MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wemapso2 8068
Description: An alternative to having a well-order on  R in wemapso 8066 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . . 4  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
31, 2wemapso2lem 8067 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  _V )  ->  T  Or  U )
43expcom 437 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
5 so0 4788 . . . 4  |-  T  Or  (/)
6 relfsupp 7885 . . . . . . . . . 10  |-  Rel finSupp
76brrelex2i 4876 . . . . . . . . 9  |-  ( x finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
87con3i 141 . . . . . . . 8  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  x finSupp  Z )
98ralrimivw 2803 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
10 rabeq0 3754 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/)  <->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
119, 10sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/) )
122, 11syl5eq 2497 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  U  =  (/) )
13 soeq2 4775 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
155, 14mpbiri 237 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  T  Or  U )
1615a1d 26 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
174, 16pm2.61i 168 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   {copab 4460    Or wor 4754   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   finSupp cfsupp 7883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fsupp 7884
This theorem is referenced by:  oemapso  8187
  Copyright terms: Public domain W3C validator