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Theorem wemapwe 7924
Description: Construct lexicographic order on a function space based on a reverse well-ordering of the indexes and a well-ordering of the values. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapwe.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapwe.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
wemapwe.2  |-  ( ph  ->  R  We  A )
wemapwe.3  |-  ( ph  ->  S  We  B )
wemapwe.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
wemapwe.5  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
wemapwe.6  |-  G  = OrdIso
( S ,  B
)
wemapwe.7  |-  Z  =  ( G `  (/) )
Assertion
Ref Expression
wemapwe  |-  ( ph  ->  T  We  U )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    x, B, y    w, F, x, y, z    x, G, y    ph, x, y    w, R, z    z, S    x, U, y    x, Z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    B( z, w)    R( x, y)    S( x, y, w)    T( x, y, z, w)    U( z, w)    G( z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapwe
Dummy variables  a 
b  c  d  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapwe.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
2 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp 
( `' G `  Z ) }  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F
)  |  x finSupp  ( `' G `  Z ) }
3 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G `  Z )  =  ( `' G `  Z )
4 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  A  e.  _V )
5 wemapwe.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  We  A )
65adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  R  We  A )
7 wemapwe.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
87oiiso 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
94, 6, 8syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
10 isof1o 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
12 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  B  e.  _V )
13 wemapwe.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  We  B )
1413adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  S  We  B )
15 wemapwe.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
( S ,  B
)
1615oiiso 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  S  We  B )  ->  G  Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
) )
1712, 14, 16syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  G  Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
) )
18 isof1o 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
)  ->  G : dom  G -1-1-onto-> B )
19 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> B  ->  `' G : B -1-1-onto-> dom  G
)
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  `' G : B -1-1-onto-> dom  G
)
217oiexg 7745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  F  e.  _V )
2221ad2antll 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  F  e.  _V )
23 dmexg 6508 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  F  e.  _V )
2515oiexg 7745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  _V  ->  G  e.  _V )
2625ad2antrl 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  G  e.  _V )
27 dmexg 6508 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  _V  ->  dom  G  e.  _V )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  G  e.  _V )
29 wemapwe.7 . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( G `  (/) )
3017, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> B )
31 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> B  ->  G : dom  G -onto-> B
)
32 forn 5620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : dom  G -onto-> B  ->  ran  G  =  B )
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  ran  G  =  B )
34 wemapwe.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
3534adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  B  =/=  (/) )
3633, 35eqnetrd 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  ran  G  =/=  (/) )
37 dm0rn0 5052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
G  =  (/)  <->  ran  G  =  (/) )
3837necon3bii 2638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
G  =/=  (/)  <->  ran  G  =/=  (/) )
3936, 38sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  G  =/=  (/) )
4015oicl 7739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  dom  G
41 ord0eln0 4769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  G  ->  ( (/)  e.  dom  G  <->  dom  G  =/=  (/) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  dom  G  <->  dom  G  =/=  (/) )
4339, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  (/) 
e.  dom  G )
4415oif 7740 . . . . . . . . . . . 12  |-  G : dom  G --> B
4544ffvelrni 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  B )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( G `  (/) )  e.  B )
4729, 46syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  Z  e.  B )
481, 2, 3, 11, 20, 4, 12, 24, 28, 47mapfien 7653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp  ( `' G `  Z ) } )
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp  (/)
}  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp  (/)
}
5015oion 7746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
5150ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  G  e.  On )
527oion 7746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  F  e.  On )
5352ad2antll 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  F  e.  On )
5449, 51, 53cantnfdm 7866 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp  (/)
} )
5529fveq2i 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' G `  Z )  =  ( `' G `  ( G `  (/) ) )
56 f1ocnvfv1 5980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> B  /\  (/)  e.  dom  G
)  ->  ( `' G `  ( G `  (/) ) )  =  (/) )
5730, 43, 56syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( `' G `  ( G `  (/) ) )  =  (/) )
5855, 57syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( `' G `  Z )  =  (/) )
5958breq2d 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( x finSupp  ( `' G `  Z )  <->  x finSupp  (/) ) )
6059rabbidv 2962 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F
)  |  x finSupp  ( `' G `  Z ) }  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp  (/)
} )
6154, 60eqtr4d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp 
( `' G `  Z ) } )
62 f1oeq3 5631 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp 
( `' G `  Z ) }  ->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom 
F )  <->  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp 
( `' G `  Z ) } ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom 
F )  <->  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  x finSupp 
( `' G `  Z ) } ) )
6448, 63mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom 
F ) )
65 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  dom  ( dom  G CNF  dom 
F )
66 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }
6765, 51, 53, 66oemapwe 7898 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  We  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  /\  dom OrdIso ( {
<. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) } ,  dom  ( dom  G CNF  dom  F )
)  =  ( dom 
G  ^o  dom  F ) ) )
6867simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  We  dom  ( dom  G CNF  dom  F
) )
69 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }
7069f1owe 6041 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom  F
)  ->  ( { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  We  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  We  U ) )
7164, 68, 70sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  We  U )
72 weinxp 4902 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  We  U  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
)
7371, 72sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
)
7411adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
75 f1ofn 5639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  dom  F )
76 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
x `  z )  =  ( x `  ( F `  c ) ) )
77 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
y `  z )  =  ( y `  ( F `  c ) ) )
7876, 77breq12d 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  <->  ( x `  ( F `  c
) ) S ( y `  ( F `
 c ) ) ) )
79 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z R w  <->  ( F `  c ) R w ) )
8079imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( ( F `
 c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
8180ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
8278, 81anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
x `  ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
8382rexrn 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( E. z  e. 
ran  F ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c
) R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) )
8474, 75, 833syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. z  e.  ran  F ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `
 c ) ) S ( y `  ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
85 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F : dom  F -onto-> A
)
86 forn 5620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : dom  F -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
8774, 85, 863syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ran  F  =  A )
8887rexeqdv 2922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. z  e.  ran  F ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) )
8926adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  G  e.  _V )
90 cnvexg 6523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  _V  ->  `' G  e.  _V )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  `' G  e.  _V )
92 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
9322adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  F  e.  _V )
94 coexg 6527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( x  o.  F
)  e.  _V )
9592, 93, 94sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
x  o.  F )  e.  _V )
96 coexg 6527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G  e.  _V  /\  ( x  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  e.  _V )
9791, 95, 96syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) )  e.  _V )
98 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
99 coexg 6527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( y  o.  F
)  e.  _V )
10098, 93, 99sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  o.  F )  e.  _V )
101 coexg 6527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G  e.  _V  /\  ( y  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  e.  _V )
10291, 100, 101syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) )  e.  _V )
103 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  ->  (
a `  c )  =  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c ) )
104 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  ->  (
b `  c )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c ) )
105 eleq12 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a `  c
)  =  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  /\  ( b `  c )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
) )  ->  (
( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  <->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c ) ) )
106103, 104, 105syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  <->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c ) ) )
107 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  ->  (
a `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 d ) )
108 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  ->  (
b `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 d ) )
109107, 108eqeqan12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( a `  d
)  =  ( b `
 d )  <->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 d ) ) )
110109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )  <->  ( c  e.  d  ->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 d ) ) ) )
111110ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  ( A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  d
) ) ) )
112106, 111anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) )  <-> 
( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
113112rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  ( E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
114113, 66brabga 4601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  e.  _V  /\  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  e.  _V )  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( `' G  o.  ( y  o.  F ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
11597, 102, 114syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
116 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  x  e.  U )
117 coeq1 4993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  x  ->  (
f  o.  F )  =  ( x  o.  F ) )
118117coeq2d 4998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  x  ->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) )
119 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) )  =  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) )
120118, 119fvmptg 5769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U  /\  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x )  =  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) )
121116, 97, 120syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x )  =  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) )
122 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  U )
123 coeq1 4993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  y  ->  (
f  o.  F )  =  ( y  o.  F ) )
124123coeq2d 4998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  y  ->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) )
125124, 119fvmptg 5769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  U  /\  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )
126122, 102, 125syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )
127121, 126breq12d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  <->  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) {
<. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) ) )
12817ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  G  Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B ) )
129 isocnv 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
)  ->  `' G  Isom  S ,  _E  ( B ,  dom  G ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  `' G  Isom  S ,  _E  ( B ,  dom  G ) )
131 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { x  e.  ( B  ^m  A
)  |  x finSupp  Z }  C_  ( B  ^m  A )
1321, 131eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
133132, 116sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  x  e.  ( B  ^m  A
) )
134 elmapi 7230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  x : A --> B )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  x : A --> B )
1367oif 7740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F : dom  F --> A
137136ffvelrni 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  dom  F  -> 
( F `  c
)  e.  A )
138 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : A --> B  /\  ( F `  c )  e.  A )  -> 
( x `  ( F `  c )
)  e.  B )
139135, 137, 138syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( x `  ( F `  c ) )  e.  B )
140132, 122sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  ( B  ^m  A
) )
141 elmapi 7230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( B  ^m  A )  ->  y : A --> B )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y : A --> B )
143 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y : A --> B  /\  ( F `  c )  e.  A )  -> 
( y `  ( F `  c )
)  e.  B )
144142, 137, 143syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( y `  ( F `  c ) )  e.  B )
145 isorel 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' G  Isom  S ,  _E  ( B ,  dom  G )  /\  ( ( x `  ( F `
 c ) )  e.  B  /\  (
y `  ( F `  c ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c
) ) )  _E  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) ) )
146130, 139, 144, 145syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x `
 ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c )
) )  _E  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) ) ) )
147 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) )  e.  _V
148147epelc 4630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G `  ( x `
 ( F `  c ) ) )  _E  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) )  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c
) ) )  e.  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) )
149146, 148syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x `
 ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c )
) )  e.  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) ) ) )
150135adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  x : A --> B )
151 fco 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : A --> B  /\  F : dom  F --> A )  ->  ( x  o.  F ) : dom  F --> B )
152150, 136, 151sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( x  o.  F ) : dom  F --> B )
153 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  o.  F
) : dom  F --> B  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  c
) ) )
154152, 153sylancom 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  c
) ) )
155 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  c  e.  dom  F )
156 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( (
x  o.  F ) `
 c )  =  ( x `  ( F `  c )
) )
157136, 155, 156sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x  o.  F ) `  c )  =  ( x `  ( F `
 c ) ) )
158157fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  c
) )  =  ( `' G `  ( x `
 ( F `  c ) ) ) )
159154, 158eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( x `  ( F `  c )
) ) )
160142adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  y : A --> B )
161 fco 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : A --> B  /\  F : dom  F --> A )  ->  ( y  o.  F ) : dom  F --> B )
162160, 136, 161sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( y  o.  F ) : dom  F --> B )
163 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  o.  F
) : dom  F --> B  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  c )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  c
) ) )
164162, 163sylancom 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  c
) ) )
165 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( (
y  o.  F ) `
 c )  =  ( y `  ( F `  c )
) )
166136, 155, 165sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( y  o.  F ) `  c )  =  ( y `  ( F `
 c ) ) )
167166fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  c
) )  =  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) ) )
168164, 167eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) )
169159, 168eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c )  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c
) ) )  e.  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) ) )
170149, 169bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x `
 ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  <->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
) ) )
17187raleqdv 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( A. w  e.  ran  F ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
172 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
( F `  c
) R w  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
173 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
x `  w )  =  ( x `  ( F `  d ) ) )
174 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( F `  d ) ) )
175173, 174eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
( x `  w
)  =  ( y `
 w )  <->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) )
176172, 175imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( ( F `
 c ) R ( F `  d
)  ->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) ) )
177176ralrn 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( A. w  e. 
ran  F ( ( F `  c ) R w  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  (
x `  ( F `  d ) )  =  ( y `  ( F `  d )
) ) ) )
17874, 75, 1773syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( A. w  e.  ran  F ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  ( x `  ( F `  d ) )  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) ) )
179171, 178bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  ( x `  ( F `  d ) )  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) ) )
180179adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  (
x `  ( F `  d ) )  =  ( y `  ( F `  d )
) ) ) )
181 epel 4631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  _E  d  <->  c  e.  d )
1829ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
183 isorel 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  ( c  _E  d  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
184182, 183sylancom 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
c  _E  d  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
185181, 184syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
c  e.  d  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
186152adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
x  o.  F ) : dom  F --> B )
187 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  d  e.  dom  F )
188 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  o.  F
) : dom  F --> B  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  d )  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) ) )
189186, 187, 188syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `
 d ) ) )
190162adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
y  o.  F ) : dom  F --> B )
191 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  o.  F
) : dom  F --> B  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  d
) ) )
192190, 187, 191syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  d
)  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) )
193189, 192eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d )  <-> 
( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) ) )
19430ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> B )
195 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' G : B -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : B -1-1-> dom  G )
196194, 19, 1953syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  `' G : B -1-1-> dom  G
)
197186, 187ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( x  o.  F
) `  d )  e.  B )
198190, 187ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( y  o.  F
) `  d )  e.  B )
199 f1fveq 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' G : B -1-1-> dom  G  /\  ( ( ( x  o.  F ) `
 d )  e.  B  /\  ( ( y  o.  F ) `
 d )  e.  B ) )  -> 
( ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) )  <-> 
( ( x  o.  F ) `  d
)  =  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) )
200196, 197, 198, 199syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) )  <-> 
( ( x  o.  F ) `  d
)  =  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) )
201 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( (
x  o.  F ) `
 d )  =  ( x `  ( F `  d )
) )
202136, 187, 201sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( x  o.  F
) `  d )  =  ( x `  ( F `  d ) ) )
203 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( (
y  o.  F ) `
 d )  =  ( y `  ( F `  d )
) )
204136, 187, 203sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( y  o.  F
) `  d )  =  ( y `  ( F `  d ) ) )
205202, 204eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( ( x  o.  F ) `  d
)  =  ( ( y  o.  F ) `
 d )  <->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) )
206193, 200, 2053bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d )  <-> 
( x `  ( F `  d )
)  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) )
207185, 206imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( c  e.  d  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  d
) )  <->  ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  (
x `  ( F `  d ) )  =  ( y `  ( F `  d )
) ) ) )
208207anassrs 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( (
c  e.  d  -> 
( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) )  <->  ( ( F `
 c ) R ( F `  d
)  ->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) ) )
209208ralbidva 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  ( x `  ( F `  d ) )  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) ) )
210180, 209bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) )  <->  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) )
211170, 210anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( ( x `  ( F `
 c ) ) S ( y `  ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  ( (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  c
)  e.  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
212211rexbidva 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c
) R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
213115, 127, 2123bitr4rd 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c
) R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) ) )
21484, 88, 2133bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) ) )
215214ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) ) ) )
216215pm5.32rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  <->  ( (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) ) )
217216opabbidv 4352 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( E. z  e.  A  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) } )
218 wemapwe.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
219 df-xp 4842 . . . . . . . . 9  |-  ( U  X.  U )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) }
220218, 219ineq12i 3547 . . . . . . . 8  |-  ( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )
221 inopab 4966 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) }
222220, 221eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( E. z  e.  A  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) }
223219ineq2i 3546 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )
224 inopab 4966 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) }
225223, 224eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  ( U  X.  U ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) }
226217, 222, 2253eqtr4g 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) ) )
227 weeq1 4704 . . . . . 6  |-  ( ( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  ->  (
( T  i^i  ( U  X.  U ) )  We  U  <->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  ( U  X.  U ) )  We  U ) )
228226, 227syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( T  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
) )
22973, 228mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( T  i^i  ( U  X.  U ) )  We  U )
230 weinxp 4902 . . . 4  |-  ( T  We  U  <->  ( T  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
)
231229, 230sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  T  We  U )
232231ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  T  We  U ) )
233 we0 4711 . . 3  |-  T  We  (/)
234 elmapex 7229 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
235234con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  -.  x  e.  ( B  ^m  A ) )
236235pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  -.  x finSupp  Z ) )
237236ralrimiv 2796 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
238 rabeq0 3656 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/)  <->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
239237, 238sylibr 212 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/) )
2401, 239syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
241 weeq2 4705 . . . 4  |-  ( U  =  (/)  ->  ( T  We  U  <->  T  We  (/) ) )
242240, 241syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( T  We  U  <->  T  We  (/) ) )
243233, 242mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  T  We  U )
244232, 243pm2.61d1 159 1  |-  ( ph  ->  T  We  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   {copab 4346    e. cmpt 4347    _E cep 4626    We wwe 4674   Ord word 4714   Oncon0 4715    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415    Isom wiso 5416  (class class class)co 6090    ^o coe 6915    ^m cmap 7210   finSupp cfsupp 7616  OrdIsocoi 7719   CNF ccnf 7863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-seqom 6899  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-oexp 6922  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-cnf 7864
This theorem is referenced by:  ltbwe  17530
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