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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > wdom2d | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4508). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
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wdom2d.a |
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wdom2d.b |
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wdom2d.o |
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wdom2d |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | wdom2d.b |
. . . . . 6
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2 | rabexg 4549 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . 5
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4 | wdom2d.a |
. . . . 5
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5 | xpexg 6612 |
. . . . 5
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6 | 3, 4, 5 | syl2anc 673 |
. . . 4
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7 | csbeq1 3352 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 7 | eleq1d 2533 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | elrab 3184 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | simprbi 471 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | adantl 473 |
. . . . . 6
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12 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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13 | 11, 12 | fmptd 6061 |
. . . . 5
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14 | fssxp 5753 |
. . . . 5
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15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . 4
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16 | 6, 15 | ssexd 4543 |
. . 3
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17 | wdom2d.o |
. . . . . . . 8
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18 | eleq1 2537 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 18 | biimpcd 232 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19 | ancrd 563 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 20 | adantl 473 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | reximdv 2857 |
. . . . . . . 8
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23 | 17, 22 | mpd 15 |
. . . . . . 7
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24 | nfv 1769 |
. . . . . . . 8
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25 | nfcsb1v 3365 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 25 | nfel1 2626 |
. . . . . . . . 9
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27 | 25 | nfeq2 2627 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | nfan 2031 |
. . . . . . . 8
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29 | csbeq1a 3358 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | eleq1d 2533 |
. . . . . . . . 9
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31 | 29 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . . 9
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32 | 30, 31 | anbi12d 725 |
. . . . . . . 8
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33 | 24, 28, 32 | cbvrex 3002 |
. . . . . . 7
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34 | 23, 33 | sylib 201 |
. . . . . 6
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35 | csbeq1 3352 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | 35 | eleq1d 2533 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 36 | elrab 3184 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 37 | simprbi 471 |
. . . . . . . . . 10
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39 | csbeq1 3352 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39, 12 | fvmptg 5961 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 38, 40 | mpdan 681 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | rexbiia 2880 |
. . . . . . 7
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44 | 36 | rexrab 3190 |
. . . . . . 7
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45 | 43, 44 | bitri 257 |
. . . . . 6
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46 | 34, 45 | sylibr 217 |
. . . . 5
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47 | 46 | ralrimiva 2809 |
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48 | dffo3 6052 |
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49 | 13, 47, 48 | sylanbrc 677 |
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50 | fowdom 8104 |
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51 | 16, 49, 50 | syl2anc 673 |
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52 | ssrab2 3500 |
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53 | ssdomg 7633 |
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54 | 52, 53 | mpi 20 |
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55 | domwdom 8107 |
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56 | 1, 54, 55 | 3syl 18 |
. 2
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57 | wdomtr 8108 |
. 2
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58 | 51, 56, 57 | syl2anc 673 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-wdom 8092 |
This theorem is referenced by: wdomd 8114 brwdom3 8115 unwdomg 8117 xpwdomg 8118 wdom2d2 35961 |
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