Theorem wdomnumr 8462

Description: Weak dominance agrees with normal for numerable right sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomnumr	|- ( B e. dom card -> ( A ~<_* B <-> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem wdomnumr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom 8011	. . 3 |- ( B e. dom card -> ( A ~<_* B <-> ( A = (/) \/ E. x x : B -onto-> A ) ) )
2		0domg 7663	. . . . 5 |- ( B e. dom card -> (/) ~<_ B )
3		breq1 4459	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ~<_ B <-> (/) ~<_ B ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( B e. dom card -> ( A = (/) -> A ~<_ B ) )
5		fodomnum 8455	. . . . 5 |- ( B e. dom card -> ( x : B -onto-> A -> A ~<_ B ) )
6	5	exlimdv 1725	. . . 4 |- ( B e. dom card -> ( E. x x : B -onto-> A -> A ~<_ B ) )
7	4, 6	jaod 380	. . 3 |- ( B e. dom card -> ( ( A = (/) \/ E. x x : B -onto-> A ) -> A ~<_ B ) )
8	1, 7	sylbid 215	. 2 |- ( B e. dom card -> ( A ~<_* B -> A ~<_ B ) )
9		domwdom 8018	. 2 |- ( A ~<_ B -> A ~<_* B )
10	8, 9	impbid1 203	1 |- ( B e. dom card -> ( A ~<_* B <-> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   -onto->wfo 5592   ~<_ cdom 7533   ~<_^* cwdom 8001   cardccrd 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-wdom 8003  df-card 8337  df-acn 8340

This theorem is referenced by:  wdomac  8922  ttac  31182  isnumbasgrplem2  31257