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Theorem wepwsolem 31226
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
wepwso.u  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
wepwso.f  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
wepwsolem  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z, w, a    x, A, y, z, w, a   
x, F, y, z, w    T, a    U, a
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    F( a)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
21pw2f1o2 31219 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A )
3 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( c `
 z )  e. 
_V
43epelc 4782 . . . . . . 7  |-  ( ( b `  z )  _E  ( c `  z )  <->  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )
5 elmapi 7433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  b : A --> 2o )
65ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  b : A --> 2o )
76ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
b `  z )  e.  2o )
8 elmapi 7433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  c : A --> 2o )
98ad2antll 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  c : A --> 2o )
109ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
c `  z )  e.  2o )
11 n0i 3788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  -.  ( c `  z
)  =  (/) )
1211adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
c `  z )  =  (/) )
13 elpri 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 z )  =  (/)  \/  ( c `  z )  =  1o ) )
14 df2o3 7135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1513, 14eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c `  z )  e.  2o  ->  (
( c `  z
)  =  (/)  \/  (
c `  z )  =  1o ) )
1615ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  (/)  \/  ( c `
 z )  =  1o ) )
17 orel1 380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( c `  z
)  =  (/)  ->  (
( ( c `  z )  =  (/)  \/  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( c `  z )  =  1o ) )
1812, 16, 17sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( c `  z )  =  1o )
19 1on 7129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
2019onirri 4973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  1o  e.  1o
21 eleq12 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  1o  e.  1o ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  ->  1o  e.  1o ) )
2322expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c `  z )  =  1o  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  ->  1o  e.  1o ) ) )
2423com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  (
( c `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) ) )
2524imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2625adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2720, 26mtoi 178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  -.  ( b `  z
)  =  1o )
2818, 27mpdan 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
b `  z )  =  1o )
2918, 28jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )
30 elpri 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
3130, 14eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  2o  ->  (
( b `  z
)  =  (/)  \/  (
b `  z )  =  1o ) )
3231adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
33 orel2 381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( ( b `  z )  =  (/)  \/  ( b `  z
)  =  1o )  ->  ( b `  z )  =  (/) ) )
3432, 33mpan9 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  -.  ( b `
 z )  =  1o )  ->  (
b `  z )  =  (/) )
3534adantrl 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  =  (/) )
36 0lt1o 7146 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
3735, 36syl6eqel 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  1o )
38 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( c `  z
)  =  1o )
3937, 38eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  ( c `
 z ) )
4029, 39impbida 830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
417, 10, 40syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
431pw2f1o2val2 31221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  z
)  =  1o ) )
4442, 43sylancom 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  z )  =  1o ) )
45 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
461pw2f1o2val2 31221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  z
)  =  1o ) )
4745, 46sylancom 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  z )  =  1o ) )
4847notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  z  e.  ( F `  b )  <->  -.  ( b `  z
)  =  1o ) )
4944, 48anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  ( F `  c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
5041, 49bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
514, 50syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  _E  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
526ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
b `  w )  e.  2o )
539ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
c `  w )  e.  2o )
54 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b `  w )  =  ( c `  w )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
55 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  (/) )
56 1n0 7137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1o  =/=  (/)
5756nesymi 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  =  1o
58 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  ( ( b `  w )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
5957, 58mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  -.  (
b `  w )  =  1o )
6059ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( b `  w
)  =  1o )
61 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
6260, 61mtbid 298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( c `  w
)  =  1o )
63 elpri 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 w )  =  (/)  \/  ( c `  w )  =  1o ) )
6463, 14eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c `  w )  e.  2o  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
6564ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
66 orel2 381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( c `  w
)  =  1o  ->  ( ( ( c `  w )  =  (/)  \/  ( c `  w
)  =  1o )  ->  ( c `  w )  =  (/) ) )
6762, 65, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  (/) )
6855, 67eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
6968ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  (/) )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
70 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  1o )
71 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
7270, 71mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  1o )
7370, 72eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
7473ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  1o )  ->  ( (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
75 elpri 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7675, 14eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  w )  e.  2o  ->  (
( b `  w
)  =  (/)  \/  (
b `  w )  =  1o ) )
7776adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7869, 74, 77mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
7954, 78impbid2 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  ( c `  w
)  <->  ( ( b `
 w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8052, 53, 79syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( (
b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
81 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
821pw2f1o2val2 31221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  w
)  =  1o ) )
8381, 82sylancom 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  w )  =  1o ) )
84 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
851pw2f1o2val2 31221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  w
)  =  1o ) )
8684, 85sylancom 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
8783, 86bibi12d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  e.  ( F `  b )  <-> 
w  e.  ( F `
 c ) )  <-> 
( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8880, 87bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
8988imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9089ralbidva 2890 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9190adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9251, 91anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
9392rexbidva 2962 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
94 vex 3109 . . . . 5  |-  b  e. 
_V
95 vex 3109 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
96 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  z )  =  ( b `  z ) )
97 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  z )  =  ( c `  z ) )
9896, 97breqan12d 4454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  <->  ( b `  z )  _E  ( c `  z ) ) )
99 fveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  w )  =  ( b `  w ) )
100 fveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  w )  =  ( c `  w ) )
10199, 100eqeqan12d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( b `  w
)  =  ( c `
 w ) ) )
102101imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
103102ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
10498, 103anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <-> 
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
105104rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
106 wepwso.u . . . . 5  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
10794, 95, 105, 106braba 4753 . . . 4  |-  ( b U c  <->  E. z  e.  A  ( (
b `  z )  _E  ( c `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
108 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
109 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
110 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  ( F `  c ) ) )
111 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( F `  b ) ) )
112111notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  ( -.  z  e.  x  <->  -.  z  e.  ( F `
 b ) ) )
113110, 112bi2anan9r 872 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
114 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  ( F `  b ) ) )
115 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  ( F `  c ) ) )
116114, 115bi2bian9 873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w  e.  x  <->  w  e.  y
)  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
117116imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
118117ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
119113, 118anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
120119rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
121 wepwso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
122108, 109, 120, 121braba 4753 . . . 4  |-  ( ( F `  b ) T ( F `  c )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
12393, 107, 1223bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  (
b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
124123ralrimivva 2875 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
125 df-isom 5579 . 2  |-  ( F 
Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
)  <->  ( F :
( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  /\  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) ) )
1262, 124, 125sylanbrc 662 1  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439   {copab 4496    |-> cmpt 4497    _E cep 4778   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570    Isom wiso 5571  (class class class)co 6270   1oc1o 7115   2oc2o 7116    ^m cmap 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-1o 7122  df-2o 7123  df-map 7414
This theorem is referenced by:  wepwso  31227
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