MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Unicode version

Theorem wemapso2 7880
Description: An alternative to having a well-order on  R in wemapso 7877 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
Assertion
Ref Expression
wemapso2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, A   
w, R, x, y, z    w, S, x, y, z    x, Z
Allowed substitution hints:    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    V( x, y, z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2 wemapso2.u . . . 4  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
31, 2wemapso2lem 7879 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  /\  Z  e.  _V )  ->  T  Or  U )
43expcom 435 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
5 so0 4783 . . . 4  |-  T  Or  (/)
6 df-fsupp 7733 . . . . . . . . . . 11  |- finSupp  =  { <. r ,  z >.  |  ( Fun  r  /\  ( r supp  z )  e.  Fin ) }
76relopabi 5074 . . . . . . . . . 10  |-  Rel finSupp
87brrelex2i 4989 . . . . . . . . 9  |-  ( x finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
98con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  x finSupp  Z )
109ralrimivw 2831 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
11 rabeq0 3768 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/)  <->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  x finSupp  Z )
1210, 11sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }  =  (/) )
132, 12syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  U  =  (/) )
14 soeq2 4770 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( T  Or  U  <->  T  Or  (/) ) )
165, 15mpbiri 233 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  T  Or  U )
1716a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B
)  ->  T  Or  U ) )
184, 17pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  Or  A  /\  S  Or  B )  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   {copab 4458    Or wor 4749   Fun wfun 5521   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supp csupp 6801    ^m cmap 7325   Fincfn 7421   finSupp cfsupp 7732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-fin 7425  df-fsupp 7733
This theorem is referenced by:  oemapso  8002
  Copyright terms: Public domain W3C validator