Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso Structured version   Unicode version

Theorem wemapso 7988
 Description: Construct lexicographic order on a function space based on a well-ordering of the indexes and a total ordering of the values. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wemapso.t
Assertion
Ref Expression
wemapso
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem wemapso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3127 . 2
2 wemapso.t . . 3
3 ssid 3528 . . 3
4 simp1 996 . . 3
5 weso 4876 . . . 4
653ad2ant2 1018 . . 3
7 simp3 998 . . 3
8 simpl1 999 . . . . 5
9 difss 3636 . . . . . . 7
10 dmss 5208 . . . . . . 7
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6
12 simprll 761 . . . . . . . . 9
13 elmapi 7452 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
15 ffn 5737 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
17 fndm 5686 . . . . . . 7
1816, 17syl 16 . . . . . 6
1911, 18syl5sseq 3557 . . . . 5
208, 19ssexd 4600 . . . 4
21 simpl2 1000 . . . . 5
22 wefr 4875 . . . . 5
2321, 22syl 16 . . . 4
24 simprr 756 . . . . 5
25 simprlr 762 . . . . . . . . 9
26 elmapi 7452 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8
28 ffn 5737 . . . . . . . 8
2927, 28syl 16 . . . . . . 7
30 fndmdifeq0 5994 . . . . . . 7
3116, 29, 30syl2anc 661 . . . . . 6
3231necon3bid 2725 . . . . 5
3324, 32mpbird 232 . . . 4
34 fri 4847 . . . 4
3520, 23, 19, 33, 34syl22anc 1229 . . 3
362, 3, 4, 6, 7, 35wemapsolem 7987 . 2
371, 36syl3an1 1261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  wrex 2818  cvv 3118   cdif 3478   wss 3481  c0 3790   class class class wbr 4453  copab 4510   wor 4805   wfr 4841   wwe 4843   cdm 5005   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434 This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  18019  wepwso  30916
 Copyright terms: Public domain W3C validator