Theorem wdomd 7999

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	|- ( ph -> B e. W )
wdomd.o	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )

Assertion

Ref	Expression
wdomd	|- ( ph -> A ~<_* B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   ph, x, y   x, X

Allowed substitution hints:   W( x, y)   X( y)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
2		abrexexg 6748	. . . 4 |- ( B e. W -> { x | E. y e. B x = X } e. _V )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> { x | E. y e. B x = X } e. _V )
4		wdomd.o	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )
5	4	ex 432	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A -> E. y e. B x = X ) )
6	5	alrimiv 1724	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( x e. A -> E. y e. B x = X ) )
7		ssab 3556	. . . 4 |- ( A C_ { x | E. y e. B x = X } <-> A. x ( x e. A -> E. y e. B x = X ) )
8	6, 7	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> A C_ { x | E. y e. B x = X } )
9	3, 8	ssexd 4584	. 2 |- ( ph -> A e. _V )
10	9, 1, 4	wdom2d 7998	1 |- ( ph -> A ~<_* B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ~<_^* cwdom 7975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-wdom 7977

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  8798  unxpwdom3  31280