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Theorem wdom2d 8105
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4536). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdom2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
wdom2d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
wdom2d.o  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
Assertion
Ref Expression
wdom2d  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, X    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)    X( y)

Proof of Theorem wdom2d
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wdom2d.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2 rabexg 4574 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  e.  _V )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  e.  _V )
4 wdom2d.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 xpexg 6608 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A )  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A
)  e.  _V )
7 csbeq1 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  [_ z  /  y ]_ X  =  [_ w  /  y ]_ X )
87eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  ( [_ z  /  y ]_ X  e.  A  <->  [_ w  /  y ]_ X  e.  A )
)
98elrab 3228 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  <->  ( w  e.  B  /\  [_ w  /  y ]_ X  e.  A ) )
109simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  [_ w  /  y ]_ X  e.  A )
1110adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } )  ->  [_ w  /  y ]_ X  e.  A )
12 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
)  =  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
)
1311, 12fmptd 6062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) : {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }
--> A )
14 fssxp 5758 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) : { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } --> A  -> 
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  C_  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A ) )
1513, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  C_  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A ) )
166, 15ssexd 4571 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  e.  _V )
17 wdom2d.o . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
18 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
1918biimpcd 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  =  X  ->  X  e.  A )
)
2019ancrd 556 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  =  X  -> 
( X  e.  A  /\  x  =  X
) ) )
2120adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x  =  X  -> 
( X  e.  A  /\  x  =  X
) ) )
2221reximdv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  =  X  ->  E. y  e.  B  ( X  e.  A  /\  x  =  X )
) )
2317, 22mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  ( X  e.  A  /\  x  =  X ) )
24 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( X  e.  A  /\  x  =  X
)
25 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ X
2625nfel1 2596 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ v  /  y ]_ X  e.  A
2725nfeq2 2597 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  =  [_ v  /  y ]_ X
2826, 27nfan 1988 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( [_ v  / 
y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
)
29 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  X  =  [_ v  /  y ]_ X )
3029eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  ( X  e.  A  <->  [_ v  / 
y ]_ X  e.  A
) )
3129eqeq2d 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
x  =  X  <->  x  =  [_ v  /  y ]_ X ) )
3230, 31anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( X  e.  A  /\  x  =  X
)  <->  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X ) ) )
3324, 28, 32cbvrex 3051 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( X  e.  A  /\  x  =  X )  <->  E. v  e.  B  (
[_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
) )
3423, 33sylib 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. v  e.  B  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X ) )
35 csbeq1 3398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  v  ->  [_ z  /  y ]_ X  =  [_ v  /  y ]_ X )
3635eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  ( [_ z  /  y ]_ X  e.  A  <->  [_ v  /  y ]_ X  e.  A )
)
3736elrab 3228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  <->  ( v  e.  B  /\  [_ v  /  y ]_ X  e.  A ) )
3837simprbi 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  [_ v  /  y ]_ X  e.  A )
39 csbeq1 3398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  v  ->  [_ w  /  y ]_ X  =  [_ v  /  y ]_ X )
4039, 12fvmptg 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  /\  [_ v  /  y ]_ X  e.  A )  ->  (
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  =  [_ v  /  y ]_ X
)
4138, 40mpdan 672 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  (
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  =  [_ v  /  y ]_ X
)
4241eqeq2d 2436 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  (
x  =  ( ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) `  v )  <->  x  =  [_ v  / 
y ]_ X ) )
4342rexbiia 2923 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  <->  E. v  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  [_ v  /  y ]_ X
)
4436rexrab 3234 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  = 
[_ v  /  y ]_ X  <->  E. v  e.  B  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
) )
4543, 44bitri 252 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  <->  E. v  e.  B  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
) )
4634, 45sylibr 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  (
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
) )
4746ralrimiva 2836 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
) )
48 dffo3 6053 . . . 4  |-  ( ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) : { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } -onto-> A  <->  ( (
w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) : { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } --> A  /\  A. x  e.  A  E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
) ) )
4913, 47, 48sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) : {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } -onto-> A )
50 fowdom 8096 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  e.  _V  /\  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) : {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } -onto-> A )  ->  A  ~<_*  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } )
5116, 49, 50syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } )
52 ssrab2 3546 . . . 4  |-  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  C_  B
53 ssdomg 7626 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  C_  B  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_  B ) )
5452, 53mpi 20 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_  B )
55 domwdom 8099 . . 3  |-  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_  B  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_*  B )
561, 54, 553syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_*  B )
57 wdomtr 8100 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  /\  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_*  B )  ->  A  ~<_*  B )
5851, 56, 57syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080   [_csb 3395    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601    ~<_ cdom 7579    ~<_* cwdom 8082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-wdom 8084
This theorem is referenced by:  wdomd  8106  brwdom3  8107  unwdomg  8109  xpwdomg  8110  wdom2d2  35861
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