MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomac Structured version   Unicode version

Theorem wdomac 8917
Description: When assuming AC, weak and usual dominance coincide. It is not known if this is an AC equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomac  |-  ( X  ~<_*  Y 
<->  X  ~<_  Y )

Proof of Theorem wdomac
StepHypRef Expression
1 relwdom 8004 . . 3  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 5047 . 2  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V )
3 reldom 7534 . . 3  |-  Rel  ~<_
43brrelex2i 5047 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  Y  e.  _V )
5 numth3 8862 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  Y  e.  dom  card )
6 wdomnumr 8457 . . 3  |-  ( Y  e.  dom  card  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  X  ~<_  Y )
)
82, 4, 7pm5.21nii 353 1  |-  ( X  ~<_*  Y 
<->  X  ~<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   dom cdm 5005    ~<_ cdom 7526    ~<_* cwdom 7995   cardccrd 8328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-ac2 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-wdom 7997  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator