Theorem wemapwe 7610

Description: Construct lexicographic order on a function space based on a reverse well-ordering of the indexes and a well-ordering of the values. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapwe.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wemapwe.u	|- U = { x e. ( B ^m A ) | ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin }
wemapwe.2	|- ( ph -> R We A )
wemapwe.3	|- ( ph -> S We B )
wemapwe.4	|- ( ph -> B =/= (/) )
wemapwe.5	|- F = OrdIso ( R , A )
wemapwe.6	|- G = OrdIso ( S , B )
wemapwe.7	|- Z = ( G ` (/) )

Assertion

Ref	Expression
wemapwe	|- ( ph -> T We U )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   x, B, y   w, F, x, y, z   x, G, y   ph, x, y   w, R, z   z, S   x, U, y   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   B( z, w)   R( x, y)   S( x, y, w)   T( x, y, z, w)   U( z, w)   G( z, w)   Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapwe

Dummy variables a b c d f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapwe.u	. . . . . . . . 9 |- U = { x e. ( B ^m A ) | ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin }
2		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } = { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin }
3		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( `' G ` Z ) = ( `' G ` Z )
4		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> A e. _V )
5		wemapwe.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R We A )
6	5	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> R We A )
7		wemapwe.5	. . . . . . . . . . . 12 |- F = OrdIso ( R , A )
8	7	oiiso 7462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ R We A ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) )
9	4, 6, 8	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) )
10		isof1o 6004	. . . . . . . . . 10 |- ( F Isom _E , R ( dom F , A ) -> F : dom F -1-1-onto-> A )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> F : dom F -1-1-onto-> A )
12		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> B e. _V )
13		wemapwe.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S We B )
14	13	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> S We B )
15		wemapwe.6	. . . . . . . . . . . 12 |- G = OrdIso ( S , B )
16	15	oiiso 7462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ S We B ) -> G Isom _E , S ( dom G , B ) )
17	12, 14, 16	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> G Isom _E , S ( dom G , B ) )
18		isof1o 6004	. . . . . . . . . 10 |- ( G Isom _E , S ( dom G , B ) -> G : dom G -1-1-onto-> B )
19		f1ocnv 5646	. . . . . . . . . 10 |- ( G : dom G -1-1-onto-> B -> `' G : B -1-1-onto-> dom G )
20	17, 18, 19	3syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> `' G : B -1-1-onto-> dom G )
21	7	oiexg 7460	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> F e. _V )
22	21	ad2antll 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> F e. _V )
23		dmexg 5089	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. _V -> dom F e. _V )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom F e. _V )
25	15	oiexg 7460	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. _V -> G e. _V )
26	25	ad2antrl 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> G e. _V )
27		dmexg 5089	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. _V -> dom G e. _V )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom G e. _V )
29		wemapwe.7	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( G ` (/) )
30	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> B )
31		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : dom G -1-1-onto-> B -> G : dom G -onto-> B )
32		forn 5615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : dom G -onto-> B -> ran G = B )
33	30, 31, 32	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ran G = B )
34		wemapwe.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B =/= (/) )
35	34	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> B =/= (/) )
36	33, 35	eqnetrd 2585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ran G =/= (/) )
37		dm0rn0 5045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom G = (/) <-> ran G = (/) )
38	37	necon3bii 2599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom G =/= (/) <-> ran G =/= (/) )
39	36, 38	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom G =/= (/) )
40	15	oicl 7454	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord dom G
41		ord0eln0 4595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord dom G -> ( (/) e. dom G <-> dom G =/= (/) ) )
42	40, 41	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. dom G <-> dom G =/= (/) )
43	39, 42	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> (/) e. dom G )
44	15	oif 7455	. . . . . . . . . . . 12 |- G : dom G --> B
45	44	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. B )
46	43, 45	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( G ` (/) ) e. B )
47	29, 46	syl5eqel 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> Z e. B )
48	1, 2, 3, 11, 20, 4, 12, 24, 28, 47	mapfien 7609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } )
49		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ 1o ) ) e. Fin } = { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ 1o ) ) e. Fin }
50	15	oion 7461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> dom G e. On )
51	50	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom G e. On )
52	7	oion 7461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. _V -> dom F e. On )
53	52	ad2antll 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom F e. On )
54	49, 51, 53	cantnfdm 7575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom ( dom G CNF dom F ) = { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ 1o ) ) e. Fin } )
55	29	fveq2i 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' G ` Z ) = ( `' G ` ( G ` (/) ) )
56		f1ocnvfv1 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : dom G -1-1-onto-> B /\ (/) e. dom G ) -> ( `' G ` ( G ` (/) ) ) = (/) )
57	30, 43, 56	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( `' G ` ( G ` (/) ) ) = (/) )
58	55, 57	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( `' G ` Z ) = (/) )
59	58	sneqd 3787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { ( `' G ` Z ) } = { (/) } )
60		df1o2 6695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o = { (/) }
61	59, 60	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { ( `' G ` Z ) } = 1o )
62	61	difeq2d 3425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) = ( _V \ 1o ) )
63	62	imaeq2d 5162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) = ( `' x " ( _V \ 1o ) ) )
64	63	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin <-> ( `' x " ( _V \ 1o ) ) e. Fin ) )
65	64	rabbidv 2908	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } = { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ 1o ) ) e. Fin } )
66	54, 65	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom ( dom G CNF dom F ) = { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } )
67		f1oeq3 5626	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( dom G CNF dom F ) = { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) <-> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) <-> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x e. ( dom G ^m dom F ) | ( `' x " ( _V \ { ( `' G ` Z ) } ) ) e. Fin } ) )
69	48, 68	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) )
70		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- dom ( dom G CNF dom F ) = dom ( dom G CNF dom F )
71		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) }
72	70, 51, 53, 71	oemapwe 7606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } We dom ( dom G CNF dom F ) /\ dom OrdIso ( { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } , dom ( dom G CNF dom F ) ) = ( dom G ^o dom F ) ) )
73	72	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } We dom ( dom G CNF dom F ) )
74		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } = { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) }
75	74	f1owe 6032	. . . . . . 7 |- ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) -> ( { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } We dom ( dom G CNF dom F ) -> { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } We U ) )
76	69, 73, 75	sylc 58	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } We U )
77		weinxp 4904	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } We U <-> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U )
78	76, 77	sylib 189	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U )
79	11	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> F : dom F -1-1-onto-> A )
80		f1ofn 5634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : dom F -1-1-onto-> A -> F Fn dom F )
81		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` c ) -> ( x ` z ) = ( x ` ( F ` c ) ) )
82		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` c ) -> ( y ` z ) = ( y ` ( F ` c ) ) )
83	81, 82	breq12d 4185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( x ` z ) S ( y ` z ) <-> ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) ) )
84		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` c ) -> ( z R w <-> ( F ` c ) R w ) )
85	84	imbi1d 309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
86	85	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( F ` c ) -> ( A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
87	83, 86	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) )
88	87	rexrn 5831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn dom F -> ( E. z e. ran F ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) )
89	79, 80, 88	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. z e. ran F ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) )
90		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : dom F -1-1-onto-> A -> F : dom F -onto-> A )
91		forn 5615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : dom F -onto-> A -> ran F = A )
92	79, 90, 91	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ran F = A )
93	92	rexeqdv 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. z e. ran F ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) )
94	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> G e. _V )
95		cnvexg 5364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. _V -> `' G e. _V )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> `' G e. _V )
97		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
98	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> F e. _V )
99		coexg 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. _V /\ F e. _V ) -> ( x o. F ) e. _V )
100	97, 98, 99	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( x o. F ) e. _V )
101		coexg 5371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' G e. _V /\ ( x o. F ) e. _V ) -> ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V )
102	96, 100, 101	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V )
103		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
104		coexg 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. _V /\ F e. _V ) -> ( y o. F ) e. _V )
105	103, 98, 104	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( y o. F ) e. _V )
106		coexg 5371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' G e. _V /\ ( y o. F ) e. _V ) -> ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V )
107	96, 105, 106	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V )
108		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) -> ( a ` c ) = ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) )
109		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( `' G o. ( y o. F ) ) -> ( b ` c ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) )
110		eleq12 2466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a ` c ) = ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) /\ ( b ` c ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) -> ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) )
111	108, 109, 110	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) )
112		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) -> ( a ` d ) = ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) )
113		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = ( `' G o. ( y o. F ) ) -> ( b ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) )
114	112, 113	eqeqan12d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( a ` d ) = ( b ` d ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) )
115	114	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) <-> ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) )
116	115	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) <-> A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) )
117	111, 116	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) <-> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) )
118	117	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) )
119	118, 71	brabga 4429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V /\ ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( `' G o. ( y o. F ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) )
120	102, 107, 119	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( `' G o. ( y o. F ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) )
121		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x e. U )
122		coeq1 4989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = x -> ( f o. F ) = ( x o. F ) )
123	122	coeq2d 4994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = x -> ( `' G o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( x o. F ) ) )
124		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) )
125	123, 124	fvmptg 5763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. U /\ ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) = ( `' G o. ( x o. F ) ) )
126	121, 102, 125	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) = ( `' G o. ( x o. F ) ) )
127		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y e. U )
128		coeq1 4989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = y -> ( f o. F ) = ( y o. F ) )
129	128	coeq2d 4994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = y -> ( `' G o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( y o. F ) ) )
130	129, 124	fvmptg 5763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. U /\ ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) = ( `' G o. ( y o. F ) ) )
131	127, 107, 130	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) = ( `' G o. ( y o. F ) ) )
132	126, 131	breq12d 4185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) <-> ( `' G o. ( x o. F ) ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( `' G o. ( y o. F ) ) ) )
133	17	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> G Isom _E , S ( dom G , B ) )
134		isocnv 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G Isom _E , S ( dom G , B ) -> `' G Isom S , _E ( B , dom G ) )
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> `' G Isom S , _E ( B , dom G ) )
136		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { x e. ( B ^m A ) | ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin } C_ ( B ^m A )
137	1, 136	eqsstri 3338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U C_ ( B ^m A )
138	137, 121	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x e. ( B ^m A ) )
139		elmapi 6997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( B ^m A ) -> x : A --> B )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x : A --> B )
141	7	oif 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F : dom F --> A
142	141	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. dom F -> ( F ` c ) e. A )
143		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x : A --> B /\ ( F ` c ) e. A ) -> ( x ` ( F ` c ) ) e. B )
144	140, 142, 143	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( x ` ( F ` c ) ) e. B )
145	137, 127	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y e. ( B ^m A ) )
146		elmapi 6997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( B ^m A ) -> y : A --> B )
147	145, 146	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y : A --> B )
148		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y : A --> B /\ ( F ` c ) e. A ) -> ( y ` ( F ` c ) ) e. B )
149	147, 142, 148	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( y ` ( F ` c ) ) e. B )
150		isorel 6005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' G Isom S , _E ( B , dom G ) /\ ( ( x ` ( F ` c ) ) e. B /\ ( y ` ( F ` c ) ) e. B ) ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) _E ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) )
151	135, 144, 149, 150	syl12anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) _E ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) )
152		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) e. _V
153	152	epelc 4456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) _E ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) e. ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) )
154	151, 153	syl6bb 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) e. ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) )
155	140	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> x : A --> B )
156		fco 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x : A --> B /\ F : dom F --> A ) -> ( x o. F ) : dom F --> B )
157	155, 141, 156	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( x o. F ) : dom F --> B )
158		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x o. F ) : dom F --> B /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` c ) ) )
159	157, 158	sylancom 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` c ) ) )
160		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> c e. dom F )
161		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : dom F --> A /\ c e. dom F ) -> ( ( x o. F ) ` c ) = ( x ` ( F ` c ) ) )
162	141, 160, 161	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x o. F ) ` c ) = ( x ` ( F ` c ) ) )
163	162	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( `' G ` ( ( x o. F ) ` c ) ) = ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) )
164	159, 163	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) )
165	147	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> y : A --> B )
166		fco 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y : A --> B /\ F : dom F --> A ) -> ( y o. F ) : dom F --> B )
167	165, 141, 166	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( y o. F ) : dom F --> B )
168		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y o. F ) : dom F --> B /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` c ) ) )
169	167, 168	sylancom 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` c ) ) )
170		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : dom F --> A /\ c e. dom F ) -> ( ( y o. F ) ` c ) = ( y ` ( F ` c ) ) )
171	141, 160, 170	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( y o. F ) ` c ) = ( y ` ( F ` c ) ) )
172	171	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( `' G ` ( ( y o. F ) ` c ) ) = ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) )
173	169, 172	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) )
174	164, 173	eleq12d 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) e. ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) )
175	154, 174	bitr4d 248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) )
176	92	raleqdv 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( A. w e. ran F ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
177		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` d ) -> ( ( F ` c ) R w <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) )
178		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` d ) -> ( x ` w ) = ( x ` ( F ` d ) ) )
179		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` d ) -> ( y ` w ) = ( y ` ( F ` d ) ) )
180	178, 179	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` d ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) )
181	177, 180	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` d ) -> ( ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
182	181	ralrn 5832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn dom F -> ( A. w e. ran F ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
183	79, 80, 182	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( A. w e. ran F ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
184	176, 183	bitr3d 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
185	184	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
186		epel 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c _E d <-> c e. d )
187	9	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) )
188		isorel 6005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F Isom _E , R ( dom F , A ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( c _E d <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) )
189	187, 188	sylancom 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( c _E d <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) )
190	186, 189	syl5bbr 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( c e. d <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) )
191	157	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( x o. F ) : dom F --> B )
192		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> d e. dom F )
193		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x o. F ) : dom F --> B /\ d e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) )
194	191, 192, 193	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) )
195	167	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( y o. F ) : dom F --> B )
196		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y o. F ) : dom F --> B /\ d e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) )
197	195, 192, 196	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) )
198	194, 197	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) <-> ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) ) )
199	30	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> B )
200		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( `' G : B -1-1-onto-> dom G -> `' G : B -1-1-> dom G )
201	199, 19, 200	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> `' G : B -1-1-> dom G )
202	191, 192	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( x o. F ) ` d ) e. B )
203	195, 192	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( y o. F ) ` d ) e. B )
204		f1fveq 5967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( `' G : B -1-1-> dom G /\ ( ( ( x o. F ) ` d ) e. B /\ ( ( y o. F ) ` d ) e. B ) ) -> ( ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) <-> ( ( x o. F ) ` d ) = ( ( y o. F ) ` d ) ) )
205	201, 202, 203, 204	syl12anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) <-> ( ( x o. F ) ` d ) = ( ( y o. F ) ` d ) ) )
206		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : dom F --> A /\ d e. dom F ) -> ( ( x o. F ) ` d ) = ( x ` ( F ` d ) ) )
207	141, 192, 206	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( x o. F ) ` d ) = ( x ` ( F ` d ) ) )
208		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : dom F --> A /\ d e. dom F ) -> ( ( y o. F ) ` d ) = ( y ` ( F ` d ) ) )
209	141, 192, 208	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( y o. F ) ` d ) = ( y ` ( F ` d ) ) )
210	207, 209	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( ( x o. F ) ` d ) = ( ( y o. F ) ` d ) <-> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) )
211	198, 205, 210	3bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) <-> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) )
212	190, 211	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) <-> ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
213	212	anassrs 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) /\ d e. dom F ) -> ( ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) <-> ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
214	213	ralbidva 2682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) )
215	185, 214	bitr4d 248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) )
216	175, 215	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) )
217	216	rexbidva 2683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) )
218	120, 132, 217	3bitr4rd 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) ) )
219	89, 93, 218	3bitr3d 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) ) )
220	219	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) ) ) )
221	220	pm5.32rd 622	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) <-> ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) ) )
222	221	opabbidv 4231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { <. x , y >. | ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } )
223		wemapwe.t	. . . . . . . . 9 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
224		df-xp 4843	. . . . . . . . 9 |- ( U X. U ) = { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) }
225	223, 224	ineq12i 3500	. . . . . . . 8 |- ( T i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } )
226		inopab 4964	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } ) = { <. x , y >. | ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) }
227	225, 226	eqtri 2424	. . . . . . 7 |- ( T i^i ( U X. U ) ) = { <. x , y >. | ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) }
228	224	ineq2i 3499	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } )
229		inopab 4964	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) }
230	228, 229	eqtri 2424	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) = { <. x , y >. | ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) }
231	222, 227, 230	3eqtr4g 2461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( T i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) )
232		weeq1 4530	. . . . . 6 |- ( ( T i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) -> ( ( T i^i ( U X. U ) ) We U <-> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U ) )
233	231, 232	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( T i^i ( U X. U ) ) We U <-> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U ) )
234	78, 233	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( T i^i ( U X. U ) ) We U )
235		weinxp 4904	. . . 4 |- ( T We U <-> ( T i^i ( U X. U ) ) We U )
236	234, 235	sylibr 204	. . 3 |- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> T We U )
237	236	ex 424	. 2 |- ( ph -> ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> T We U ) )
238		we0 4537	. . 3 |- T We (/)
239		elmapex 6996	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B ^m A ) -> ( B e. _V /\ A e. _V ) )
240	239	con3i 129	. . . . . . . 8 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> -. x e. ( B ^m A ) )
241	240	pm2.21d 100	. . . . . . 7 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( B ^m A ) -> -. ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin ) )
242	241	ralrimiv 2748	. . . . . 6 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> A. x e. ( B ^m A ) -. ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
243		rabeq0 3609	. . . . . 6 |- ( { x e. ( B ^m A ) | ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin } = (/) <-> A. x e. ( B ^m A ) -. ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
244	242, 243	sylibr 204	. . . . 5 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> { x e. ( B ^m A ) | ( `' x " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin } = (/) )
245	1, 244	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> U = (/) )
246		weeq2 4531	. . . 4 |- ( U = (/) -> ( T We U <-> T We (/) ) )
247	245, 246	syl 16	. . 3 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( T We U <-> T We (/) ) )
248	238, 247	mpbiri 225	. 2 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> T We U )
249	237, 248	pm2.61d1 153	1 |- ( ph -> T We U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   {copab 4225   e. cmpt 4226   _E cep 4452   We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   Isom wiso 5414  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   ^o coe 6682   ^m cmap 6977   Fincfn 7068  OrdIsocoi 7434   CNF ccnf 7572

This theorem is referenced by:  ltbwe  16488

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-cnf 7573