Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wepwso Structured version   Unicode version

Theorem wepwso 35330
Description: A well-ordering induces a strict ordering on the power set. EDITORIAL: when well-orderings are set like, this can be strengthened to remove  A  e.  V. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wepwso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
wepwso  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  T  Or  ~P A
)
Distinct variable groups:    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)

Proof of Theorem wepwso
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 7325 . . . . 5  |-  2o  e.  om
2 nnord 6690 . . . . 5  |-  ( 2o  e.  om  ->  Ord  2o )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  Ord  2o
4 ordwe 5422 . . . 4  |-  ( Ord 
2o  ->  _E  We  2o )
5 weso 4813 . . . 4  |-  (  _E  We  2o  ->  _E  Or  2o )
63, 4, 5mp2b 10 . . 3  |-  _E  Or  2o
7 eqid 2402 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  (
( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
87wemapso 8009 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A  /\  _E  Or  2o )  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  Or  ( 2o 
^m  A ) )
96, 8mp3an3 1315 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  Or  ( 2o 
^m  A ) )
10 elex 3067 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
11 wepwso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
12 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' a " { 1o } ) )  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
1311, 7, 12wepwsolem 35329 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
a  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' a " { 1o } ) )  Isom  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) } ,  T ( ( 2o 
^m  A ) ,  ~P A ) )
14 isoso 6226 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' a " { 1o } ) )  Isom  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) } ,  T ( ( 2o 
^m  A ) ,  ~P A )  -> 
( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  (
( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  Or  ( 2o  ^m  A )  <->  T  Or  ~P A ) )
1510, 13, 143syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  Or  ( 2o 
^m  A )  <->  T  Or  ~P A ) )
1615adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  (
( x `  z
)  _E  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  Or  ( 2o  ^m  A )  <->  T  Or  ~P A ) )
179, 16mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  T  Or  ~P A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   ~Pcpw 3954   {csn 3971   class class class wbr 4394   {copab 4451    |-> cmpt 4452    _E cep 4731    Or wor 4742    We wwe 4780   `'ccnv 4821   "cima 4825   Ord word 5408   ` cfv 5568    Isom wiso 5569  (class class class)co 6277   omcom 6682   1oc1o 7159   2oc2o 7160    ^m cmap 7456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-1o 7166  df-2o 7167  df-map 7458
This theorem is referenced by:  aomclem1  35342
  Copyright terms: Public domain W3C validator