Theorem wdom2d 8002

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4558). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdom2d.a	|- ( ph -> A e. V )
wdom2d.b	|- ( ph -> B e. W )
wdom2d.o	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )

Assertion

Ref	Expression
wdom2d	|- ( ph -> A ~<_* B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)   X( y)

Proof of Theorem wdom2d

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdom2d.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
2		rabexg 4597	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
4		wdom2d.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
5		xpexg 6709	. . . . 5 |- ( ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V /\ A e. V ) -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
7		csbeq1 3438	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> [_ z / y ]_ X = [_ w / y ]_ X )
8	7	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ w / y ]_ X e. A ) )
9	8	elrab 3261	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( w e. B /\ [_ w / y ]_ X e. A ) )
10	9	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ w / y ]_ X e. A )
11	10	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ) -> [_ w / y ]_ X e. A )
12		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) = ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X )
13	11, 12	fmptd 6043	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A )
14		fssxp 5741	. . . . 5 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
15	13, 14	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
16	6, 15	ssexd 4594	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V )
17		wdom2d.o	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )
18		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x e. A <-> X e. A ) )
19	18	biimpcd 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( x = X -> X e. A ) )
20	19	ancrd 554	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
21	20	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
22	21	reximdv 2937	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. B x = X -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) ) )
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) )
24		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ v ( X e. A /\ x = X )
25		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y [_ v / y ]_ X
26	25	nfel1 2645	. . . . . . . . 9 |- F/ y [_ v / y ]_ X e. A
27	25	nfeq2 2646	. . . . . . . . 9 |- F/ y x = [_ v / y ]_ X
28	26, 27	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ y ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X )
29		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> X = [_ v / y ]_ X )
30	29	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
31	29	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( x = X <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
32	30, 31	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( X e. A /\ x = X ) <-> ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) ) )
33	24, 28, 32	cbvrex 3085	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
34	23, 33	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
35		csbeq1 3438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = v -> [_ z / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
36	35	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
37	36	elrab 3261	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( v e. B /\ [_ v / y ]_ X e. A ) )
38	37	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ v / y ]_ X e. A )
39		csbeq1 3438	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = v -> [_ w / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
40	39, 12	fvmptg 5946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ [_ v / y ]_ X e. A ) -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
41	38, 40	mpdan 668	. . . . . . . . 9 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
42	41	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
43	42	rexbiia 2964	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X )
44	36	rexrab 3267	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
45	43, 44	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
46	34, 45	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
47	46	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
48		dffo3 6034	. . . 4 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A <-> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A /\ A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) ) )
49	13, 47, 48	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A )
50		fowdom 7993	. . 3 |- ( ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V /\ ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A ) -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
51	16, 49, 50	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
52		ssrab2 3585	. . . 4 |- { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B
53		ssdomg 7558	. . . 4 |- ( B e. W -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B ) )
54	52, 53	mpi 17	. . 3 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B )
55		domwdom 7996	. . 3 |- ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
56	1, 54, 55	3syl 20	. 2 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
57		wdomtr 7997	. 2 |- ( ( A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B ) -> A ~<_* B )
58	51, 56, 57	syl2anc 661	1 |- ( ph -> A ~<_* B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [_csb 3435   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586   ~<_ cdom 7511   ~<_^* cwdom 7979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-wdom 7981

This theorem is referenced by:  wdomd  8003  brwdom3  8004  unwdomg  8006  xpwdomg  8007  wdom2d2  30581