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Theorem wemaplem2 7761
Description: Lemma for wemapso 7765. Transitivity. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemaplem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemaplem2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.r  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemaplem2.s  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
wemaplem2.px1  |-  ( ph  ->  a  e.  A )
wemaplem2.px2  |-  ( ph  ->  ( P `  a
) S ( X `
 a ) )
wemaplem2.px3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
wemaplem2.xq1  |-  ( ph  ->  b  e.  A )
wemaplem2.xq2  |-  ( ph  ->  ( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
wemaplem2.xq3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
wemaplem2  |-  ( ph  ->  P T Q )
Distinct variable groups:    a, b,
c, x, B    T, a, b, c    w, a, y, z, X, b, c, x    A, a, b, c, w, x, y, z    P, a, b, c, w, x, y, z    Q, a, b, c, w, x, y, z    R, a, b, c, w, x, y, z    S, a, b, c, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, a, b, c)    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemaplem2
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemaplem2.px1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  A )
2 wemaplem2.xq1 . . . 4  |-  ( ph  ->  b  e.  A )
3 ifcl 3831 . . . 4  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A
)
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A
)
5 wemaplem2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
6 solin 4664 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )
75, 1, 2, 6syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )
8 wemaplem2.px2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  a
) S ( X `
 a ) )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  a ) S ( X `  a ) )
10 wemaplem2.xq3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
11 breq1 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  (
c R b  <->  a R
b ) )
12 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  ( X `  c )  =  ( X `  a ) )
13 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  ( Q `  c )  =  ( Q `  a ) )
1412, 13eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  (
( X `  c
)  =  ( Q `
 c )  <->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
1511, 14imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) ) )
1615rspcva 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  A. c  e.  A  ( c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )  ->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
171, 10, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
1817imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) )
199, 18breqtrd 4316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) )
20 iftrue 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( a R b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  a )
2120fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( a R b  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `
 a ) )
2220fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( a R b  ->  ( Q `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `
 a ) )
2321, 22breq12d 4305 . . . . . . 7  |-  ( a R b  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) ) )
2423adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) ) )
2519, 24mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
26 wemaplem2.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  S  Po  B )
28 wemaplem2.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
29 elmapi 7234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( B  ^m  A )  ->  P : A --> B )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : A --> B )
3130, 2ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P `  b
)  e.  B )
32 wemaplem2.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
33 elmapi 7234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  A )  ->  X : A --> B )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : A --> B )
3534, 2ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X `  b
)  e.  B )
36 wemaplem2.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
37 elmapi 7234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  ( B  ^m  A )  ->  Q : A --> B )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : A --> B )
3938, 2ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  b
)  e.  B )
4031, 35, 393jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  (
( P `  b
)  e.  B  /\  ( X `  b )  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )
42 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( P `  a )  =  ( P `  b ) )
43 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( X `  a )  =  ( X `  b ) )
4442, 43breq12d 4305 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  <->  ( P `  b ) S ( X `  b ) ) )
458, 44syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  =  b  ->  ( P `  b ) S ( X `  b ) ) )
4645imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  b ) S ( X `  b ) )
47 wemaplem2.xq2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
4847adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )
49 potr 4653 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )  ->  ( ( ( P `  b ) S ( X `  b )  /\  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )  -> 
( P `  b
) S ( Q `
 b ) ) )
5049imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  Po  B  /\  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )  /\  ( ( P `
 b ) S ( X `  b
)  /\  ( X `  b ) S ( Q `  b ) ) )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
5127, 41, 46, 48, 50syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
52 ifeq1 3795 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  if ( a R b ,  b ,  b ) )
53 ifid 3826 . . . . . . . . . 10  |-  if ( a R b ,  b ,  b )  =  b
5452, 53syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  b )
5554fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `
 b ) )
5654fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( Q `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `
 b ) )
5755, 56breq12d 4305 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
5857adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
5951, 58mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
60 wemaplem2.px3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
61 breq1 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  (
c R a  <->  b R
a ) )
62 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  ( P `  c )  =  ( P `  b ) )
63 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  ( X `  c )  =  ( X `  b ) )
6462, 63eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  (
( P `  c
)  =  ( X `
 c )  <->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
6561, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  <->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) ) )
6665rspcva 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  A  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) )  ->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
672, 60, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
6867imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) )
6947adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )
7068, 69eqbrtrd 4312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
71 sopo 4658 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
725, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
73 po2nr 4654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( b  e.  A  /\  a  e.  A
) )  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )
7472, 2, 1, 73syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )
75 nan 580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )  <-> 
( ( ph  /\  b R a )  ->  -.  a R b ) )
7674, 75mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  -.  a R b )
77 iffalse 3799 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  a R b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  b )
7877fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a R b  -> 
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `  b ) )
7977fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a R b  -> 
( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `  b ) )
8078, 79breq12d 4305 . . . . . . 7  |-  ( -.  a R b  -> 
( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
8176, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
8270, 81mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
8325, 59, 823jaodan 1284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )  ->  ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
847, 83mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
85 r19.26 2849 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  A  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  <-> 
( A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
8660, 10, 85sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
875, 1, 23jca 1168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )
88 prth 571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( ( P `  c )  =  ( X `  c )  /\  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
89 eqtr 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  c
)  =  ( X `
 c )  /\  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) )
9088, 89syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )
9190ralimi 2791 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  A  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( c R a  /\  c R b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
92 simpl1 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  R  Or  A )
93 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
94 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  a  e.  A )
95 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  b  e.  A )
96 soltmin 5237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( c  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  <-> 
( c R a  /\  c R b ) ) )
9792, 93, 94, 95, 96syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  <-> 
( c R a  /\  c R b ) ) )
9897biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( c R a  /\  c R b ) ) )
9998imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
( ( c R a  /\  c R b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  -> 
( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10099ralimdva 2794 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. c  e.  A  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10187, 91, 100syl2im 38 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  A  ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10286, 101mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
103 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( P `  d
)  =  ( P `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
104 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( Q `  d
)  =  ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
105103, 104breq12d 4305 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( P `  d ) S ( Q `  d )  <-> 
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) ) )
106 breq2 4296 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( c R d  <-> 
c R if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
107106imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
108107ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
109105, 108anbi12d 710 . . . 4  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( P `
 d ) S ( Q `  d
)  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  <-> 
( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
110109rspcev 3073 . . 3  |-  ( ( if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A  /\  ( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )  ->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  (
c R d  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) )
1114, 84, 102, 110syl12anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
112 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
113112wemaplem1 7760 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( B  ^m  A )  /\  Q  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( P T Q  <->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
11428, 36, 113syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( P T Q  <->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
115111, 114mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  P T Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   ifcif 3791   class class class wbr 4292   {copab 4349    Po wpo 4639    Or wor 4640   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-map 7216
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