MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wdomfil 8517
Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8106 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 4894 . . . . . 6  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V )
3 0domg 7724 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  _V  ->  (/)  ~<_  Y )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  (/)  ~<_  Y )
5 breq1 4418 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_  Y  <->  (/)  ~<_  Y ) )
64, 5syl5ibr 229 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
76adantl 472 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =  (/) )  -> 
( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
8 brwdomn0 8109 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
98adantl 472 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
10 vex 3059 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
11 fof 5815 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : Y -onto-> X  ->  x : Y --> X )
12 dmfex 6777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
1310, 11, 12sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( x : Y -onto-> X  ->  Y  e.  _V )
1413adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
15 simpl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  e.  Fin )
16 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  x : Y -onto-> X )
17 fodomfi2 8516 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_  Y )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_  Y )
1918ex 440 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
2019adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  (
x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
2120exlimdv 1789 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. x  x : Y -onto-> X  ->  X  ~<_  Y ) )
229, 21sylbid 223 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
237, 22pm2.61dane 2722 . 2  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  X  ~<_  Y ) )
24 domwdom 8114 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  ~<_*  Y )
2523, 24impbid1 208 1  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897    =/= wne 2632   _Vcvv 3056   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   -->wf 5596   -onto->wfo 5598    ~<_ cdom 7592   Fincfn 7594    ~<_* cwdom 8097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-1o 7207  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-wdom 8099  df-card 8398  df-acn 8401
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator