MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Unicode version

Theorem wemapso2 8071
Description: An alternative to having a well-order on  R in wemapso 8069 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . . 4  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
31, 2wemapso2lem 8070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  _V )  ->  T  Or  U )
43expcom 436 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
5 so0 4804 . . . 4  |-  T  Or  (/)
6 relfsupp 7888 . . . . . . . . . 10  |-  Rel finSupp
76brrelex2i 4892 . . . . . . . . 9  |-  ( x finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
87con3i 140 . . . . . . . 8  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  x finSupp  Z )
98ralrimivw 2840 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
10 rabeq0 3784 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/)  <->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
119, 10sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/) )
122, 11syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  U  =  (/) )
13 soeq2 4791 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
155, 14mpbiri 236 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  T  Or  U )
1615a1d 26 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
174, 16pm2.61i 167 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   {copab 4478    Or wor 4770   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   finSupp cfsupp 7886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-fin 7578  df-fsupp 7887
This theorem is referenced by:  oemapso  8189
  Copyright terms: Public domain W3C validator