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Theorem wemaplem3 8009
Description: Lemma for wemapso 8012. Transitivity. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemaplem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemaplem2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.r  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemaplem2.s  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
wemaplem3.px  |-  ( ph  ->  P T X )
wemaplem3.xq  |-  ( ph  ->  X T Q )
Assertion
Ref Expression
wemaplem3  |-  ( ph  ->  P T Q )
Distinct variable groups:    x, B    x, w, y, z, X   
w, A, x, y, z    w, P, x, y, z    w, Q, x, y, z    w, R, x, y, z    w, S, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    B( y,
z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemaplem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemaplem3.px . . 3  |-  ( ph  ->  P T X )
2 wemaplem2.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
3 wemaplem2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
4 wemapso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
54wemaplem1 8007 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( B  ^m  A )  /\  X  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( P T X  <->  E. a  e.  A  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )
62, 3, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P T X  <->  E. a  e.  A  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )
71, 6mpbid 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) )
8 wemaplem3.xq . . 3  |-  ( ph  ->  X T Q )
9 wemaplem2.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
104wemaplem1 8007 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  A )  /\  Q  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( X T Q  <->  E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X T Q  <->  E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
128, 11mpbid 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
13 wemaplem2.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1413ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
152ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
163ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
179ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
18 wemaplem2.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
1918ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  R  Or  A )
20 wemaplem2.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
2120ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  S  Po  B )
22 simplrl 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
a  e.  A )
23 simp2rl 1068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) ) )  /\  (
b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )  ->  ( P `  a ) S ( X `  a ) )
24233expa 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
( P `  a
) S ( X `
 a ) )
25 simprr 760 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
2625ad2antlr 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
27 simprl 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
b  e.  A )
28 simprrl 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  -> 
( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
29 simprrr 769 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
304, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 29wemaplem2 8008 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  ( ( P `  a ) S ( X `  a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) ) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) ) )  ->  P T Q )
3130rexlimdvaa 2899 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) ) ) )  -> 
( E. b  e.  A  ( ( X `
 b ) S ( Q `  b
)  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  P T Q ) )
3231rexlimdvaa 2899 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  ( ( P `
 a ) S ( X `  a
)  /\  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )  ->  ( E. b  e.  A  ( ( X `  b ) S ( Q `  b )  /\  A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )  ->  P T Q ) ) )
337, 12, 32mp2d 45 1  |-  ( ph  ->  P T Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   class class class wbr 4397   {copab 4454    Po wpo 4744    Or wor 4745   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    ^m cmap 7459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-map 7461
This theorem is referenced by:  wemappo  8010
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