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Theorem wemapso2lem 7770
Description: Lemma for wemapso2 7771. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    W( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . 3  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
3 ssrab2 3440 . . 3  |-  { x  e.  ( B  ^m  A
)  |  x finSupp  Z }  C_  ( B  ^m  A )
42, 3eqsstri 3389 . 2  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
5 elex 2984 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
653ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  A  e.  _V )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  A  e.  _V )
8 simpl2 992 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  R  Or  A )
9 simpl3 993 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  S  Or  B )
10 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  U )
11 breq1 4298 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x finSupp  Z  <->  a finSupp  Z ) )
1211, 2elrab2 3122 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  <->  ( a  e.  ( B  ^m  A
)  /\  a finSupp  Z ) )
1312simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U  ->  a finSupp  Z )
1410, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a finSupp  Z )
15 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  U )
16 breq1 4298 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x finSupp  Z  <->  b finSupp  Z ) )
1716, 2elrab2 3122 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  U  <->  ( b  e.  ( B  ^m  A
)  /\  b finSupp  Z ) )
1817simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U  ->  b finSupp  Z )
1915, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b finSupp  Z )
2014, 19fsuppunfi 7643 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin )
214, 10sseldi 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  ( B  ^m  A ) )
22 elmapi 7237 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a : A --> B )
24 ffn 5562 . . . . . . 7  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  Fn  A )
264, 15sseldi 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  ( B  ^m  A ) )
27 elmapi 7237 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b : A --> B )
29 ffn 5562 . . . . . . 7  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  Fn  A )
31 fndmdif 5810 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } )
3225, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  ( b `  c ) } )
33 eqtr3 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a `  c
)  =  Z  /\  ( b `  c
)  =  Z )  ->  ( a `  c )  =  ( b `  c ) )
3433necon3ai 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
35 neorian 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z )  <->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
3634, 35sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  (
( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) )
37 elun 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) ) )
38 fvex 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a `
 c )  e. 
_V
39 eldifsn 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
a `  c )  e.  _V  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z ) )
4038, 39mpbiran 909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
)
4140bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
4342anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
4425adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  a  Fn  A )
457adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A  e.  _V )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  _V )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  Z  e.  W )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  Z  e.  W )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  Z  e.  W )
50 elsuppfn 6701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  Fn  A  /\  A  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  (
c  e.  ( a supp 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
5144, 46, 49, 50syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
52 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
5352biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5443, 51, 533bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
5554, 40syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
) )
56 fvex 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b `
 c )  e. 
_V
57 eldifsn 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
b `  c )  e.  _V  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z ) )
5856, 57mpbiran 909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
)
5958bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
6160anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6230adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  b  Fn  A )
63 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A  e.  V )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  V )
65 elsuppfn 6701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  Fn  A  /\  A  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6662, 64, 49, 65syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6752biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6861, 66, 673bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
6968, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
) )
7055, 69orbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) )  <-> 
( ( a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) ) )
7137, 70syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  <->  ( (
a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `
 c )  =/= 
Z ) ) )
7236, 71syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
7372ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
74 rabss 3432 . . . . . 6  |-  ( { c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } 
C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  A. c  e.  A  ( (
a `  c )  =/=  ( b `  c
)  ->  c  e.  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) ) )
7573, 74sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  (
b `  c ) }  C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
7632, 75eqsstrd 3393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  C_  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
77 ssfi 7536 . . . 4  |-  ( ( ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin  /\  dom  ( a 
\  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  ->  dom  ( a  \  b )  e. 
Fin )
7820, 76, 77syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  e.  Fin )
79 suppssdm 6706 . . . . . . . 8  |-  ( a supp 
Z )  C_  dom  a
80 fdm 5566 . . . . . . . . 9  |-  ( a : A --> B  ->  dom  a  =  A
)
8123, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  a  =  A
)
8279, 81syl5sseq 3407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( a supp  Z ) 
C_  A )
83 suppssdm 6706 . . . . . . . 8  |-  ( b supp 
Z )  C_  dom  b
84 fdm 5566 . . . . . . . . 9  |-  ( b : A --> B  ->  dom  b  =  A
)
8528, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  b  =  A
)
8683, 85syl5sseq 3407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( b supp  Z ) 
C_  A )
8782, 86unssd 3535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  C_  A )
888adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  A )
89 soss 4662 . . . . . 6  |-  ( ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
9087, 88, 89sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
91 wofi 7564 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  /\  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  e.  Fin )  ->  R  We  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) )
9290, 20, 91syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  We  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
93 wefr 4713 . . . 4  |-  ( R  We  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
9492, 93syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
95 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  =/=  b )
96 fndmdifeq0 5812 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  ( dom  ( a 
\  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9725, 30, 96syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9897necon3bid 2646 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =/=  (/) 
<->  a  =/=  b ) )
9995, 98mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) )
100 fri 4685 . . 3  |-  ( ( ( dom  ( a 
\  b )  e. 
Fin  /\  R  Fr  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  /\  ( dom  (
a  \  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  /\  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
10178, 94, 76, 99, 100syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
1021, 4, 7, 8, 9, 101wemapsolem 7767 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   {crab 2722   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    u. cun 3329    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880   class class class wbr 4295   {copab 4352    Or wor 4643    Fr wfr 4679    We wwe 4681   dom cdm 4843    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   supp csupp 6693    ^m cmap 7217   Fincfn 7313   finSupp cfsupp 7623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-fin 7317  df-fsupp 7624
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