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Theorem wepwsolem 29391
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
wepwso.u  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
wepwso.f  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
wepwsolem  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z, w, a    x, A, y, z, w, a   
x, F, y, z, w    T, a    U, a
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    F( a)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
21pw2f1o2 29384 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A )
3 fvex 5699 . . . . . . . 8  |-  ( c `
 z )  e. 
_V
43epelc 4632 . . . . . . 7  |-  ( ( b `  z )  _E  ( c `  z )  <->  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )
5 elmapi 7232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  b : A --> 2o )
65ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  b : A --> 2o )
76ffvelrnda 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
b `  z )  e.  2o )
8 elmapi 7232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  c : A --> 2o )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  c : A --> 2o )
109ffvelrnda 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
c `  z )  e.  2o )
11 n0i 3640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  -.  ( c `  z
)  =  (/) )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
c `  z )  =  (/) )
13 elpri 3895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 z )  =  (/)  \/  ( c `  z )  =  1o ) )
14 df2o3 6931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1513, 14eleq2s 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c `  z )  e.  2o  ->  (
( c `  z
)  =  (/)  \/  (
c `  z )  =  1o ) )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  (/)  \/  ( c `
 z )  =  1o ) )
17 orel1 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( c `  z
)  =  (/)  ->  (
( ( c `  z )  =  (/)  \/  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( c `  z )  =  1o ) )
1812, 16, 17sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( c `  z )  =  1o )
19 1on 6925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
2019onirri 4823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  1o  e.  1o
21 eleq12 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  1o  e.  1o ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  ->  1o  e.  1o ) )
2322expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c `  z )  =  1o  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  ->  1o  e.  1o ) ) )
2423com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  (
( c `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2625adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2720, 26mtoi 178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  -.  ( b `  z
)  =  1o )
2818, 27mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
b `  z )  =  1o )
2918, 28jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )
30 elpri 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
3130, 14eleq2s 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  2o  ->  (
( b `  z
)  =  (/)  \/  (
b `  z )  =  1o ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
33 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( ( b `  z )  =  (/)  \/  ( b `  z
)  =  1o )  ->  ( b `  z )  =  (/) ) )
3432, 33mpan9 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  -.  ( b `
 z )  =  1o )  ->  (
b `  z )  =  (/) )
3534adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  =  (/) )
36 0lt1o 6942 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
3735, 36syl6eqel 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  1o )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( c `  z
)  =  1o )
3937, 38eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  ( c `
 z ) )
4029, 39impbida 828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
417, 10, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
431pw2f1o2val2 29386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  z
)  =  1o ) )
4442, 43sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  z )  =  1o ) )
45 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
461pw2f1o2val2 29386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  z
)  =  1o ) )
4745, 46sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  z )  =  1o ) )
4847notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  z  e.  ( F `  b )  <->  -.  ( b `  z
)  =  1o ) )
4944, 48anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  ( F `  c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
5041, 49bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
514, 50syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  _E  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
526ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
b `  w )  e.  2o )
539ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
c `  w )  e.  2o )
54 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b `  w )  =  ( c `  w )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
55 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  (/) )
56 1n0 6933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1o  =/=  (/)
5756necomi 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =/=  1o
58 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =/=  1o  <->  -.  (/)  =  1o )
5957, 58mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  =  1o
60 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  ( ( b `  w )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
6159, 60mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  -.  (
b `  w )  =  1o )
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( b `  w
)  =  1o )
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
6462, 63mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( c `  w
)  =  1o )
65 elpri 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 w )  =  (/)  \/  ( c `  w )  =  1o ) )
6665, 14eleq2s 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c `  w )  e.  2o  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
68 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( c `  w
)  =  1o  ->  ( ( ( c `  w )  =  (/)  \/  ( c `  w
)  =  1o )  ->  ( c `  w )  =  (/) ) )
6964, 67, 68sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  (/) )
7055, 69eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  (/) )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
72 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  1o )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
7472, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  1o )
7572, 74eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  1o )  ->  ( (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
77 elpri 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7877, 14eleq2s 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  w )  e.  2o  ->  (
( b `  w
)  =  (/)  \/  (
b `  w )  =  1o ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
8071, 76, 79mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
8154, 80impbid2 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  ( c `  w
)  <->  ( ( b `
 w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8252, 53, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( (
b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
83 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
841pw2f1o2val2 29386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  w
)  =  1o ) )
8583, 84sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  w )  =  1o ) )
86 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
871pw2f1o2val2 29386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  w
)  =  1o ) )
8886, 87sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
8985, 88bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  e.  ( F `  b )  <-> 
w  e.  ( F `
 c ) )  <-> 
( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
9082, 89bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
9190imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9291ralbidva 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9392adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9451, 93anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
9594rexbidva 2730 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
96 vex 2973 . . . . 5  |-  b  e. 
_V
97 vex 2973 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
98 fveq1 5688 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  z )  =  ( b `  z ) )
99 fveq1 5688 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  z )  =  ( c `  z ) )
10098, 99breqan12d 4305 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  <->  ( b `  z )  _E  ( c `  z ) ) )
101 fveq1 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  w )  =  ( b `  w ) )
102 fveq1 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  w )  =  ( c `  w ) )
103101, 102eqeqan12d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( b `  w
)  =  ( c `
 w ) ) )
104103imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
105104ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
106100, 105anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <-> 
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
107106rexbidv 2734 . . . . 5  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
108 wepwso.u . . . . 5  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
10996, 97, 107, 108braba 4604 . . . 4  |-  ( b U c  <->  E. z  e.  A  ( (
b `  z )  _E  ( c `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
110 fvex 5699 . . . . 5  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
111 fvex 5699 . . . . 5  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
112 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  ( F `  c ) ) )
113 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( F `  b ) ) )
114113notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  ( -.  z  e.  x  <->  -.  z  e.  ( F `
 b ) ) )
115112, 114bi2anan9r 869 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
116 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  ( F `  b ) ) )
117 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  ( F `  c ) ) )
118116, 117bi2bian9 870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w  e.  x  <->  w  e.  y
)  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
119118imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
120119ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
121115, 120anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
122121rexbidv 2734 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
123 wepwso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
124110, 111, 122, 123braba 4604 . . . 4  |-  ( ( F `  b ) T ( F `  c )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
12595, 109, 1243bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  (
b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
126125ralrimivva 2806 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
127 df-isom 5425 . 2  |-  ( F 
Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
)  <->  ( F :
( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  /\  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) ) )
1282, 126, 127sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   {csn 3875   {cpr 3877   class class class wbr 4290   {copab 4347    e. cmpt 4348    _E cep 4628   `'ccnv 4837   "cima 4841   -->wf 5412   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416    Isom wiso 5417  (class class class)co 6089   1oc1o 6911   2oc2o 6912    ^m cmap 7212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-1o 6918  df-2o 6919  df-map 7214
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