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Theorem wemaplem3 7758
Description: Lemma for wemapso 7761. Transitivity. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemaplem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemaplem2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.r  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemaplem2.s  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
wemaplem3.px  |-  ( ph  ->  P T X )
wemaplem3.xq  |-  ( ph  ->  X T Q )
Assertion
Ref Expression
wemaplem3  |-  ( ph  ->  P T Q )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, X   
w, A, x, y, z    w, P, x, y, z    w, Q, x, y, z    w, R, x, y, z    w, S, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    B( y,
z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemaplem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemaplem3.px . . 3  |-  ( ph  ->  P T X )
2 wemaplem2.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
3 wemaplem2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
4 wemapso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
54wemaplem1 7756 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( B  ^m  A )  /\  X  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( P T X  <->  E. a  e.  A  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )
62, 3, 5syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P T X  <->  E. a  e.  A  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )
71, 6mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) )
8 wemaplem3.xq . . 3  |-  ( ph  ->  X T Q )
9 wemaplem2.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
104wemaplem1 7756 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  A )  /\  Q  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( X T Q  <->  E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
113, 9, 10syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X T Q  <->  E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
128, 11mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
13 wemaplem2.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1413ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
152ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
163ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
179ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
18 wemaplem2.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
1918ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  R  Or  A )
20 wemaplem2.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
2120ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  S  Po  B )
22 simplrl 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
a  e.  A )
23 simp2rl 1052 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) ) )  /\  (
b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )  ->  ( P `  a ) S ( X `  a ) )
24233expa 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
( P `  a
) S ( X `
 a ) )
25 simprr 751 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
2625ad2antlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
27 simprl 750 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
b  e.  A )
28 simprrl 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
29 simprrr 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
304, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 29wemaplem2 7757 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  P T Q )
3130rexlimdvaa 2840 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) ) ) )  -> 
( E. b  e.  A  ( ( X `
 b ) S ( Q `  b
)  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  P T Q ) )
3231rexlimdvaa 2840 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  ( ( P `
 a ) S ( X `  a
)  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )  ->  ( E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )  ->  P T Q ) ) )
337, 12, 32mp2d 45 1  |-  ( ph  ->  P T Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   {copab 4346    Po wpo 4635    Or wor 4636   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212
This theorem is referenced by:  wemappo  7759
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