Theorem wdom2d 8105

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4536). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdom2d.a	|- ( ph -> A e. V )
wdom2d.b	|- ( ph -> B e. W )
wdom2d.o	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )

Assertion

Ref	Expression
wdom2d	|- ( ph -> A ~<_* B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)   X( y)

Proof of Theorem wdom2d

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdom2d.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
2		rabexg 4574	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
4		wdom2d.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
5		xpexg 6608	. . . . 5 |- ( ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V /\ A e. V ) -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
7		csbeq1 3398	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> [_ z / y ]_ X = [_ w / y ]_ X )
8	7	eleq1d 2491	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ w / y ]_ X e. A ) )
9	8	elrab 3228	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( w e. B /\ [_ w / y ]_ X e. A ) )
10	9	simprbi 465	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ w / y ]_ X e. A )
11	10	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ) -> [_ w / y ]_ X e. A )
12		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) = ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X )
13	11, 12	fmptd 6062	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A )
14		fssxp 5758	. . . . 5 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
16	6, 15	ssexd 4571	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V )
17		wdom2d.o	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )
18		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x e. A <-> X e. A ) )
19	18	biimpcd 227	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( x = X -> X e. A ) )
20	19	ancrd 556	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
21	20	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
22	21	reximdv 2896	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. B x = X -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) ) )
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) )
24		nfv 1755	. . . . . . . 8 |- F/ v ( X e. A /\ x = X )
25		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y [_ v / y ]_ X
26	25	nfel1 2596	. . . . . . . . 9 |- F/ y [_ v / y ]_ X e. A
27	25	nfeq2 2597	. . . . . . . . 9 |- F/ y x = [_ v / y ]_ X
28	26, 27	nfan 1988	. . . . . . . 8 |- F/ y ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X )
29		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> X = [_ v / y ]_ X )
30	29	eleq1d 2491	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
31	29	eqeq2d 2436	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( x = X <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
32	30, 31	anbi12d 715	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( X e. A /\ x = X ) <-> ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) ) )
33	24, 28, 32	cbvrex 3051	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
34	23, 33	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
35		csbeq1 3398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = v -> [_ z / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
36	35	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
37	36	elrab 3228	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( v e. B /\ [_ v / y ]_ X e. A ) )
38	37	simprbi 465	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ v / y ]_ X e. A )
39		csbeq1 3398	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = v -> [_ w / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
40	39, 12	fvmptg 5963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ [_ v / y ]_ X e. A ) -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
41	38, 40	mpdan 672	. . . . . . . . 9 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
42	41	eqeq2d 2436	. . . . . . . 8 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
43	42	rexbiia 2923	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X )
44	36	rexrab 3234	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
45	43, 44	bitri 252	. . . . . 6 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
46	34, 45	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
47	46	ralrimiva 2836	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
48		dffo3 6053	. . . 4 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A <-> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A /\ A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) ) )
49	13, 47, 48	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A )
50		fowdom 8096	. . 3 |- ( ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V /\ ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A ) -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
51	16, 49, 50	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
52		ssrab2 3546	. . . 4 |- { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B
53		ssdomg 7626	. . . 4 |- ( B e. W -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B ) )
54	52, 53	mpi 20	. . 3 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B )
55		domwdom 8099	. . 3 |- ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
56	1, 54, 55	3syl 18	. 2 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
57		wdomtr 8100	. 2 |- ( ( A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B ) -> A ~<_* B )
58	51, 56, 57	syl2anc 665	1 |- ( ph -> A ~<_* B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080   [_csb 3395   C_ wss 3436   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   X. cxp 4851   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601   ~<_ cdom 7579   ~<_^* cwdom 8082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-wdom 8084

This theorem is referenced by:  wdomd  8106  brwdom3  8107  unwdomg  8109  xpwdomg  8110  wdom2d2  35861