Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wepwsolem Structured version   Unicode version

Theorem wepwsolem 35813
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
wepwso.u  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
wepwso.f  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
wepwsolem  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z, w, a    x, A, y, z, w, a   
x, F, y, z, w    T, a    U, a
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    F( a)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
21pw2f1o2 35806 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A )
3 fvex 5830 . . . . . . . 8  |-  ( c `
 z )  e. 
_V
43epelc 4704 . . . . . . 7  |-  ( ( b `  z )  _E  ( c `  z )  <->  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )
5 elmapi 7443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  b : A --> 2o )
65ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  b : A --> 2o )
76ffvelrnda 5976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
b `  z )  e.  2o )
8 elmapi 7443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  c : A --> 2o )
98ad2antll 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  c : A --> 2o )
109ffvelrnda 5976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
c `  z )  e.  2o )
11 n0i 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  -.  ( c `  z
)  =  (/) )
1211adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
c `  z )  =  (/) )
13 elpri 3953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 z )  =  (/)  \/  ( c `  z )  =  1o ) )
14 df2o3 7145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1513, 14eleq2s 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c `  z )  e.  2o  ->  (
( c `  z
)  =  (/)  \/  (
c `  z )  =  1o ) )
1615ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  (/)  \/  ( c `
 z )  =  1o ) )
17 orel1 383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( c `  z
)  =  (/)  ->  (
( ( c `  z )  =  (/)  \/  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( c `  z )  =  1o ) )
1812, 16, 17sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( c `  z )  =  1o )
19 1on 7139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
2019onirri 5486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  1o  e.  1o
21 eleq12 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  1o  e.  1o ) )
2221biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  ->  1o  e.  1o ) )
2322expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c `  z )  =  1o  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  ->  1o  e.  1o ) ) )
2423com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  (
( c `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) ) )
2524imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2625adantll 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2720, 26mtoi 181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  -.  ( b `  z
)  =  1o )
2818, 27mpdan 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
b `  z )  =  1o )
2918, 28jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )
30 elpri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
3130, 14eleq2s 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  2o  ->  (
( b `  z
)  =  (/)  \/  (
b `  z )  =  1o ) )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
33 orel2 384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( ( b `  z )  =  (/)  \/  ( b `  z
)  =  1o )  ->  ( b `  z )  =  (/) ) )
3432, 33mpan9 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  -.  ( b `
 z )  =  1o )  ->  (
b `  z )  =  (/) )
3534adantrl 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  =  (/) )
36 0lt1o 7156 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
3735, 36syl6eqel 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  1o )
38 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( c `  z
)  =  1o )
3937, 38eleqtrrd 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  ( c `
 z ) )
4029, 39impbida 840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
417, 10, 40syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
42 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
431pw2f1o2val2 35808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  z
)  =  1o ) )
4442, 43sylancom 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  z )  =  1o ) )
45 simplrl 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
461pw2f1o2val2 35808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  z
)  =  1o ) )
4745, 46sylancom 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  z )  =  1o ) )
4847notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  z  e.  ( F `  b )  <->  -.  ( b `  z
)  =  1o ) )
4944, 48anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  ( F `  c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
5041, 49bitr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
514, 50syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  _E  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
526ffvelrnda 5976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
b `  w )  e.  2o )
539ffvelrnda 5976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
c `  w )  e.  2o )
54 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b `  w )  =  ( c `  w )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
55 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  (/) )
56 1n0 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1o  =/=  (/)
5756nesymi 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  =  1o
58 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  ( ( b `  w )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
5957, 58mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  -.  (
b `  w )  =  1o )
6059ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( b `  w
)  =  1o )
61 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
6260, 61mtbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( c `  w
)  =  1o )
63 elpri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 w )  =  (/)  \/  ( c `  w )  =  1o ) )
6463, 14eleq2s 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c `  w )  e.  2o  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
6564ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
66 orel2 384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( c `  w
)  =  1o  ->  ( ( ( c `  w )  =  (/)  \/  ( c `  w
)  =  1o )  ->  ( c `  w )  =  (/) ) )
6762, 65, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  (/) )
6855, 67eqtr4d 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
6968ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  (/) )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
70 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  1o )
71 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
7270, 71mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  1o )
7370, 72eqtr4d 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
7473ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  1o )  ->  ( (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
75 elpri 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7675, 14eleq2s 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  w )  e.  2o  ->  (
( b `  w
)  =  (/)  \/  (
b `  w )  =  1o ) )
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
7869, 74, 77mpjaodan 793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
7954, 78impbid2 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  ( c `  w
)  <->  ( ( b `
 w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8052, 53, 79syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( (
b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
81 simplrl 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
821pw2f1o2val2 35808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  w
)  =  1o ) )
8381, 82sylancom 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  w )  =  1o ) )
84 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
851pw2f1o2val2 35808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  w
)  =  1o ) )
8684, 85sylancom 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
8783, 86bibi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  e.  ( F `  b )  <-> 
w  e.  ( F `
 c ) )  <-> 
( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8880, 87bitr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
8988imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9089ralbidva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9190adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9251, 91anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
9392rexbidva 2870 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
94 vex 3020 . . . . 5  |-  b  e. 
_V
95 vex 3020 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
96 fveq1 5819 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  z )  =  ( b `  z ) )
97 fveq1 5819 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  z )  =  ( c `  z ) )
9896, 97breqan12d 4377 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  <->  ( b `  z )  _E  ( c `  z ) ) )
99 fveq1 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  w )  =  ( b `  w ) )
100 fveq1 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  w )  =  ( c `  w ) )
10199, 100eqeqan12d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( b `  w
)  =  ( c `
 w ) ) )
102101imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
103102ralbidv 2799 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
10498, 103anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <-> 
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
105104rexbidv 2873 . . . . 5  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
106 wepwso.u . . . . 5  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
10794, 95, 105, 106braba 4675 . . . 4  |-  ( b U c  <->  E. z  e.  A  ( (
b `  z )  _E  ( c `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
108 fvex 5830 . . . . 5  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
109 fvex 5830 . . . . 5  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
110 eleq2 2490 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  ( F `  c ) ) )
111 eleq2 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( F `  b ) ) )
112111notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  ( -.  z  e.  x  <->  -.  z  e.  ( F `
 b ) ) )
113110, 112bi2anan9r 882 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
114 eleq2 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  ( F `  b ) ) )
115 eleq2 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  ( F `  c ) ) )
116114, 115bi2bian9 883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w  e.  x  <->  w  e.  y
)  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
117116imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
118117ralbidv 2799 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
119113, 118anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
120119rexbidv 2873 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
121 wepwso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
122108, 109, 120, 121braba 4675 . . . 4  |-  ( ( F `  b ) T ( F `  c )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
12393, 107, 1223bitr4g 291 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  (
b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
124123ralrimivva 2781 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
125 df-isom 5548 . 2  |-  ( F 
Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
)  <->  ( F :
( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  /\  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) ) )
1262, 124, 125sylanbrc 668 1  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 3017   (/)c0 3699   ~Pcpw 3919   {csn 3936   {cpr 3938   class class class wbr 4361   {copab 4419    |-> cmpt 4420    _E cep 4700   `'ccnv 4790   "cima 4794   -->wf 5535   -1-1-onto->wf1o 5538   ` cfv 5539    Isom wiso 5540  (class class class)co 6244   1oc1o 7125   2oc2o 7126    ^m cmap 7422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-ord 5383  df-on 5384  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-1o 7132  df-2o 7133  df-map 7424
This theorem is referenced by:  wepwso  35814
  Copyright terms: Public domain W3C validator