MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ween Structured version   Unicode version

Theorem ween 8428
Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ween  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. r 
r  We  A )
Distinct variable group:    A, r

Proof of Theorem ween
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac8b 8424 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  A
)
2 weso 4876 . . . . 5  |-  ( r  We  A  ->  r  Or  A )
3 vex 3121 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
4 soex 6738 . . . . 5  |-  ( ( r  Or  A  /\  r  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
52, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( r  We  A  ->  A  e.  _V )
65exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. r  r  We  A  ->  A  e.  _V )
7 unipw 4703 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
8 weeq2 4874 . . . . . 6  |-  ( U. ~P A  =  A  ->  ( r  We  U. ~P A  <->  r  We  A
) )
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( r  We  U. ~P A  <->  r  We  A )
109exbii 1644 . . . 4  |-  ( E. r  r  We  U. ~P A  <->  E. r  r  We  A )
1110biimpri 206 . . 3  |-  ( E. r  r  We  A  ->  E. r  r  We 
U. ~P A )
12 pwexg 4637 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
13 dfac8c 8426 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We 
U. ~P A  ->  E. f A. x  e. 
~P  A ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. ~P A  ->  E. f A. x  e.  ~P  A ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
15 dfac8a 8423 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. f A. x  e. 
~P  A ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  ->  A  e.  dom  card ) )
1614, 15syld 44 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. ~P A  ->  A  e.  dom  card ) )
176, 11, 16sylc 60 . 2  |-  ( E. r  r  We  A  ->  A  e.  dom  card )
181, 17impbii 188 1  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. r 
r  We  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251    Or wor 4805    We wwe 4843   dom cdm 5005   ` cfv 5594   cardccrd 8328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-recs 7054  df-en 7529  df-card 8332
This theorem is referenced by:  ondomen  8430  dfac10  8529  zorn2lem7  8894  fpwwe  9036  canthnumlem  9038  canthp1lem2  9043  pwfseqlem4a  9051  pwfseqlem4  9052  fin2so  29967
  Copyright terms: Public domain W3C validator