Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wepwsolem Structured version   Unicode version

Theorem wepwsolem 30955
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
wepwso.u  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
wepwso.f  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
wepwsolem  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z, w, a    x, A, y, z, w, a   
x, F, y, z, w    T, a    U, a
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    F( a)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
21pw2f1o2 30948 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A )
3 fvex 5862 . . . . . . . 8  |-  ( c `
 z )  e. 
_V
43epelc 4779 . . . . . . 7  |-  ( ( b `  z )  _E  ( c `  z )  <->  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )
5 elmapi 7438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  b : A --> 2o )
65ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  b : A --> 2o )
76ffvelrnda 6012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
b `  z )  e.  2o )
8 elmapi 7438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  c : A --> 2o )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  c : A --> 2o )
109ffvelrnda 6012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
c `  z )  e.  2o )
11 n0i 3772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  -.  ( c `  z
)  =  (/) )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
c `  z )  =  (/) )
13 elpri 4030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 z )  =  (/)  \/  ( c `  z )  =  1o ) )
14 df2o3 7141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1513, 14eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c `  z )  e.  2o  ->  (
( c `  z
)  =  (/)  \/  (
c `  z )  =  1o ) )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  (/)  \/  ( c `
 z )  =  1o ) )
17 orel1 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( c `  z
)  =  (/)  ->  (
( ( c `  z )  =  (/)  \/  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( c `  z )  =  1o ) )
1812, 16, 17sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( c `  z )  =  1o )
19 1on 7135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
2019onirri 4970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  1o  e.  1o
21 eleq12 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  1o  e.  1o ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  ->  1o  e.  1o ) )
2322expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c `  z )  =  1o  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  ->  1o  e.  1o ) ) )
2423com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  (
( c `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2625adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2720, 26mtoi 178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  -.  ( b `  z
)  =  1o )
2818, 27mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
b `  z )  =  1o )
2918, 28jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )
30 elpri 4030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
3130, 14eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  2o  ->  (
( b `  z
)  =  (/)  \/  (
b `  z )  =  1o ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
33 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( ( b `  z )  =  (/)  \/  ( b `  z
)  =  1o )  ->  ( b `  z )  =  (/) ) )
3432, 33mpan9 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  -.  ( b `
 z )  =  1o )  ->  (
b `  z )  =  (/) )
3534adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  =  (/) )
36 0lt1o 7152 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
3735, 36syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  1o )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( c `  z
)  =  1o )
3937, 38eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  ( c `
 z ) )
4029, 39impbida 830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
417, 10, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
431pw2f1o2val2 30950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  z
)  =  1o ) )
4442, 43sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  z )  =  1o ) )
45 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
461pw2f1o2val2 30950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  z
)  =  1o ) )
4745, 46sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  z )  =  1o ) )
4847notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  z  e.  ( F `  b )  <->  -.  ( b `  z
)  =  1o ) )
4944, 48anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  ( F `  c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
5041, 49bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
514, 50syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  _E  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
526ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
b `  w )  e.  2o )
539ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
c `  w )  e.  2o )
54 eqeq1 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b `  w )  =  ( c `  w )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
55 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  (/) )
56 1n0 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1o  =/=  (/)
5756nesymi 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  =  1o
58 eqeq1 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  ( ( b `  w )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
5957, 58mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  -.  (
b `  w )  =  1o )
6059ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( b `  w
)  =  1o )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
6260, 61mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( c `  w
)  =  1o )
63 elpri 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 w )  =  (/)  \/  ( c `  w )  =  1o ) )
6463, 14eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c `  w )  e.  2o  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
6564ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
66 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( c `  w
)  =  1o  ->  ( ( ( c `  w )  =  (/)  \/  ( c `  w
)  =  1o )  ->  ( c `  w )  =  (/) ) )
6762, 65, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  (/) )
6855, 67eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  (/) )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
70 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  1o )
71 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
7270, 71mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  1o )
7370, 72eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
7473ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  1o )  ->  ( (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
75 elpri 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7675, 14eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  w )  e.  2o  ->  (
( b `  w
)  =  (/)  \/  (
b `  w )  =  1o ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7869, 74, 77mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
7954, 78impbid2 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  ( c `  w
)  <->  ( ( b `
 w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8052, 53, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( (
b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
81 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
821pw2f1o2val2 30950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  w
)  =  1o ) )
8381, 82sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  w )  =  1o ) )
84 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
851pw2f1o2val2 30950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  w
)  =  1o ) )
8684, 85sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
8783, 86bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  e.  ( F `  b )  <-> 
w  e.  ( F `
 c ) )  <-> 
( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8880, 87bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
8988imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9089ralbidva 2877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9190adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9251, 91anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
9392rexbidva 2949 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
94 vex 3096 . . . . 5  |-  b  e. 
_V
95 vex 3096 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
96 fveq1 5851 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  z )  =  ( b `  z ) )
97 fveq1 5851 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  z )  =  ( c `  z ) )
9896, 97breqan12d 4448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  <->  ( b `  z )  _E  ( c `  z ) ) )
99 fveq1 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  w )  =  ( b `  w ) )
100 fveq1 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  w )  =  ( c `  w ) )
10199, 100eqeqan12d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( b `  w
)  =  ( c `
 w ) ) )
102101imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
103102ralbidv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
10498, 103anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <-> 
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
105104rexbidv 2952 . . . . 5  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
106 wepwso.u . . . . 5  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
10794, 95, 105, 106braba 4750 . . . 4  |-  ( b U c  <->  E. z  e.  A  ( (
b `  z )  _E  ( c `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
108 fvex 5862 . . . . 5  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
109 fvex 5862 . . . . 5  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
110 eleq2 2514 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  ( F `  c ) ) )
111 eleq2 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( F `  b ) ) )
112111notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  ( -.  z  e.  x  <->  -.  z  e.  ( F `
 b ) ) )
113110, 112bi2anan9r 872 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
114 eleq2 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  ( F `  b ) ) )
115 eleq2 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  ( F `  c ) ) )
116114, 115bi2bian9 873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w  e.  x  <->  w  e.  y
)  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
117116imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
118117ralbidv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
119113, 118anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
120119rexbidv 2952 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
121 wepwso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
122108, 109, 120, 121braba 4750 . . . 4  |-  ( ( F `  b ) T ( F `  c )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
12393, 107, 1223bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  (
b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
124123ralrimivva 2862 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
125 df-isom 5583 . 2  |-  ( F 
Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
)  <->  ( F :
( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  /\  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) ) )
1262, 124, 125sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   {cpr 4012   class class class wbr 4433   {copab 4490    |-> cmpt 4491    _E cep 4775   `'ccnv 4984   "cima 4988   -->wf 5570   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574    Isom wiso 5575  (class class class)co 6277   1oc1o 7121   2oc2o 7122    ^m cmap 7418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-1o 7128  df-2o 7129  df-map 7420
This theorem is referenced by:  wepwso  30956
  Copyright terms: Public domain W3C validator