Theorem wdom2d 8113

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4508). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdom2d.a	|- ( ph -> A e. V )
wdom2d.b	|- ( ph -> B e. W )
wdom2d.o	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )

Assertion

Ref	Expression
wdom2d	|- ( ph -> A ~<_* B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)   X( y)

Proof of Theorem wdom2d

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdom2d.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
2		rabexg 4549	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
4		wdom2d.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
5		xpexg 6612	. . . . 5 |- ( ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V /\ A e. V ) -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
7		csbeq1 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> [_ z / y ]_ X = [_ w / y ]_ X )
8	7	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ w / y ]_ X e. A ) )
9	8	elrab 3184	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( w e. B /\ [_ w / y ]_ X e. A ) )
10	9	simprbi 471	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ w / y ]_ X e. A )
11	10	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ) -> [_ w / y ]_ X e. A )
12		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) = ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X )
13	11, 12	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A )
14		fssxp 5753	. . . . 5 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
16	6, 15	ssexd 4543	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V )
17		wdom2d.o	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )
18		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x e. A <-> X e. A ) )
19	18	biimpcd 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( x = X -> X e. A ) )
20	19	ancrd 563	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
21	20	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
22	21	reximdv 2857	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. B x = X -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) ) )
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) )
24		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ v ( X e. A /\ x = X )
25		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y [_ v / y ]_ X
26	25	nfel1 2626	. . . . . . . . 9 |- F/ y [_ v / y ]_ X e. A
27	25	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ y x = [_ v / y ]_ X
28	26, 27	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ y ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X )
29		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> X = [_ v / y ]_ X )
30	29	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
31	29	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( x = X <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
32	30, 31	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( X e. A /\ x = X ) <-> ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) ) )
33	24, 28, 32	cbvrex 3002	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
34	23, 33	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
35		csbeq1 3352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = v -> [_ z / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
36	35	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
37	36	elrab 3184	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( v e. B /\ [_ v / y ]_ X e. A ) )
38	37	simprbi 471	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ v / y ]_ X e. A )
39		csbeq1 3352	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = v -> [_ w / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
40	39, 12	fvmptg 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ [_ v / y ]_ X e. A ) -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
41	38, 40	mpdan 681	. . . . . . . . 9 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
42	41	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
43	42	rexbiia 2880	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X )
44	36	rexrab 3190	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
45	43, 44	bitri 257	. . . . . 6 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
46	34, 45	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
47	46	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
48		dffo3 6052	. . . 4 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A <-> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A /\ A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) ) )
49	13, 47, 48	sylanbrc 677	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A )
50		fowdom 8104	. . 3 |- ( ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V /\ ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A ) -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
51	16, 49, 50	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
52		ssrab2 3500	. . . 4 |- { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B
53		ssdomg 7633	. . . 4 |- ( B e. W -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B ) )
54	52, 53	mpi 20	. . 3 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B )
55		domwdom 8107	. . 3 |- ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
56	1, 54, 55	3syl 18	. 2 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
57		wdomtr 8108	. 2 |- ( ( A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B ) -> A ~<_* B )
58	51, 56, 57	syl2anc 673	1 |- ( ph -> A ~<_* B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   [_csb 3349   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589   ~<_ cdom 7585   ~<_^* cwdom 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-wdom 8092

This theorem is referenced by:  wdomd  8114  brwdom3  8115  unwdomg  8117  xpwdomg  8118  wdom2d2  35961