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Theorem wemapso2lem 7755
Description: Lemma for wemapso2 7756. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    W( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . 3  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
3 ssrab2 3425 . . 3  |-  { x  e.  ( B  ^m  A
)  |  x finSupp  Z }  C_  ( B  ^m  A )
42, 3eqsstri 3374 . 2  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
5 elex 2971 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
653ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  A  e.  _V )
76adantr 462 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  A  e.  _V )
8 simpl2 985 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  R  Or  A )
9 simpl3 986 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  S  Or  B )
10 simprll 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  U )
11 breq1 4283 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x finSupp  Z  <->  a finSupp  Z ) )
1211, 2elrab2 3108 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  <->  ( a  e.  ( B  ^m  A
)  /\  a finSupp  Z ) )
1312simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U  ->  a finSupp  Z )
1410, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a finSupp  Z )
15 simprlr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  U )
16 breq1 4283 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x finSupp  Z  <->  b finSupp  Z ) )
1716, 2elrab2 3108 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  U  <->  ( b  e.  ( B  ^m  A
)  /\  b finSupp  Z ) )
1817simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U  ->  b finSupp  Z )
1915, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b finSupp  Z )
2014, 19fsuppunfi 7628 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin )
214, 10sseldi 3342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  ( B  ^m  A ) )
22 elmapi 7222 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a : A --> B )
24 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  Fn  A )
264, 15sseldi 3342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  ( B  ^m  A ) )
27 elmapi 7222 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b : A --> B )
29 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  Fn  A )
31 fndmdif 5795 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } )
3225, 30, 31syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  ( b `  c ) } )
33 eqtr3 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a `  c
)  =  Z  /\  ( b `  c
)  =  Z )  ->  ( a `  c )  =  ( b `  c ) )
3433necon3ai 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
35 neorian 2689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z )  <->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
3634, 35sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  (
( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) )
37 elun 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) ) )
38 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a `
 c )  e. 
_V
39 eldifsn 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
a `  c )  e.  _V  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z ) )
4038, 39mpbiran 902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
)
4140bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
4342anbi2d 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
4425adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  a  Fn  A )
457adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A  e.  _V )
4645adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  _V )
47 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  Z  e.  W )
4847adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  Z  e.  W )
4948adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  Z  e.  W )
50 elsuppfn 6687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  Fn  A  /\  A  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  (
c  e.  ( a supp 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
5144, 46, 49, 50syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
52 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
5352biantrurd 505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5443, 51, 533bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
5554, 40syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
) )
56 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b `
 c )  e. 
_V
57 eldifsn 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
b `  c )  e.  _V  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z ) )
5856, 57mpbiran 902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
)
5958bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
6160anbi2d 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6230adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  b  Fn  A )
63 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A  e.  V )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  V )
65 elsuppfn 6687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  Fn  A  /\  A  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6662, 64, 49, 65syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6752biantrurd 505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6861, 66, 673bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
6968, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
) )
7055, 69orbi12d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) )  <-> 
( ( a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) ) )
7137, 70syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  <->  ( (
a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `
 c )  =/= 
Z ) ) )
7236, 71syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
7372ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
74 rabss 3417 . . . . . 6  |-  ( { c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } 
C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  A. c  e.  A  ( (
a `  c )  =/=  ( b `  c
)  ->  c  e.  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) ) )
7573, 74sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  (
b `  c ) }  C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
7632, 75eqsstrd 3378 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  C_  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
77 ssfi 7521 . . . 4  |-  ( ( ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin  /\  dom  ( a 
\  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  ->  dom  ( a  \  b )  e. 
Fin )
7820, 76, 77syl2anc 654 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  e.  Fin )
79 suppssdm 6692 . . . . . . . 8  |-  ( a supp 
Z )  C_  dom  a
80 fdm 5551 . . . . . . . . 9  |-  ( a : A --> B  ->  dom  a  =  A
)
8123, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  a  =  A
)
8279, 81syl5sseq 3392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( a supp  Z ) 
C_  A )
83 suppssdm 6692 . . . . . . . 8  |-  ( b supp 
Z )  C_  dom  b
84 fdm 5551 . . . . . . . . 9  |-  ( b : A --> B  ->  dom  b  =  A
)
8528, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  b  =  A
)
8683, 85syl5sseq 3392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( b supp  Z ) 
C_  A )
8782, 86unssd 3520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  C_  A )
888adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  A )
89 soss 4646 . . . . . 6  |-  ( ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
9087, 88, 89sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
91 wofi 7549 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  /\  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  e.  Fin )  ->  R  We  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) )
9290, 20, 91syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  We  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
93 wefr 4697 . . . 4  |-  ( R  We  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
9492, 93syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
95 simprr 749 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  =/=  b )
96 fndmdifeq0 5797 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  ( dom  ( a 
\  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9725, 30, 96syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9897necon3bid 2633 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =/=  (/) 
<->  a  =/=  b ) )
9995, 98mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) )
100 fri 4669 . . 3  |-  ( ( ( dom  ( a 
\  b )  e. 
Fin  /\  R  Fr  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  /\  ( dom  (
a  \  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  /\  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
10178, 94, 76, 99, 100syl22anc 1212 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
1021, 4, 7, 8, 9, 101wemapsolem 7752 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   class class class wbr 4280   {copab 4337    Or wor 4627    Fr wfr 4663    We wwe 4665   dom cdm 4827    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supp csupp 6679    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-fin 7302  df-fsupp 7609
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