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  B  |  w R z }  =  (/)  <->  A. w  e.  B  -.  w R z )
3 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
43notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  y R x  <->  -.  w R x ) )
54cbvralv 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  A. w  e.  B  -.  w R x )
6 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
w R x  <->  w R
z ) )
76notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  w R x  <->  -.  w R z ) )
87ralbidv 2843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  B  -.  w R x  <->  A. w  e.  B  -.  w R z ) )
95, 8syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  A. w  e.  B  -.  w R z ) )
109rspcev 3160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  B  /\  A. w  e.  B  -.  w R z )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
1110ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  -.  w R z  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1211ad2antll 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  -.  w R z  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
132, 12syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ( { w  e.  B  |  w R z }  =  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
14 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  B  C_  A )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  R Se  A )
16 sess2 4792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R Se  A  ->  R Se  B
) )
1714, 15, 16sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  R Se  B )
18 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  z  e.  B )
19 seex 4786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R Se  B  /\  z  e.  B )  ->  { w  e.  B  |  w R z }  e.  _V )
2017, 18, 19syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  { w  e.  B  |  w R z }  e.  _V )
21 wefr 4813 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  We  A  ->  R  Fr  A )
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  R  Fr  A )
23 ssrab2 3524 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  B  |  w R z }  C_  B
2423, 14syl5ss 3453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  { w  e.  B  |  w R z }  C_  A )
25 fri 4785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { w  e.  B  |  w R z }  e.  _V  /\  R  Fr  A )  /\  ( { w  e.  B  |  w R z }  C_  A  /\  { w  e.  B  |  w R z }  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  {
w  e.  B  |  w R z } A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x )
2625expr 613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { w  e.  B  |  w R z }  e.  _V  /\  R  Fr  A )  /\  { w  e.  B  |  w R z }  C_  A
)  ->  ( {
w  e.  B  |  w R z }  =/=  (/) 
->  E. x  e.  {
w  e.  B  |  w R z } A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x ) )
2720, 22, 24, 26syl21anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ( { w  e.  B  |  w R z }  =/=  (/)  ->  E. x  e.  { w  e.  B  |  w R z } A. y  e.  {
w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x ) )
28 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
w R z  <->  x R
z ) )
2928rexrab 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  { w  e.  B  |  w R z } A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x  <->  E. x  e.  B  ( x R z  /\  A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x ) )
30 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
3130ralrab 3211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x  <->  A. y  e.  B  ( y R z  ->  -.  y R x ) )
32 weso 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  R  Or  A )
34 soss 4762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  B ) )
3514, 33, 34sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  R  Or  B )
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  R  Or  B )
37 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  y  e.  B )
38 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B )
3918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  z  e.  B )
40 sotr 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( y R x  /\  x R z )  ->  y R
z ) )
4136, 37, 38, 39, 40syl13anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
y R x  /\  x R z )  -> 
y R z ) )
4241ancomsd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x R z  /\  y R x )  -> 
y R z ) )
4342expdimp 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  /\  x R
z )  ->  (
y R x  -> 
y R z ) )
4443an32s 805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  x R z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y R x  ->  y R z ) )
4544con3d 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  x R z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( -.  y R z  ->  -.  y R x ) )
46 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  x R z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( -.  y R x  ->  -.  y R x ) )
4745, 46jad 162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  x R z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
y R z  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
4847ralimdva 2812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  x R z )  ->  ( A. y  e.  B  ( y R z  ->  -.  y R x )  ->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
4931, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  x R z )  ->  ( A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x  ->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5049expimpd 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( x R z  /\  A. y  e. 
{ w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x )  ->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5150reximdva 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ( E. x  e.  B  ( x R z  /\  A. y  e. 
{ w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5229, 51syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ( E. x  e.  { w  e.  B  |  w R z } A. y  e.  { w  e.  B  |  w R z }  -.  y R x  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5327, 52syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ( { w  e.  B  |  w R z }  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5413, 53pm2.61dne 2720 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  z  e.  B
) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
5554expr 613 . . . . 5  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  B  C_  A )  ->  ( z  e.  B  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5655exlimdv 1745 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  B  C_  A )  ->  ( E. z 
z  e.  B  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
571, 56syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
5857impr 617 . 2  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
59 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  B  C_  A
)
6032ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  R  Or  A
)
6159, 60, 34sylc 59 . . 3  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  R  Or  B
)
62 somo 4778 . . 3  |-  ( R  Or  B  ->  E* x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
6361, 62syl 17 . 2  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E* x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
64 reu5 3023 . 2  |-  ( E! x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  /\  E* x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
6558, 63, 64sylanbrc 662 1  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   E!wreu 2756   E*wrmo 2757   {crab 2758   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    Or wor 4743    Fr wfr 4779   Se wse 4780    We wwe 4781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-br 4396  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784
This theorem is referenced by:  tz6.26  5398  weniso  6233  ordtypelem3  7979  dfac8clem  8445
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