Theorem wepwsolem 31226

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) }
wepwso.u	|- U = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wepwso.f	|- F = ( a e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' a " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	|- ( A e. _V -> F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z, w, a   x, A, y, z, w, a   x, F, y, z, w   T, a   U, a

Allowed substitution hints:   T( x, y, z, w)   U( x, y, z, w)   F( a)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 |- F = ( a e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' a " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 31219	. 2 |- ( A e. _V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		fvex 5858	. . . . . . . 8 |- ( c ` z ) e. _V
4	3	epelc 4782	. . . . . . 7 |- ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) <-> ( b ` z ) e. ( c ` z ) )
5		elmapi 7433	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( 2o ^m A ) -> b : A --> 2o )
6	5	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> b : A --> 2o )
7	6	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( b ` z ) e. 2o )
8		elmapi 7433	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( 2o ^m A ) -> c : A --> 2o )
9	8	ad2antll 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> c : A --> 2o )
10	9	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( c ` z ) e. 2o )
11		n0i 3788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> -. ( c ` z ) = (/) )
12	11	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> -. ( c ` z ) = (/) )
13		elpri 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
14		df2o3 7135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
15	13, 14	eleq2s 2562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c ` z ) e. 2o -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
16	15	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
17		orel1 380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( c ` z ) = (/) -> ( ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) -> ( c ` z ) = 1o ) )
18	12, 16, 17	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( c ` z ) = 1o )
19		1on 7129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
20	19	onirri 4973	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o e. 1o
21		eleq12 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b ` z ) = 1o /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> 1o e. 1o ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b ` z ) = 1o /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> 1o e. 1o ) )
23	22	expcom 433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> 1o e. 1o ) ) )
24	23	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> ( ( c ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) ) )
25	24	imp 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) )
26	25	adantll 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) )
27	20, 26	mtoi 178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> -. ( b ` z ) = 1o )
28	18, 27	mpdan 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> -. ( b ` z ) = 1o )
29	18, 28	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) )
30		elpri 4036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
31	30, 14	eleq2s 2562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` z ) e. 2o -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
32	31	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
33		orel2 381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( b ` z ) = 1o -> ( ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) -> ( b ` z ) = (/) ) )
34	32, 33	mpan9 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ -. ( b ` z ) = 1o ) -> ( b ` z ) = (/) )
35	34	adantrl 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) = (/) )
36		0lt1o 7146	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 1o
37	35, 36	syl6eqel 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) e. 1o )
38		simprl 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( c ` z ) = 1o )
39	37, 38	eleqtrrd 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) e. ( c ` z ) )
40	29, 39	impbida 830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
41	7, 10, 40	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
42		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> c e. ( 2o ^m A ) )
43	1	pw2f1o2val2 31221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( 2o ^m A ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` c ) <-> ( c ` z ) = 1o ) )
44	42, 43	sylancom 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` c ) <-> ( c ` z ) = 1o ) )
45		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> b e. ( 2o ^m A ) )
46	1	pw2f1o2val2 31221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ( 2o ^m A ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` b ) <-> ( b ` z ) = 1o ) )
47	45, 46	sylancom 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` b ) <-> ( b ` z ) = 1o ) )
48	47	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( -. z e. ( F ` b ) <-> -. ( b ` z ) = 1o ) )
49	44, 48	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
50	41, 49	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
51	4, 50	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
52	6	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( b ` w ) e. 2o )
53	9	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( c ` w ) e. 2o )
54		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b ` w ) = ( c ` w ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
55		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = (/) )
56		1n0 7137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1o =/= (/)
57	56	nesymi 2727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. (/) = 1o
58		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b ` w ) = (/) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
59	57, 58	mtbiri 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b ` w ) = (/) -> -. ( b ` w ) = 1o )
60	59	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> -. ( b ` w ) = 1o )
61		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
62	60, 61	mtbid 298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> -. ( c ` w ) = 1o )
63		elpri 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c ` w ) e. { (/) , 1o } -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
64	63, 14	eleq2s 2562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c ` w ) e. 2o -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
65	64	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
66		orel2 381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( c ` w ) = 1o -> ( ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) -> ( c ` w ) = (/) ) )
67	62, 65, 66	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( c ` w ) = (/) )
68	55, 67	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) )
69	68	ex 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
70		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = 1o )
71		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
72	70, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( c ` w ) = 1o )
73	70, 72	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) )
74	73	ex 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
75		elpri 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` w ) e. { (/) , 1o } -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
76	75, 14	eleq2s 2562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b ` w ) e. 2o -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
77	76	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
78	69, 74, 77	mpjaodan 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
79	54, 78	impbid2 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
80	52, 53, 79	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
81		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> b e. ( 2o ^m A ) )
82	1	pw2f1o2val2 31221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( 2o ^m A ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` b ) <-> ( b ` w ) = 1o ) )
83	81, 82	sylancom 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` b ) <-> ( b ` w ) = 1o ) )
84		simplrr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> c e. ( 2o ^m A ) )
85	1	pw2f1o2val2 31221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( 2o ^m A ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` c ) <-> ( c ` w ) = 1o ) )
86	84, 85	sylancom 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` c ) <-> ( c ` w ) = 1o ) )
87	83, 86	bibi12d 319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
88	80, 87	bitr4d 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) )
89	88	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
90	89	ralbidva 2890	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
91	90	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
92	51, 91	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) <-> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
93	92	rexbidva 2962	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
94		vex 3109	. . . . 5 |- b e. _V
95		vex 3109	. . . . 5 |- c e. _V
96		fveq1 5847	. . . . . . . 8 |- ( x = b -> ( x ` z ) = ( b ` z ) )
97		fveq1 5847	. . . . . . . 8 |- ( y = c -> ( y ` z ) = ( c ` z ) )
98	96, 97	breqan12d 4454	. . . . . . 7 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) <-> ( b ` z ) _E ( c ` z ) ) )
99		fveq1 5847	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x ` w ) = ( b ` w ) )
100		fveq1 5847	. . . . . . . . . 10 |- ( y = c -> ( y ` w ) = ( c ` w ) )
101	99, 100	eqeqan12d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
102	101	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
103	102	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
104	98, 103	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) ) )
105	104	rexbidv 2965	. . . . 5 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) ) )
106		wepwso.u	. . . . 5 |- U = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
107	94, 95, 105, 106	braba 4753	. . . 4 |- ( b U c <-> E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
108		fvex 5858	. . . . 5 |- ( F ` b ) e. _V
109		fvex 5858	. . . . 5 |- ( F ` c ) e. _V
110		eleq2 2527	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` c ) -> ( z e. y <-> z e. ( F ` c ) ) )
111		eleq2 2527	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` b ) -> ( z e. x <-> z e. ( F ` b ) ) )
112	111	notbid 292	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` b ) -> ( -. z e. x <-> -. z e. ( F ` b ) ) )
113	110, 112	bi2anan9r 872	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( z e. y /\ -. z e. x ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
114		eleq2 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F ` b ) -> ( w e. x <-> w e. ( F ` b ) ) )
115		eleq2 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` c ) -> ( w e. y <-> w e. ( F ` c ) ) )
116	114, 115	bi2bian9 873	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) )
117	116	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) <-> ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
118	117	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
119	113, 118	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) <-> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
120	119	rexbidv 2965	. . . . 5 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
121		wepwso.t	. . . . 5 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) }
122	108, 109, 120, 121	braba 4753	. . . 4 |- ( ( F ` b ) T ( F ` c ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
123	93, 107, 122	3bitr4g 288	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) )
124	123	ralrimivva 2875	. 2 |- ( A e. _V -> A. b e. ( 2o ^m A ) A. c e. ( 2o ^m A ) ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) )
125		df-isom 5579	. 2 |- ( F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) <-> ( F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A /\ A. b e. ( 2o ^m A ) A. c e. ( 2o ^m A ) ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) ) )
126	2, 124, 125	sylanbrc 662	1 |- ( A e. _V -> F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439   {copab 4496   |-> cmpt 4497   _E cep 4778   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   Isom wiso 5571  (class class class)co 6270   1oc1o 7115   2oc2o 7116   ^m cmap 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-1o 7122  df-2o 7123  df-map 7414

This theorem is referenced by:  wepwso  31227