Theorem wefrc 3652

Description: A non-empty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by _E has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31.

Assertion

Ref	Expression
wefrc	|- (( _E We A /\ B C_ A /\ B =/= (/)) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))

Distinct variable group:   x,B

Proof of Theorem wefrc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wess 3645	. . 3 |- (B C_ A -> ( _E We A -> _E We B))
2		ineq2 2790	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (B i^i x) = (B i^i y))
3	2	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> ((B i^i x) = (/) <-> (B i^i y) = (/)))
4	3	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- ((y e. B /\ (B i^i y) = (/)) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))
5	4	ex 402	. . . . . . . 8 |- (y e. B -> ((B i^i y) = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
6	5	adantl 424	. . . . . . 7 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((B i^i y) = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
7		inss1 2812	. . . . . . . . . . 11 |- (B i^i y) C_ B
8		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
9	8	inex2 3453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B i^i y) e. _V
10	9	epfrc 3642	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( _E Fr B /\ (B i^i y) C_ B /\ (B i^i y) =/= (/)) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/))
11		wefr 3648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _E We B -> _E Fr B)
12	10, 11	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . 12 |- (( _E We B /\ (B i^i y) C_ B /\ (B i^i y) =/= (/)) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/))
13	12	3exp 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( _E We B -> ((B i^i y) C_ B -> ((B i^i y) =/= (/) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/))))
14	7, 13	mpi 55	. . . . . . . . . 10 |- ( _E We B -> ((B i^i y) =/= (/) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/)))
15		elin 2786	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. (B i^i y) <-> (x e. B /\ x e. y))
16	15	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. (B i^i y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) <-> ((x e. B /\ x e. y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)))
17		anass 487	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. B /\ x e. y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) <-> (x e. B /\ (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
18	16, 17	bitri 190	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. (B i^i y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) <-> (x e. B /\ (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
19	18	rexbii2 2132	. . . . . . . . . 10 |- (E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/) <-> E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)))
20	14, 19	syl6ib 229	. . . . . . . . 9 |- ( _E We B -> ((B i^i y) =/= (/) -> E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
21	20	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((B i^i y) =/= (/) -> E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
22		wetrep 3651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (( _E We B /\ (z e. B /\ x e. B /\ y e. B)) -> ((z e. x /\ x e. y) -> z e. y))
23	22	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (( _E We B /\ (z e. B /\ x e. B /\ y e. B)) -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y)))
24		df-3an 860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. B /\ z e. B /\ x e. B) <-> ((y e. B /\ z e. B) /\ x e. B))
25		3anrot 863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. B /\ z e. B /\ x e. B) <-> (z e. B /\ x e. B /\ y e. B))
26	24, 25	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y e. B /\ z e. B) /\ x e. B) <-> (z e. B /\ x e. B /\ y e. B))
27	23, 26	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (( _E We B /\ ((y e. B /\ z e. B) /\ x e. B)) -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y)))
28	27	exp44 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( _E We B -> (y e. B -> (z e. B -> (x e. B -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y))))))
29	28	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (z e. B -> (x e. B -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y)))))
30	29	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (z e. B -> (z e. x -> (x e. B -> (x e. y -> z e. y)))))
31	30	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((z e. B /\ z e. x) -> (x e. B -> (x e. y -> z e. y))))
32		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. (B i^i x) <-> (z e. B /\ z e. x))
33	31, 32	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (z e. (B i^i x) -> (x e. B -> (x e. y -> z e. y))))
34	33	imp4a 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (z e. (B i^i x) -> ((x e. B /\ x e. y) -> z e. y)))
35	34	com23 36	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> (z e. (B i^i x) -> z e. y)))
36	35	r19.21adv 2181	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> A.z e. (B i^i x)z e. y))
37		dfss3 2611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B i^i x) C_ y <-> A.z e. (B i^i x)z e. y)
38	36, 37	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . 12 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> (B i^i x) C_ y))
39		dfss 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B i^i x) C_ y <-> (B i^i x) = ((B i^i x) i^i y))
40		in23 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B i^i x) i^i y) = ((B i^i y) i^i x)
41	40	eqeq2i 1894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B i^i x) = ((B i^i x) i^i y) <-> (B i^i x) = ((B i^i y) i^i x))
42	39, 41	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B i^i x) C_ y <-> (B i^i x) = ((B i^i y) i^i x))
43	42	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B i^i x) C_ y -> (B i^i x) = ((B i^i y) i^i x))
44	43	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B i^i x) C_ y -> ((B i^i x) = (/) <-> ((B i^i y) i^i x) = (/)))
45	44	biimprd 171	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B i^i x) C_ y -> (((B i^i y) i^i x) = (/) -> (B i^i x) = (/)))
46	38, 45	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> (((B i^i y) i^i x) = (/) -> (B i^i x) = (/))))
47	46	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (x e. B -> (x e. y -> (((B i^i y) i^i x) = (/) -> (B i^i x) = (/)))))
48	47	imp4a 391	. . . . . . . . 9 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (x e. B -> ((x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) -> (B i^i x) = (/))))
49	48	reximdvai 2201	. . . . . . . 8 |- (( _E We B /\ y e. B) -> (E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
50	21, 49	syld 30	. . . . . . 7 |- (( _E We B /\ y e. B) -> ((B i^i y) =/= (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
51	6, 50	pm2.61dne 2091	. . . . . 6 |- (( _E We B /\ y e. B) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))
52	51	ex 402	. . . . 5 |- ( _E We B -> (y e. B -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
53	52	19.23adv 1584	. . . 4 |- ( _E We B -> (E.y y e. B -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
54		n0 2884	. . . 4 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
55	53, 54	syl5ib 223	. . 3 |- ( _E We B -> (B =/= (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
56	1, 55	syl6com 64	. 2 |- ( _E We A -> (B C_ A -> (B =/= (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))))
57	56	3imp 1061	1 |- (( _E We A /\ B C_ A /\ B =/= (/)) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875   _E cep 3581   Fr wfr 3623   We wwe 3624

This theorem is referenced by:  tz7.5 3679  finminlem 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644

Copyright terms: Public domain