MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Unicode version

Theorem wdomfil 8443
Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 7993 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 5041 . . . . . 6  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V )
3 0domg 7645 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  _V  ->  (/)  ~<_  Y )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  (/)  ~<_  Y )
5 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_  Y  <->  (/)  ~<_  Y ) )
64, 5syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =  (/) )  -> 
( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
8 brwdomn0 7996 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
10 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
11 fof 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : Y -onto-> X  ->  x : Y --> X )
12 dmfex 6743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( x : Y -onto-> X  ->  Y  e.  _V )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
15 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  e.  Fin )
16 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  x : Y -onto-> X )
17 fodomfi2 8442 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_  Y )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_  Y )
1918ex 434 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  (
x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
2120exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. x  x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
229, 21sylbid 215 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
237, 22pm2.61dane 2785 . 2  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
24 domwdom 8001 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  ~<_*  Y )
2523, 24impbid1 203 1  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   -->wf 5584   -onto->wfo 5586    ~<_ cdom 7515   Fincfn 7517    ~<_* cwdom 7984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-1o 7131  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-wdom 7986  df-card 8321  df-acn 8324
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator