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Theorem wdomtr 8093
Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  X  ~<_*  Z )

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8084 . . . . 5  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 4892 . . . 4  |-  ( Y  ~<_*  Z  ->  Z  e.  _V )
32adantl 467 . . 3  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  Z  e.  _V )
4 0wdom 8088 . . . 4  |-  ( Z  e.  _V  ->  (/)  ~<_*  Z )
5 breq1 4423 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_*  Z 
<->  (/) 
~<_* 
Z ) )
64, 5syl5ibrcom 225 . . 3  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  =  (/)  ->  X  ~<_*  Z ) )
73, 6syl 17 . 2  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  ( X  =  (/)  ->  X  ~<_*  Z ) )
8 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  ~<_*  Y )
9 brwdomn0 8087 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
109adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
118, 10mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. z 
z : Y -onto-> X
)
12 simpllr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  Y  ~<_*  Z )
13 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  X  =/=  (/) )
14 dm0rn0 5067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  z  =  (/)  <->  ran  z  =  (/) )
1514necon3bii 2692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  z  =/=  (/)  <->  ran  z  =/=  (/) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( dom  z  =/=  (/)  <->  ran  z  =/=  (/) ) )
17 fof 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
z : Y --> X )
18 fdm 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : Y --> X  ->  dom  z  =  Y
)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z : Y -onto-> X  ->  dom  z  =  Y
)
2019neeq1d 2701 . . . . . . . . . 10  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( dom  z  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) ) )
21 forn 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z : Y -onto-> X  ->  ran  z  =  X
)
2221neeq1d 2701 . . . . . . . . . 10  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( ran  z  =/=  (/)  <->  X  =/=  (/) ) )
2316, 20, 223bitr3rd 287 . . . . . . . . 9  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( X  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) ) )
2423adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  ( X  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) ) )
2513, 24mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  Y  =/=  (/) )
26 brwdomn0 8087 . . . . . . 7  |-  ( Y  =/=  (/)  ->  ( Y  ~<_*  Z  <->  E. y  y : Z -onto-> Y ) )
2725, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  ( Y  ~<_*  Z  <->  E. y  y : Z -onto-> Y ) )
2812, 27mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  E. y 
y : Z -onto-> Y
)
29 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
30 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3129, 30coex 6756 . . . . . . . . 9  |-  ( z  o.  y )  e. 
_V
32 foco 5817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z : Y -onto-> X  /\  y : Z -onto-> Y
)  ->  ( z  o.  y ) : Z -onto-> X )
33 fowdom 8089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  o.  y
)  e.  _V  /\  ( z  o.  y
) : Z -onto-> X
)  ->  X  ~<_*  Z )
3431, 32, 33sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( z : Y -onto-> X  /\  y : Z -onto-> Y
)  ->  X  ~<_*  Z )
3534adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  (
z : Y -onto-> X  /\  y : Z -onto-> Y
) )  ->  X  ~<_*  Z )
3635expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  (
y : Z -onto-> Y  ->  X  ~<_*  Z ) )
3736exlimdv 1768 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  ( E. y  y : Z -onto-> Y  ->  X  ~<_*  Z
) )
3828, 37mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Z )
3911, 38exlimddv 1770 . . 3  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  ~<_*  Z )
4039ex 435 . 2  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  ( X  =/=  (/)  ->  X  ~<_*  Z ) )
417, 40pm2.61dne 2741 1  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  X  ~<_*  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   dom cdm 4850   ran crn 4851    o. ccom 4854   -->wf 5594   -onto->wfo 5596    ~<_* cwdom 8075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-fo 5604  df-wdom 8077
This theorem is referenced by:  wdomen1  8094  wdomen2  8095  wdom2d  8098  wdomima2g  8104  unxpwdom2  8106  unxpwdom  8107  harwdom  8108  pwcdadom  8647  hsmexlem1  8857  hsmexlem4  8860
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