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Theorem wemapso2lem 8092
Description: Lemma for wemapso2 8093. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    W( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . 3  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
3 ssrab2 3525 . . 3  |-  { x  e.  ( B  ^m  A
)  |  x finSupp  Z }  C_  ( B  ^m  A )
42, 3eqsstri 3473 . 2  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
5 elex 3065 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
653ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  A  e.  _V )
76adantr 471 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  A  e.  _V )
8 simpl2 1018 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  R  Or  A )
9 simpl3 1019 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  S  Or  B )
10 simprll 777 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  U )
11 breq1 4418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x finSupp  Z  <->  a finSupp  Z ) )
1211, 2elrab2 3209 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  <->  ( a  e.  ( B  ^m  A
)  /\  a finSupp  Z ) )
1312simprbi 470 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U  ->  a finSupp  Z )
1410, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a finSupp  Z )
15 simprlr 778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  U )
16 breq1 4418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x finSupp  Z  <->  b finSupp  Z ) )
1716, 2elrab2 3209 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  U  <->  ( b  e.  ( B  ^m  A
)  /\  b finSupp  Z ) )
1817simprbi 470 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U  ->  b finSupp  Z )
1915, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b finSupp  Z )
2014, 19fsuppunfi 7928 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin )
214, 10sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  ( B  ^m  A ) )
22 elmapi 7518 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
2321, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a : A --> B )
24 ffn 5750 . . . . . . 7  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
2523, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  Fn  A )
264, 15sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  ( B  ^m  A ) )
27 elmapi 7518 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b : A --> B )
29 ffn 5750 . . . . . . 7  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
3028, 29syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  Fn  A )
31 fndmdif 6008 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } )
3225, 30, 31syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  ( b `  c ) } )
33 eqtr3 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a `  c
)  =  Z  /\  ( b `  c
)  =  Z )  ->  ( a `  c )  =  ( b `  c ) )
3433necon3ai 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
35 neorian 2729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z )  <->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
3634, 35sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  (
( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) )
37 elun 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) ) )
38 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a `
 c )  e. 
_V
39 eldifsn 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
a `  c )  e.  _V  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z ) )
4038, 39mpbiran 934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
)
4140bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
4342anbi2d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
4425adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  a  Fn  A )
457ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  _V )
46 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  Z  e.  W )
4746ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  Z  e.  W )
48 elsuppfn 6948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  Fn  A  /\  A  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  (
c  e.  ( a supp 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
50 simpr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
5150biantrurd 515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5243, 49, 513bitr4d 293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
5352, 40syl6bb 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
) )
54 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b `
 c )  e. 
_V
55 eldifsn 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
b `  c )  e.  _V  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z ) )
5654, 55mpbiran 934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
)
5756bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
5958anbi2d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6030adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  b  Fn  A )
61 simpll1 1053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A  e.  V )
6261adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  V )
63 elsuppfn 6948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  Fn  A  /\  A  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6460, 62, 47, 63syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6550biantrurd 515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6659, 64, 653bitr4d 293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
6766, 56syl6bb 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
) )
6853, 67orbi12d 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) )  <-> 
( ( a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) ) )
6937, 68syl5bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  <->  ( (
a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `
 c )  =/= 
Z ) ) )
7036, 69syl5ibr 229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
7170ralrimiva 2813 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
72 rabss 3517 . . . . . 6  |-  ( { c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } 
C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  A. c  e.  A  ( (
a `  c )  =/=  ( b `  c
)  ->  c  e.  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) ) )
7371, 72sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  (
b `  c ) }  C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
7432, 73eqsstrd 3477 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  C_  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
75 ssfi 7817 . . . 4  |-  ( ( ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin  /\  dom  ( a 
\  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  ->  dom  ( a  \  b )  e. 
Fin )
7620, 74, 75syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  e.  Fin )
77 suppssdm 6953 . . . . . . . 8  |-  ( a supp 
Z )  C_  dom  a
78 fdm 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( a : A --> B  ->  dom  a  =  A
)
7923, 78syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  a  =  A
)
8077, 79syl5sseq 3491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( a supp  Z ) 
C_  A )
81 suppssdm 6953 . . . . . . . 8  |-  ( b supp 
Z )  C_  dom  b
82 fdm 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( b : A --> B  ->  dom  b  =  A
)
8328, 82syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  b  =  A
)
8481, 83syl5sseq 3491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( b supp  Z ) 
C_  A )
8580, 84unssd 3621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  C_  A )
868adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  A )
87 soss 4791 . . . . . 6  |-  ( ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
8885, 86, 87sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
89 wofi 7845 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  /\  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  e.  Fin )  ->  R  We  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) )
9088, 20, 89syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  We  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
91 wefr 4842 . . . 4  |-  ( R  We  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
9290, 91syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
93 simprr 771 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  =/=  b )
94 fndmdifeq0 6010 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  ( dom  ( a 
\  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9525, 30, 94syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9695necon3bid 2679 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =/=  (/) 
<->  a  =/=  b ) )
9793, 96mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) )
98 fri 4814 . . 3  |-  ( ( ( dom  ( a 
\  b )  e. 
Fin  /\  R  Fr  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  /\  ( dom  (
a  \  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  /\  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
9976, 92, 74, 97, 98syl22anc 1277 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
1001, 4, 7, 8, 9, 99wemapsolem 8090 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    u. cun 3413    C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   class class class wbr 4415   {copab 4473    Or wor 4772    Fr wfr 4808    We wwe 4810   dom cdm 4852    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   supp csupp 6940    ^m cmap 7497   Fincfn 7594   finSupp cfsupp 7908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-fin 7598  df-fsupp 7909
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