Theorem wepwsolem 30580

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) }
wepwso.u	|- U = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wepwso.f	|- F = ( a e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' a " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	|- ( A e. _V -> F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z, w, a   x, A, y, z, w, a   x, F, y, z, w   T, a   U, a

Allowed substitution hints:   T( x, y, z, w)   U( x, y, z, w)   F( a)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 |- F = ( a e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' a " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 30573	. 2 |- ( A e. _V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		fvex 5867	. . . . . . . 8 |- ( c ` z ) e. _V
4	3	epelc 4786	. . . . . . 7 |- ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) <-> ( b ` z ) e. ( c ` z ) )
5		elmapi 7430	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( 2o ^m A ) -> b : A --> 2o )
6	5	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> b : A --> 2o )
7	6	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( b ` z ) e. 2o )
8		elmapi 7430	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( 2o ^m A ) -> c : A --> 2o )
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> c : A --> 2o )
10	9	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( c ` z ) e. 2o )
11		n0i 3783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> -. ( c ` z ) = (/) )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> -. ( c ` z ) = (/) )
13		elpri 4040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
14		df2o3 7133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
15	13, 14	eleq2s 2568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c ` z ) e. 2o -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) )
17		orel1 382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( c ` z ) = (/) -> ( ( ( c ` z ) = (/) \/ ( c ` z ) = 1o ) -> ( c ` z ) = 1o ) )
18	12, 16, 17	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( c ` z ) = 1o )
19		1on 7127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
20	19	onirri 4977	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o e. 1o
21		eleq12 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b ` z ) = 1o /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> 1o e. 1o ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b ` z ) = 1o /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> 1o e. 1o ) )
23	22	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> 1o e. 1o ) ) )
24	23	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) -> ( ( c ` z ) = 1o -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) ) )
25	24	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) )
26	25	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> ( ( b ` z ) = 1o -> 1o e. 1o ) )
27	20, 26	mtoi 178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) /\ ( c ` z ) = 1o ) -> -. ( b ` z ) = 1o )
28	18, 27	mpdan 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> -. ( b ` z ) = 1o )
29	18, 28	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( b ` z ) e. ( c ` z ) ) -> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) )
30		elpri 4040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
31	30, 14	eleq2s 2568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` z ) e. 2o -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) -> ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) )
33		orel2 383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( b ` z ) = 1o -> ( ( ( b ` z ) = (/) \/ ( b ` z ) = 1o ) -> ( b ` z ) = (/) ) )
34	32, 33	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ -. ( b ` z ) = 1o ) -> ( b ` z ) = (/) )
35	34	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) = (/) )
36		0lt1o 7144	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 1o
37	35, 36	syl6eqel 2556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) e. 1o )
38		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( c ` z ) = 1o )
39	37, 38	eleqtrrd 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) /\ ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) -> ( b ` z ) e. ( c ` z ) )
40	29, 39	impbida 829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b ` z ) e. 2o /\ ( c ` z ) e. 2o ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
41	7, 10, 40	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
42		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> c e. ( 2o ^m A ) )
43	1	pw2f1o2val2 30575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( 2o ^m A ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` c ) <-> ( c ` z ) = 1o ) )
44	42, 43	sylancom 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` c ) <-> ( c ` z ) = 1o ) )
45		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> b e. ( 2o ^m A ) )
46	1	pw2f1o2val2 30575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ( 2o ^m A ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` b ) <-> ( b ` z ) = 1o ) )
47	45, 46	sylancom 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. ( F ` b ) <-> ( b ` z ) = 1o ) )
48	47	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( -. z e. ( F ` b ) <-> -. ( b ` z ) = 1o ) )
49	44, 48	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) <-> ( ( c ` z ) = 1o /\ -. ( b ` z ) = 1o ) ) )
50	41, 49	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) e. ( c ` z ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
51	4, 50	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
52	6	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( b ` w ) e. 2o )
53	9	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( c ` w ) e. 2o )
54		eqeq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b ` w ) = ( c ` w ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
55		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = (/) )
56		1n0 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1o =/= (/)
57	56	necomi 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) =/= 1o
58		df-ne 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) =/= 1o <-> -. (/) = 1o )
59	57, 58	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. (/) = 1o
60		eqeq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b ` w ) = (/) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
61	59, 60	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b ` w ) = (/) -> -. ( b ` w ) = 1o )
62	61	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> -. ( b ` w ) = 1o )
63		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
64	62, 63	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> -. ( c ` w ) = 1o )
65		elpri 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c ` w ) e. { (/) , 1o } -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
66	65, 14	eleq2s 2568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c ` w ) e. 2o -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
67	66	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) )
68		orel2 383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( c ` w ) = 1o -> ( ( ( c ` w ) = (/) \/ ( c ` w ) = 1o ) -> ( c ` w ) = (/) ) )
69	64, 67, 68	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( c ` w ) = (/) )
70	55, 69	eqtr4d 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = (/) ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
72		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = 1o )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) )
74	72, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( c ` w ) = 1o )
75	72, 74	eqtr4d 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) /\ ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) )
76	75	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) /\ ( b ` w ) = 1o ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
77		elpri 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ` w ) e. { (/) , 1o } -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
78	77, 14	eleq2s 2568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b ` w ) e. 2o -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( b ` w ) = (/) \/ ( b ` w ) = 1o ) )
80	71, 76, 79	mpjaodan 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
81	54, 80	impbid2 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b ` w ) e. 2o /\ ( c ` w ) e. 2o ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
82	52, 53, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
83		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> b e. ( 2o ^m A ) )
84	1	pw2f1o2val2 30575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( 2o ^m A ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` b ) <-> ( b ` w ) = 1o ) )
85	83, 84	sylancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` b ) <-> ( b ` w ) = 1o ) )
86		simplrr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> c e. ( 2o ^m A ) )
87	1	pw2f1o2val2 30575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( 2o ^m A ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` c ) <-> ( c ` w ) = 1o ) )
88	86, 87	sylancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. ( F ` c ) <-> ( c ` w ) = 1o ) )
89	85, 88	bibi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) <-> ( ( b ` w ) = 1o <-> ( c ` w ) = 1o ) ) )
90	82, 89	bitr4d 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( b ` w ) = ( c ` w ) <-> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) )
91	90	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
92	91	ralbidva 2893	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
93	92	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
94	51, 93	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) <-> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
95	94	rexbidva 2963	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
96		vex 3109	. . . . 5 |- b e. _V
97		vex 3109	. . . . 5 |- c e. _V
98		fveq1 5856	. . . . . . . 8 |- ( x = b -> ( x ` z ) = ( b ` z ) )
99		fveq1 5856	. . . . . . . 8 |- ( y = c -> ( y ` z ) = ( c ` z ) )
100	98, 99	breqan12d 4455	. . . . . . 7 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) <-> ( b ` z ) _E ( c ` z ) ) )
101		fveq1 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x ` w ) = ( b ` w ) )
102		fveq1 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( y = c -> ( y ` w ) = ( c ` w ) )
103	101, 102	eqeqan12d 2483	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) )
104	103	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
105	104	ralbidv 2896	. . . . . . 7 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
106	100, 105	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) ) )
107	106	rexbidv 2966	. . . . 5 |- ( ( x = b /\ y = c ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) ) )
108		wepwso.u	. . . . 5 |- U = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
109	96, 97, 107, 108	braba 4757	. . . 4 |- ( b U c <-> E. z e. A ( ( b ` z ) _E ( c ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( b ` w ) = ( c ` w ) ) ) )
110		fvex 5867	. . . . 5 |- ( F ` b ) e. _V
111		fvex 5867	. . . . 5 |- ( F ` c ) e. _V
112		eleq2 2533	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` c ) -> ( z e. y <-> z e. ( F ` c ) ) )
113		eleq2 2533	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` b ) -> ( z e. x <-> z e. ( F ` b ) ) )
114	113	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` b ) -> ( -. z e. x <-> -. z e. ( F ` b ) ) )
115	112, 114	bi2anan9r 870	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( z e. y /\ -. z e. x ) <-> ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) ) )
116		eleq2 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F ` b ) -> ( w e. x <-> w e. ( F ` b ) ) )
117		eleq2 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` c ) -> ( w e. y <-> w e. ( F ` c ) ) )
118	116, 117	bi2bian9 871	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) )
119	118	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) <-> ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
120	119	ralbidv 2896	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) <-> A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
121	115, 120	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) <-> ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
122	121	rexbidv 2966	. . . . 5 |- ( ( x = ( F ` b ) /\ y = ( F ` c ) ) -> ( E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) ) )
123		wepwso.t	. . . . 5 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( z e. y /\ -. z e. x ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. x <-> w e. y ) ) ) }
124	110, 111, 122, 123	braba 4757	. . . 4 |- ( ( F ` b ) T ( F ` c ) <-> E. z e. A ( ( z e. ( F ` c ) /\ -. z e. ( F ` b ) ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( w e. ( F ` b ) <-> w e. ( F ` c ) ) ) ) )
125	95, 109, 124	3bitr4g 288	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ ( b e. ( 2o ^m A ) /\ c e. ( 2o ^m A ) ) ) -> ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) )
126	125	ralrimivva 2878	. 2 |- ( A e. _V -> A. b e. ( 2o ^m A ) A. c e. ( 2o ^m A ) ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) )
127		df-isom 5588	. 2 |- ( F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) <-> ( F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A /\ A. b e. ( 2o ^m A ) A. c e. ( 2o ^m A ) ( b U c <-> ( F ` b ) T ( F ` c ) ) ) )
128	2, 126, 127	sylanbrc 664	1 |- ( A e. _V -> F Isom U , T ( ( 2o ^m A ) , ~P A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   {csn 4020   {cpr 4022   class class class wbr 4440   {copab 4497   |-> cmpt 4498   _E cep 4782   `'ccnv 4991   "cima 4995   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579   Isom wiso 5580  (class class class)co 6275   1oc1o 7113   2oc2o 7114   ^m cmap 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-1o 7120  df-2o 7121  df-map 7412

This theorem is referenced by:  wepwso  30581