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Theorem wemaplem2 8066
Description: Lemma for wemapso 8070. Transitivity. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemaplem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemaplem2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.r  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemaplem2.s  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
wemaplem2.px1  |-  ( ph  ->  a  e.  A )
wemaplem2.px2  |-  ( ph  ->  ( P `  a
) S ( X `
 a ) )
wemaplem2.px3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
wemaplem2.xq1  |-  ( ph  ->  b  e.  A )
wemaplem2.xq2  |-  ( ph  ->  ( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
wemaplem2.xq3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
wemaplem2  |-  ( ph  ->  P T Q )
Distinct variable groups:    a, b,
c, x, B    T, a, b, c    w, a, y, z, X, b, c, x    A, a, b, c, w, x, y, z    P, a, b, c, w, x, y, z    Q, a, b, c, w, x, y, z    R, a, b, c, w, x, y, z    S, a, b, c, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, a, b, c)    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemaplem2
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemaplem2.px1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  A )
2 wemaplem2.xq1 . . . 4  |-  ( ph  ->  b  e.  A )
31, 2ifcld 3953 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A
)
4 wemaplem2.px2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P `  a
) S ( X `
 a ) )
54adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  a ) S ( X `  a ) )
6 wemaplem2.xq3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
7 breq1 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
c R b  <->  a R
b ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( X `  c )  =  ( X `  a ) )
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( Q `  c )  =  ( Q `  a ) )
108, 9eqeq12d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( X `  c
)  =  ( Q `
 c )  <->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
117, 10imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  a  ->  (
( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) ) )
1211rspcva 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  A. c  e.  A  ( c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )  ->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
131, 6, 12syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
1413imp 431 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) )
155, 14breqtrd 4446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) )
16 iftrue 3916 . . . . . . . 8  |-  ( a R b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  a )
1716fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( a R b  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `
 a ) )
1816fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( a R b  ->  ( Q `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `
 a ) )
1917, 18breq12d 4434 . . . . . 6  |-  ( a R b  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) ) )
2019adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) ) )
2115, 20mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
22 wemaplem2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
2322adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  S  Po  B )
24 wemaplem2.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
25 elmapi 7499 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( B  ^m  A )  ->  P : A --> B )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P : A --> B )
2726, 2ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  b
)  e.  B )
28 wemaplem2.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
29 elmapi 7499 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  A )  ->  X : A --> B )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : A --> B )
3130, 2ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  b
)  e.  B )
32 wemaplem2.q . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
33 elmapi 7499 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  ( B  ^m  A )  ->  Q : A --> B )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : A --> B )
3534, 2ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  b
)  e.  B )
3627, 31, 353jca 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )
3736adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  (
( P `  b
)  e.  B  /\  ( X `  b )  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )
38 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( P `  a )  =  ( P `  b ) )
39 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( X `  a )  =  ( X `  b ) )
4038, 39breq12d 4434 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  <->  ( P `  b ) S ( X `  b ) ) )
414, 40syl5ibcom 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  =  b  ->  ( P `  b ) S ( X `  b ) ) )
4241imp 431 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  b ) S ( X `  b ) )
43 wemaplem2.xq2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
4443adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )
45 potr 4784 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )  ->  ( ( ( P `  b ) S ( X `  b )  /\  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )  -> 
( P `  b
) S ( Q `
 b ) ) )
4645imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  Po  B  /\  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )  /\  ( ( P `
 b ) S ( X `  b
)  /\  ( X `  b ) S ( Q `  b ) ) )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
4723, 37, 42, 44, 46syl22anc 1266 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
48 ifeq1 3914 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  if ( a R b ,  b ,  b ) )
49 ifid 3947 . . . . . . . . 9  |-  if ( a R b ,  b ,  b )  =  b
5048, 49syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  b )
5150fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `
 b ) )
5250fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( Q `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `
 b ) )
5351, 52breq12d 4434 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
5453adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
5547, 54mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
56 wemaplem2.px3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
57 breq1 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
c R a  <->  b R
a ) )
58 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( P `  c )  =  ( P `  b ) )
59 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( X `  c )  =  ( X `  b ) )
6058, 59eqeq12d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( P `  c
)  =  ( X `
 c )  <->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
6157, 60imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  <->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) ) )
6261rspcva 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  A  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) )  ->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
632, 56, 62syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
6463imp 431 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) )
6543adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )
6664, 65eqbrtrd 4442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
67 wemaplem2.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
68 sopo 4789 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
70 po2nr 4785 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( b  e.  A  /\  a  e.  A
) )  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )
7169, 2, 1, 70syl12anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )
72 nan 583 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )  <-> 
( ( ph  /\  b R a )  ->  -.  a R b ) )
7371, 72mpbi 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  -.  a R b )
74 iffalse 3919 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a R b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  b )
7574fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( -.  a R b  -> 
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `  b ) )
7674fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( -.  a R b  -> 
( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `  b ) )
7775, 76breq12d 4434 . . . . . 6  |-  ( -.  a R b  -> 
( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
7873, 77syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
7966, 78mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
80 solin 4795 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )
8167, 1, 2, 80syl12anc 1263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )
8221, 55, 79, 81mpjao3dan 1332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
83 r19.26 2956 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  A  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  <-> 
( A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
8456, 6, 83sylanbrc 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
8567, 1, 23jca 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )
86 prth 574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( ( P `  c )  =  ( X `  c )  /\  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
87 eqtr 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  c
)  =  ( X `
 c )  /\  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) )
8886, 87syl6 35 . . . . . 6  |-  ( ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )
8988ralimi 2819 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  A  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( c R a  /\  c R b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
90 simpl1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  R  Or  A )
91 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
92 simpl2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  a  e.  A )
93 simpl3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  b  e.  A )
94 soltmin 5253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( c  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  <-> 
( c R a  /\  c R b ) ) )
9590, 91, 92, 93, 94syl13anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  <-> 
( c R a  /\  c R b ) ) )
9695biimpd 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( c R a  /\  c R b ) ) )
9796imim1d 79 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
( ( c R a  /\  c R b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  -> 
( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
9897ralimdva 2834 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. c  e.  A  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
9985, 89, 98syl2im 40 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  A  ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10084, 99mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
101 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( P `  d
)  =  ( P `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
102 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( Q `  d
)  =  ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
103101, 102breq12d 4434 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( P `  d ) S ( Q `  d )  <-> 
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) ) )
104 breq2 4425 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( c R d  <-> 
c R if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
105104imbi1d 319 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
106105ralbidv 2865 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
107103, 106anbi12d 716 . . . 4  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( P `
 d ) S ( Q `  d
)  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  <-> 
( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
108107rspcev 3183 . . 3  |-  ( ( if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A  /\  ( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )  ->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  (
c R d  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) )
1093, 82, 100, 108syl12anc 1263 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
110 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
111110wemaplem1 8065 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( B  ^m  A )  /\  Q  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( P T Q  <->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
11224, 32, 111syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( P T Q  <->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  P T Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 982    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   ifcif 3910   class class class wbr 4421   {copab 4479    Po wpo 4770    Or wor 4771   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-map 7480
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