Theorem wdomd 7908

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	|- ( ph -> B e. W )
wdomd.o	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )

Assertion

Ref	Expression
wdomd	|- ( ph -> A ~<_* B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   ph, x, y   x, X

Allowed substitution hints:   W( x, y)   X( y)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
2		abrexexg 6663	. . . 4 |- ( B e. W -> { x | E. y e. B x = X } e. _V )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> { x | E. y e. B x = X } e. _V )
4		wdomd.o	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )
5	4	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A -> E. y e. B x = X ) )
6	5	alrimiv 1686	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( x e. A -> E. y e. B x = X ) )
7		ssab 3531	. . . 4 |- ( A C_ { x | E. y e. B x = X } <-> A. x ( x e. A -> E. y e. B x = X ) )
8	6, 7	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> A C_ { x | E. y e. B x = X } )
9	3, 8	ssexd 4548	. 2 |- ( ph -> A e. _V )
10	9, 1, 4	wdom2d 7907	1 |- ( ph -> A ~<_* B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2439   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   C_ wss 3437   class class class wbr 4401   ~<_^* cwdom 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-wdom 7886

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  8708  unxpwdom3  29597