Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Structured version   Unicode version

Theorem wdomtr 8004
 Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr * * *

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 7995 . . . . 5 *
21brrelex2i 5031 . . . 4 *
32adantl 466 . . 3 * *
4 0wdom 7999 . . . 4 *
5 breq1 4440 . . . 4 * *
64, 5syl5ibrcom 222 . . 3 *
73, 6syl 16 . 2 * * *
8 simpll 753 . . . . 5 * * *
9 brwdomn0 7998 . . . . . 6 *
109adantl 466 . . . . 5 * * *
118, 10mpbid 210 . . . 4 * *
12 simpllr 760 . . . . . 6 * * *
13 simplr 755 . . . . . . . 8 * *
14 dm0rn0 5209 . . . . . . . . . . . 12
1514necon3bii 2711 . . . . . . . . . . 11
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10
17 fof 5785 . . . . . . . . . . . 12
18 fdm 5725 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019neeq1d 2720 . . . . . . . . . 10
21 forn 5788 . . . . . . . . . . 11
2221neeq1d 2720 . . . . . . . . . 10
2316, 20, 223bitr3rd 284 . . . . . . . . 9
2423adantl 466 . . . . . . . 8 * *
2513, 24mpbid 210 . . . . . . 7 * *
26 brwdomn0 7998 . . . . . . 7 *
2725, 26syl 16 . . . . . 6 * * *
2812, 27mpbid 210 . . . . 5 * *
29 vex 3098 . . . . . . . . . 10
30 vex 3098 . . . . . . . . . 10
3129, 30coex 6737 . . . . . . . . 9
32 foco 5795 . . . . . . . . 9
33 fowdom 8000 . . . . . . . . 9 *
3431, 32, 33sylancr 663 . . . . . . . 8 *
3534adantl 466 . . . . . . 7 * * *
3635expr 615 . . . . . 6 * * *
3736exlimdv 1711 . . . . 5 * * *
3828, 37mpd 15 . . . 4 * * *
3911, 38exlimddv 1713 . . 3 * * *
4039ex 434 . 2 * * *
417, 40pm2.61dne 2760 1 * * *
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383  wex 1599   wcel 1804   wne 2638  cvv 3095  c0 3770   class class class wbr 4437   cdm 4989   crn 4990   ccom 4993  wf 5574  wfo 5576   * cwdom 7986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fo 5584  df-wdom 7988 This theorem is referenced by:  wdomen1  8005  wdomen2  8006  wdom2d  8009  wdomima2g  8015  unxpwdom2  8017  unxpwdom  8018  harwdom  8019  pwcdadom  8599  hsmexlem1  8809  hsmexlem4  8812
 Copyright terms: Public domain W3C validator