MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Unicode version

Theorem wdomfil 8440
Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 7990 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 5027 . . . . . 6  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V )
3 0domg 7642 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  _V  ->  (/)  ~<_  Y )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  (/)  ~<_  Y )
5 breq1 4436 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_  Y  <->  (/)  ~<_  Y ) )
64, 5syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =  (/) )  -> 
( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
8 brwdomn0 7993 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
10 vex 3096 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
11 fof 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : Y -onto-> X  ->  x : Y --> X )
12 dmfex 6739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( x : Y -onto-> X  ->  Y  e.  _V )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
15 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  e.  Fin )
16 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  x : Y -onto-> X )
17 fodomfi2 8439 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_  Y )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_  Y )
1918ex 434 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  (
x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
2120exlimdv 1709 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. x  x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
229, 21sylbid 215 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
237, 22pm2.61dane 2759 . 2  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
24 domwdom 7998 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  ~<_*  Y )
2523, 24impbid1 203 1  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   _Vcvv 3093   (/)c0 3767   class class class wbr 4433   -->wf 5570   -onto->wfo 5572    ~<_ cdom 7512   Fincfn 7514    ~<_* cwdom 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-1o 7128  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-wdom 7983  df-card 8318  df-acn 8321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator