Theorem wepwsolem 29391

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) }
wepwso.u	|- U = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wepwso.f	|- F = ( a e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' a " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	|- ( A e. _V -> F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z, w, a   x, A, y, z, w, a   x, F, y, z, w   T, a   U, a

Allowed substitution hints:   T( x, y, z, w)   U( x, y, z, w)   F( a)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 |- F = ( a e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' a " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 29384	. 2 |- ( A e. _V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		fvex 5699	. . . . . . . 8 |- ( c ` z ) e. _V
4	3	epelc 4632	. . . . . . 7 |- ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) <-> ( b ` z ) e. ( c ` z ) )
5		elmapi 7232	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( 2o ^m A ) -> b : A --> 2o )
6	5	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> b : A --> 2o )
7	6	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( b ` z ) e. 2o )
8		elmapi 7232	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( 2o ^m A ) -> c : A --> 2o )
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> c : A --> 2o )
10	9	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( c ` z ) e. 2o )
11		n0i 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> -. ( c ` z ) = (/) )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> -. ( c ` z ) = (/) )
13		elpri 3895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
14		df2o3 6931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
15	13, 14	eleq2s 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c ` z ) e. 2o -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
17		orel1 382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( c ` z ) = (/) -> ( ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) -> ( c ` z ) = 1o ) )
18	12, 16, 17	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( c ` z ) = 1o )
19		1on 6925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
20	19	onirri 4823	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o e. 1o
21		eleq12 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b ` z ) = 1o /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> 1o e. 1o ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b ` z ) = 1o /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> 1o e. 1o ) )
23	22	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> 1o e. 1o ) ) )
24	23	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> ( ( c ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) ) )
25	24	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) )
26	25	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) )
27	20, 26	mtoi 178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> -. ( b ` z ) = 1o )
28	18, 27	mpdan 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> -. ( b ` z ) = 1o )
29	18, 28	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) )
30		elpri 3895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
31	30, 14	eleq2s 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` z ) e. 2o -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
33		orel2 383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( b ` z ) = 1o -> ( ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) -> ( b ` z ) = (/) ) )
34	32, 33	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ -. ( b ` z ) = 1o ) -> ( b ` z ) = (/) )
35	34	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) = (/) )
36		0lt1o 6942	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 1o
37	35, 36	syl6eqel 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) e. 1o )
38		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( c ` z ) = 1o )
39	37, 38	eleqtrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) e. ( c ` z ) )
40	29, 39	impbida 828	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
41	7, 10, 40	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
42		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> c e. ( 2o ^m A ) )
43	1	pw2f1o2val2 29386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( 2o ^m A ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` c ) <-> ( c ` z ) = 1o ) )
44	42, 43	sylancom 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` c ) <-> ( c ` z ) = 1o ) )
45		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> b e. ( 2o ^m A ) )
46	1	pw2f1o2val2 29386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ( 2o ^m A ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` b ) <-> ( b ` z ) = 1o ) )
47	45, 46	sylancom 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` b ) <-> ( b ` z ) = 1o ) )
48	47	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( -. z e. ( F ` b ) <-> -. ( b ` z ) = 1o ) )
49	44, 48	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
50	41, 49	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
51	4, 50	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
52	6	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( b ` w ) e. 2o )
53	9	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( c ` w ) e. 2o )
54		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b ` w ) = ( c ` w ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
55		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = (/) )
56		1n0 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1o =/= (/)
57	56	necomi 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) =/= 1o
58		df-ne 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) =/= 1o <-> -. (/) = 1o )
59	57, 58	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. (/) = 1o
60		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b ` w ) = (/) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
61	59, 60	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b ` w ) = (/) -> -. ( b ` w ) = 1o )
62	61	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> -. ( b ` w ) = 1o )
63		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
64	62, 63	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> -. ( c ` w ) = 1o )
65		elpri 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c ` w ) e. { (/) , 1o } -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
66	65, 14	eleq2s 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c ` w ) e. 2o -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
67	66	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
68		orel2 383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( c ` w ) = 1o -> ( ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) -> ( c ` w ) = (/) ) )
69	64, 67, 68	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( c ` w ) = (/) )
70	55, 69	eqtr4d 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
72		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = 1o )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
74	72, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( c ` w ) = 1o )
75	72, 74	eqtr4d 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) )
76	75	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
77		elpri 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` w ) e. { (/) , 1o } -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
78	77, 14	eleq2s 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b ` w ) e. 2o -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
80	71, 76, 79	mpjaodan 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
81	54, 80	impbid2 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
82	52, 53, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
83		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> b e. ( 2o ^m A ) )
84	1	pw2f1o2val2 29386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( 2o ^m A ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` b ) <-> ( b ` w ) = 1o ) )
85	83, 84	sylancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` b ) <-> ( b ` w ) = 1o ) )
86		simplrr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> c e. ( 2o ^m A ) )
87	1	pw2f1o2val2 29386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( 2o ^m A ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` c ) <-> ( c ` w ) = 1o ) )
88	86, 87	sylancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` c ) <-> ( c ` w ) = 1o ) )
89	85, 88	bibi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
90	82, 89	bitr4d 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) )
91	90	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
92	91	ralbidva 2729	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
93	92	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
94	51, 93	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) <-> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
95	94	rexbidva 2730	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
96		vex 2973	. . . . 5 |- b e. _V
97		vex 2973	. . . . 5 |- c e. _V
98		fveq1 5688	. . . . . . . 8 |- ( x = b -> ( x ` z ) = ( b ` z ) )
99		fveq1 5688	. . . . . . . 8 |- ( y = c -> ( y ` z ) = ( c ` z ) )
100	98, 99	breqan12d 4305	. . . . . . 7 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) <-> ( b ` z ) _E ( c ` z ) ) )
101		fveq1 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x ` w ) = ( b ` w ) )
102		fveq1 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( y = c -> ( y ` w ) = ( c ` w ) )
103	101, 102	eqeqan12d 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
104	103	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
105	104	ralbidv 2733	. . . . . . 7 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
106	100, 105	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) ) )
107	106	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) ) )
108		wepwso.u	. . . . 5 |- U = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
109	96, 97, 107, 108	braba 4604	. . . 4 |- ( b U c <-> E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
110		fvex 5699	. . . . 5 |- ( F ` b ) e. _V
111		fvex 5699	. . . . 5 |- ( F ` c ) e. _V
112		eleq2 2502	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` c ) -> ( z e. y <-> z e. ( F ` c ) ) )
113		eleq2 2502	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` b ) -> ( z e. x <-> z e. ( F ` b ) ) )
114	113	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` b ) -> ( -. z e. x <-> -. z e. ( F ` b ) ) )
115	112, 114	bi2anan9r 869	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( z e. y /\ -. z e. x ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
116		eleq2 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F ` b ) -> ( w e. x <-> w e. ( F ` b ) ) )
117		eleq2 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` c ) -> ( w e. y <-> w e. ( F ` c ) ) )
118	116, 117	bi2bian9 870	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) )
119	118	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) <-> ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
120	119	ralbidv 2733	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
121	115, 120	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) <-> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
122	121	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
123		wepwso.t	. . . . 5 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) }
124	110, 111, 122, 123	braba 4604	. . . 4 |- ( ( F ` b ) T ( F ` c ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
125	95, 109, 124	3bitr4g 288	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) )
126	125	ralrimivva 2806	. 2 |- ( A e. _V -> A. b e. ( 2o ^m A ) A. c e. ( 2o ^m A ) ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) )
127		df-isom 5425	. 2 |- ( F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) <-> ( F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A /\ A. b e. ( 2o ^m A ) A. c e. ( 2o ^m A ) ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) ) )
128	2, 126, 127	sylanbrc 664	1 |- ( A e. _V -> F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   {csn 3875   {cpr 3877   class class class wbr 4290   {copab 4347   e. cmpt 4348   _E cep 4628   `'ccnv 4837   "cima 4841   -->wf 5412   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416   Isom wiso 5417  (class class class)co 6089   1oc1o 6911   2oc2o 6912   ^m cmap 7212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-1o 6918  df-2o 6919  df-map 7214

This theorem is referenced by:  wepwso  29392