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Theorem wefrc 4827
Description: A nonempty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by  _E has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
wefrc  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem wefrc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wess 4820 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  B ) )
2 n0 3740 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
3 ineq2 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( B  i^i  y
) )
43eqeq1d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( B  i^i  y )  =  (/) ) )
54rspcev 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( B  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
65ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
76adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
8 inss1 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  C_  B
9 wefr 4823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _E  We  B  ->  _E  Fr  B )
10 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1110inex2 4544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  i^i  y )  e. 
_V
1211epfrc 4819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
139, 12syl3an1 1300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
14133exp 1206 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  C_  B  ->  ( ( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
158, 14mpi 20 . . . . . . . . . 10  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
16 elin 3616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  i^i  y )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  y ) )
1716anbi1i 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
18 anass 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y
)  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  B  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
1917, 18bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  B  /\  (
x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
2019rexbii2 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
2115, 20syl6ib 230 . . . . . . . . 9  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2221adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
23 elin 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( B  i^i  x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  x ) )
24 df-3an 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B ) )
25 3anrot 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)
2624, 25bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
27 wetrep 4826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  y ) )
2827expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
2926, 28sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  B ) )  -> 
( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
3029exp44 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  -> 
( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) ) )
3130imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3231com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3332impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  e.  B  /\  z  e.  x )  ->  (
x  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3423, 33syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3534imp4a 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  y ) ) )
3635com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
z  e.  ( B  i^i  x )  -> 
z  e.  y ) ) )
3736ralrimdv 2803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y ) )
38 dfss3 3421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y )
3937, 38syl6ibr 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  ( B  i^i  x )  C_  y ) )
40 dfss 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x
)  i^i  y )
)
41 in32 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)
4241eqeq2i 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4340, 42sylbb 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
) )
4443eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
4544biimprd 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
4639, 45syl6 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
4746expd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) ) )
4847imp4a 593 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
4948reximdvai 2858 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
5022, 49syld 45 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
517, 50pm2.61dne 2709 . . . . . 6  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
5251ex 436 . . . . 5  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
5352exlimdv 1778 . . . 4  |-  (  _E  We  B  ->  ( E. y  y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
542, 53syl5bi 221 . . 3  |-  (  _E  We  B  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
551, 54syl6com 36 . 2  |-  (  _E  We  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
56553imp 1201 1  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730    _E cep 4742    Fr wfr 4789    We wwe 4791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-br 4402  df-opab 4461  df-eprel 4744  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794
This theorem is referenced by:  tz7.5  5443  onnseq  7060  finminlem  30967
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