MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Unicode version

Theorem wemapso2 7982
Description: An alternative to having a well-order on  R in wemapso 7979 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . . 4  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
31, 2wemapso2lem 7981 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  _V )  ->  T  Or  U )
43expcom 435 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
5 so0 4823 . . . 4  |-  T  Or  (/)
6 relfsupp 7833 . . . . . . . . . 10  |-  Rel finSupp
76brrelex2i 5031 . . . . . . . . 9  |-  ( x finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
87con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  x finSupp  Z )
98ralrimivw 2858 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
10 rabeq0 3793 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/)  <->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
119, 10sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/) )
122, 11syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  U  =  (/) )
13 soeq2 4810 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
155, 14mpbiri 233 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  T  Or  U )
1615a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
174, 16pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   {copab 4494    Or wor 4789   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   finSupp cfsupp 7831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-fin 7522  df-fsupp 7832
This theorem is referenced by:  oemapso  8104
  Copyright terms: Public domain W3C validator