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Theorem wemapso2lem 8071
Description: Lemma for wemapso2 8072. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    W( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . 3  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
3 ssrab2 3547 . . 3  |-  { x  e.  ( B  ^m  A
)  |  x finSupp  Z }  C_  ( B  ^m  A )
42, 3eqsstri 3495 . 2  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
5 elex 3091 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
653ad2ant1 1027 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  A  e.  _V )
76adantr 467 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  A  e.  _V )
8 simpl2 1010 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  R  Or  A )
9 simpl3 1011 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  S  Or  B )
10 simprll 771 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  U )
11 breq1 4424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x finSupp  Z  <->  a finSupp  Z ) )
1211, 2elrab2 3232 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  <->  ( a  e.  ( B  ^m  A
)  /\  a finSupp  Z ) )
1312simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U  ->  a finSupp  Z )
1410, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a finSupp  Z )
15 simprlr 772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  U )
16 breq1 4424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x finSupp  Z  <->  b finSupp  Z ) )
1716, 2elrab2 3232 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  U  <->  ( b  e.  ( B  ^m  A
)  /\  b finSupp  Z ) )
1817simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U  ->  b finSupp  Z )
1915, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b finSupp  Z )
2014, 19fsuppunfi 7907 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin )
214, 10sseldi 3463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  ( B  ^m  A ) )
22 elmapi 7499 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
2321, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a : A --> B )
24 ffn 5744 . . . . . . 7  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
2523, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  Fn  A )
264, 15sseldi 3463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  ( B  ^m  A ) )
27 elmapi 7499 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b : A --> B )
29 ffn 5744 . . . . . . 7  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
3028, 29syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  Fn  A )
31 fndmdif 5999 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } )
3225, 30, 31syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  ( b `  c ) } )
33 eqtr3 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a `  c
)  =  Z  /\  ( b `  c
)  =  Z )  ->  ( a `  c )  =  ( b `  c ) )
3433necon3ai 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
35 neorian 2752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z )  <->  -.  ( ( a `  c )  =  Z  /\  ( b `  c )  =  Z ) )
3634, 35sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( a `  c )  =/=  ( b `  c )  ->  (
( a `  c
)  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) )
37 elun 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) ) )
38 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a `
 c )  e. 
_V
39 eldifsn 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
a `  c )  e.  _V  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z ) )
4038, 39mpbiran 927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
)
4140bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  Z  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
4342anbi2d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( a `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
4425adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  a  Fn  A )
457ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  _V )
46 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  Z  e.  W )
4746ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  Z  e.  W )
48 elsuppfn 6931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  Fn  A  /\  A  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  (
c  e.  ( a supp 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  =/=  Z ) ) )
50 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
5150biantrurd 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5243, 49, 513bitr4d 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
5352, 40syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( a supp  Z )  <->  ( a `  c )  =/=  Z
) )
54 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b `
 c )  e. 
_V
55 eldifsn 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( (
b `  c )  e.  _V  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z ) )
5654, 55mpbiran 927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
)
5756bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  =/=  Z  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
5958anbi2d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( b `
 c )  =/= 
Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6030adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  b  Fn  A )
61 simpll1 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A  e.  V )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  A  e.  V )
63 elsuppfn 6931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  Fn  A  /\  A  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6460, 62, 47, 63syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  =/=  Z ) ) )
6550biantrurd 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  ( c  e.  A  /\  (
b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
6659, 64, 653bitr4d 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
6766, 56syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( b supp  Z )  <->  ( b `  c )  =/=  Z
) )
6853, 67orbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( c  e.  ( a supp  Z )  \/  c  e.  ( b supp  Z ) )  <-> 
( ( a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `  c
)  =/=  Z ) ) )
6937, 68syl5bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  <->  ( (
a `  c )  =/=  Z  \/  ( b `
 c )  =/= 
Z ) ) )
7036, 69syl5ibr 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
7170ralrimiva 2840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( a `  c )  =/=  (
b `  c )  ->  c  e.  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
72 rabss 3539 . . . . . 6  |-  ( { c  e.  A  | 
( a `  c
)  =/=  ( b `
 c ) } 
C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  <->  A. c  e.  A  ( (
a `  c )  =/=  ( b `  c
)  ->  c  e.  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) ) )
7371, 72sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  { c  e.  A  |  ( a `  c )  =/=  (
b `  c ) }  C_  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
7432, 73eqsstrd 3499 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  C_  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
75 ssfi 7796 . . . 4  |-  ( ( ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  e. 
Fin  /\  dom  ( a 
\  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  ->  dom  ( a  \  b )  e. 
Fin )
7620, 74, 75syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  e.  Fin )
77 suppssdm 6936 . . . . . . . 8  |-  ( a supp 
Z )  C_  dom  a
78 fdm 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( a : A --> B  ->  dom  a  =  A
)
7923, 78syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  a  =  A
)
8077, 79syl5sseq 3513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( a supp  Z ) 
C_  A )
81 suppssdm 6936 . . . . . . . 8  |-  ( b supp 
Z )  C_  dom  b
82 fdm 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( b : A --> B  ->  dom  b  =  A
)
8328, 82syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  b  =  A
)
8481, 83syl5sseq 3513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( b supp  Z ) 
C_  A )
8580, 84unssd 3643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  C_  A )
868adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  A )
87 soss 4790 . . . . . 6  |-  ( ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z
) )  C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) ) )
8885, 86, 87sylc 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Or  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
89 wofi 7824 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  /\  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) )  e.  Fin )  ->  R  We  ( ( a supp  Z )  u.  ( b supp  Z ) ) )
9088, 20, 89syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  We  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
91 wefr 4841 . . . 4  |-  ( R  We  ( ( a supp 
Z )  u.  (
b supp  Z ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
9290, 91syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  R  Fr  ( (
a supp  Z )  u.  (
b supp  Z ) ) )
93 simprr 765 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  =/=  b )
94 fndmdifeq0 6001 . . . . . 6  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  ( dom  ( a 
\  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9525, 30, 94syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =  (/) 
<->  a  =  b ) )
9695necon3bid 2683 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( dom  ( a  \  b )  =/=  (/) 
<->  a  =/=  b ) )
9793, 96mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) )
98 fri 4813 . . 3  |-  ( ( ( dom  ( a 
\  b )  e. 
Fin  /\  R  Fr  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) ) )  /\  ( dom  (
a  \  b )  C_  ( ( a supp  Z
)  u.  ( b supp 
Z ) )  /\  dom  ( a  \  b
)  =/=  (/) ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
9976, 92, 74, 97, 98syl22anc 1266 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
1001, 4, 7, 8, 9, 99wemapsolem 8069 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  W )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   class class class wbr 4421   {copab 4479    Or wor 4771    Fr wfr 4807    We wwe 4809   dom cdm 4851    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   supp csupp 6923    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   finSupp cfsupp 7887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-fin 7579  df-fsupp 7888
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