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Theorem weniso 6043
Description: A set-like well-ordering has no nontrivial automorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weniso  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)

Proof of Theorem weniso
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0 3655 . . . . . 6  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  A  -.  ( F `  a
)  =  a )
2 rexnal 2724 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  A  -.  ( F `  a )  =  a  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
31, 2bitri 249 . . . . 5  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
4 simpl1 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
5 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
6 ssrab2 3435 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A )
8 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )
9 wereu2 4715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) ) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
104, 5, 7, 8, 9syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
11 reurex 2935 . . . . . . . 8  |-  ( E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1312ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  E. b  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a } A. c  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  -.  c R b ) )
14 fveq2 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
1614, 15eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  b )  =  b ) )
1716notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
1817elrab 3115 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  <->  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )
19 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  a  =  c )
2119, 20eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  c )  =  c ) )
2221notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  c )  =  c ) )
2322ralrab 3119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
24 con34b 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  <-> 
( -.  ( F `
 c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
2524bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R
b )  <->  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2625ralbii 2737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c
)  =  c  ->  -.  c R b )  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2723, 26bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
28 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )
29 isof1o 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F 
Isom  R ,  R  ( A ,  A )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
31 f1of 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A --> A )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  b  e.  A
)
3432, 33ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  b )  e.  A
)
35 breq1 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( F `  b ) R b ) )
36 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( F `  b ) ) )
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  c  =  ( F `  b ) )
3836, 37eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) )
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) ) )
4039rspcv 3067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
) ) ) )
4134, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4241com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) )
44 f1of1 5638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A -1-1-> A )
4530, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-> A )
46 f1fveq 5973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  ( F `  b )
)  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  b )  =  b ) )
4745, 34, 33, 46syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  <->  ( F `  b )  =  b ) )
48 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  b
)  =  b  -> 
( ( F `  b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5047, 49sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5243, 51syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
53 f1ocnv 5651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
54 f1of 5639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A --> A )
5530, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  `' F : A
--> A )
5655, 33ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A
)
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A )
58 isorel 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Isom  R ,  R  ( A ,  A )  /\  (
( `' F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( `' F `  b ) R b  <-> 
( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `
 b ) ) )
5928, 56, 33, 58syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  <->  ( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
) ) )
60 f1ocnvfv2 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6130, 33, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6261breq1d 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
)  <->  b R ( F `  b ) ) )
6359, 62bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( b R ( F `  b
)  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
6463biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b ) R b )
65 breq1 4293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
66 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
67 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  c  =  ( `' F `  b ) )
6866, 67eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
6965, 68imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7069rspcv 3067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7170com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  (
( `' F `  b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7257, 64, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
73 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
74 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7661fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7861adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
7975, 77, 783eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  b )  =  b )
8073, 79, 48sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8372, 82syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
84 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
85 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  We  A
)
86 weso 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  Or  A
)
88 sotrieq 4666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  b
)  =  b  <->  -.  (
( F `  b
) R b  \/  b R ( F `
 b ) ) ) )
8987, 34, 33, 88syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  <->  -.  ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) ) ) )
9089con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) )  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
9184, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  \/  b R ( F `  b
) ) )
9252, 83, 91mpjaodan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9327, 92syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9493ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b )  -> 
( A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9518, 94syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( b  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9695rexlimdv 2838 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9713, 96syld 44 . . . . 5  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
983, 97syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9998pm2.18d 111 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
100 fvresi 5902 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 a )  =  a )
101100eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a )  <->  ( F `  a )  =  a ) )
102101biimprd 223 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  a  -> 
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a ) ) )
103102ralimia 2787 . . 3  |-  ( A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 a ) )
10499, 103syl 16 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) )
105293ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
106 f1ofn 5640 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
107105, 106syl 16 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  Fn  A
)
108 fnresi 5526 . . . 4  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
109108a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A )
110 eqfnfv 5795 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  (  _I  |`  A )  Fn  A )  -> 
( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
111107, 109, 110syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
112104, 111mpbird 232 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   {crab 2717    C_ wss 3326   (/)c0 3635   class class class wbr 4290    _I cid 4629    Or wor 4638   Se wse 4675    We wwe 4676   `'ccnv 4837    |` cres 4840    Fn wfn 5411   -->wf 5412   -1-1->wf1 5413   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416    Isom wiso 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425
This theorem is referenced by:  weisoeq  6044  oiid  7753
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