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Theorem wemapsolem 8062
Description: Lemma for wemapso 8063. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapsolem.1  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
wemapsolem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemapsolem.3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemapsolem.4  |-  ( ph  ->  S  Or  B )
wemapsolem.5  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \ 
b ) A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
Assertion
Ref Expression
wemapsolem  |-  ( ph  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, x, B    T, a, b, c, d    U, a, b, c, d   
w, a, y, z, b, c, x, A, d    R, a, b, c, d, w, x, y, z    S, a, b, c, d, w, x, y, z    ph, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    B( y,
z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemapsolem
StepHypRef Expression
1 wemapsolem.1 . . 3  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
2 wemapsolem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 wemapsolem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
4 wemapsolem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Or  B )
5 sopo 4771 . . . . 5  |-  ( S  Or  B  ->  S  Po  B )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
7 wemapso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
87wemappo 8061 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  Or  A  /\  S  Po  B )  ->  T  Po  ( B  ^m  A ) )
92, 3, 6, 8syl3anc 1267 . . 3  |-  ( ph  ->  T  Po  ( B  ^m  A ) )
10 poss 4756 . . 3  |-  ( U 
C_  ( B  ^m  A )  ->  ( T  Po  ( B  ^m  A )  ->  T  Po  U ) )
111, 9, 10mpsyl 65 . 2  |-  ( ph  ->  T  Po  U )
12 df-ne 2623 . . . . 5  |-  ( a  =/=  b  <->  -.  a  =  b )
13 wemapsolem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \ 
b ) A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
14 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  e.  U )
151, 14sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  e.  ( B  ^m  A
) )
16 elmapi 7490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a : A --> B )
18 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  Fn  A )
20 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  e.  U )
211, 20sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  e.  ( B  ^m  A
) )
22 elmapi 7490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b : A --> B )
24 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  Fn  A )
26 fndmdif 5984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
x  e.  A  | 
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x ) } )
2719, 25, 26syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { x  e.  A  |  (
a `  x )  =/=  ( b `  x
) } )
2827eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
c  e.  dom  (
a  \  b )  <->  c  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) } ) )
29 nesym 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  x )  =/=  ( b `  x )  <->  -.  (
b `  x )  =  ( a `  x ) )
30 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  c  ->  (
b `  x )  =  ( b `  c ) )
31 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  c  ->  (
a `  x )  =  ( a `  c ) )
3230, 31eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  c  ->  (
( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  ( b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3332notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  c  ->  ( -.  ( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3429, 33syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  c  ->  (
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x )  <->  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3534elrab 3195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) }  <->  ( c  e.  A  /\  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3628, 35syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
c  e.  dom  (
a  \  b )  <->  ( c  e.  A  /\  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) ) ) )
3727eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
d  e.  dom  (
a  \  b )  <->  d  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) } ) )
38 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  d  ->  (
b `  x )  =  ( b `  d ) )
39 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  d  ->  (
a `  x )  =  ( a `  d ) )
4038, 39eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  d  ->  (
( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4140notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  d  ->  ( -.  ( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4229, 41syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  d  ->  (
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x )  <->  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4342elrab 3195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) }  <->  ( d  e.  A  /\  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4437, 43syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
d  e.  dom  (
a  \  b )  <->  ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
4544imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( d  e.  dom  ( a  \  b
)  ->  -.  d R c )  <->  ( (
d  e.  A  /\  -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  ->  -.  d R
c ) ) )
46 impexp 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d )  =  ( a `  d ) )  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d )  ->  -.  d R c ) ) )
47 con34b 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <-> 
( -.  ( b `
 d )  =  ( a `  d
)  ->  -.  d R c ) )
4847imbi2i 314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  A  -> 
( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <->  ( d  e.  A  ->  ( -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d )  ->  -.  d R c ) ) )
4946, 48bitr4i 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d )  =  ( a `  d ) )  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
5045, 49syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( d  e.  dom  ( a  \  b
)  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
5150ralbidv2 2822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( A. d  e.  dom  ( a  \  b
)  -.  d R c  <->  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
5236, 51anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( c  e.  dom  ( a  \  b
)  /\  A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )  <->  ( (
c  e.  A  /\  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
53 anass 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( c  e.  A  /\  -.  ( b `  c )  =  ( a `  c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <-> 
( c  e.  A  /\  ( -.  ( b `
 c )  =  ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
5452, 53syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( c  e.  dom  ( a  \  b
)  /\  A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )  <->  ( c  e.  A  /\  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) ) ) )
5554rexbidv2 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c  <->  E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) ) )
5613, 55mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
574ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  S  Or  B )
5823ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( b `  c
)  e.  B )
5917ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( a `  c
)  e.  B )
60 sotrieq 4781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( (
b `  c )  =  ( a `  c )  <->  -.  (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) ) ) )
6160con2bid 331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  <->  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) ) )
6261biimprd 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  -> 
( ( b `  c ) S ( a `  c )  \/  ( a `  c ) S ( b `  c ) ) ) )
6357, 58, 59, 62syl12anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( -.  ( b `
 c )  =  ( a `  c
)  ->  ( (
b `  c ) S ( a `  c )  \/  (
a `  c ) S ( b `  c ) ) ) )
6463anim1d 567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( -.  (
b `  c )  =  ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  ->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
6564reximdva 2861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c )  =  ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  ->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
6656, 65mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
67 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
68 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
697wemaplem1 8058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  ( b T a  <->  E. c  e.  A  ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
7067, 68, 69mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( b T a  <->  E. c  e.  A  ( (
b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
717wemaplem1 8058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  ->  ( a T b  <->  E. c  e.  A  ( ( a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
7268, 67, 71mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( a T b  <->  E. c  e.  A  ( (
a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )
7370, 72orbi12i 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <-> 
( E. c  e.  A  ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  E. c  e.  A  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
74 r19.43 2945 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  ( E. c  e.  A  (
( b `  c
) S ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  \/  E. c  e.  A  ( (
a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) ) )
75 andir 878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  \/  ( a `  c ) S ( b `  c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <-> 
( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
76 eqcom 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  d )  =  ( a `  d )  <->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )
7776imbi2i 314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <-> 
( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) )
7877ralbii 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <->  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) )
7978anbi2i 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  <->  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) )
8079orbi2i 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )  <->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  \/  ( ( a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) ) )
8175, 80bitr2i 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
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 d ) ) ) )  <->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
8281rexbii 2888 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
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 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
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 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
8373, 74, 823bitr2i 277 . . . . . . 7  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <->  E. c  e.  A  ( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  \/  ( a `
 c ) S ( b `  c
) )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
8466, 83sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
b T a  \/  a T b ) )
8584expr 619 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  =/=  b  ->  ( b T a  \/  a T b ) ) )
8612, 85syl5bir 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( -.  a  =  b  ->  ( b T a  \/  a T b ) ) )
8786orrd 380 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) ) )
88 3orrot 990 . . . 4  |-  ( ( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a )  <-> 
( a  =  b  \/  b T a  \/  a T b ) )
89 3orass 987 . . . 4  |-  ( ( a  =  b  \/  b T a  \/  a T b )  <-> 
( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) ) )
9088, 89bitr2i 254 . . 3  |-  ( ( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) )  <->  ( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a ) )
9187, 90sylib 200 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a ) )
9211, 91issod 4784 1  |-  ( ph  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 983    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   class class class wbr 4401   {copab 4459    Po wpo 4752    Or wor 4753   dom cdm 4833    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-map 7471
This theorem is referenced by:  wemapso  8063  wemapso2lem  8064
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