MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomd Structured version   Unicode version

Theorem wdomd 7908
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdomd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
wdomd.o  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
Assertion
Ref Expression
wdomd  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    ph, x, y    x, X
Allowed substitution hints:    W( x, y)    X( y)

Proof of Theorem wdomd
StepHypRef Expression
1 wdomd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2 abrexexg 6663 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  { x  |  E. y  e.  B  x  =  X }  e.  _V )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  |  E. y  e.  B  x  =  X }  e.  _V )
4 wdomd.o . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
)
65alrimiv 1686 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  =  X ) )
7 ssab 3531 . . . 4  |-  ( A 
C_  { x  |  E. y  e.  B  x  =  X }  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  =  X ) )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  { x  |  E. y  e.  B  x  =  X }
)
93, 8ssexd 4548 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
109, 1, 4wdom2d 7907 1  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   class class class wbr 4401    ~<_* cwdom 7884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-wdom 7886
This theorem is referenced by:  hsmexlem2  8708  unxpwdom3  29597
  Copyright terms: Public domain W3C validator