Theorem wdom2d 8009

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4548). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdom2d.a	|- ( ph -> A e. V )
wdom2d.b	|- ( ph -> B e. W )
wdom2d.o	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )

Assertion

Ref	Expression
wdom2d	|- ( ph -> A ~<_* B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)   X( y)

Proof of Theorem wdom2d

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdom2d.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
2		rabexg 4587	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V )
4		wdom2d.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
5		xpexg 6587	. . . . 5 |- ( ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } e. _V /\ A e. V ) -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) e. _V )
7		csbeq1 3423	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> [_ z / y ]_ X = [_ w / y ]_ X )
8	7	eleq1d 2512	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ w / y ]_ X e. A ) )
9	8	elrab 3243	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( w e. B /\ [_ w / y ]_ X e. A ) )
10	9	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ w / y ]_ X e. A )
11	10	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ) -> [_ w / y ]_ X e. A )
12		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) = ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X )
13	11, 12	fmptd 6040	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A )
14		fssxp 5733	. . . . 5 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
15	13, 14	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) C_ ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } X. A ) )
16	6, 15	ssexd 4584	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V )
17		wdom2d.o	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x = X )
18		eleq1 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x e. A <-> X e. A ) )
19	18	biimpcd 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( x = X -> X e. A ) )
20	19	ancrd 554	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
21	20	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x = X -> ( X e. A /\ x = X ) ) )
22	21	reximdv 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. B x = X -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) ) )
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) )
24		nfv 1694	. . . . . . . 8 |- F/ v ( X e. A /\ x = X )
25		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y [_ v / y ]_ X
26	25	nfel1 2621	. . . . . . . . 9 |- F/ y [_ v / y ]_ X e. A
27	25	nfeq2 2622	. . . . . . . . 9 |- F/ y x = [_ v / y ]_ X
28	26, 27	nfan 1914	. . . . . . . 8 |- F/ y ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X )
29		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> X = [_ v / y ]_ X )
30	29	eleq1d 2512	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
31	29	eqeq2d 2457	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( x = X <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
32	30, 31	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( X e. A /\ x = X ) <-> ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) ) )
33	24, 28, 32	cbvrex 3067	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( X e. A /\ x = X ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
34	23, 33	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
35		csbeq1 3423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = v -> [_ z / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
36	35	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( [_ z / y ]_ X e. A <-> [_ v / y ]_ X e. A ) )
37	36	elrab 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } <-> ( v e. B /\ [_ v / y ]_ X e. A ) )
38	37	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> [_ v / y ]_ X e. A )
39		csbeq1 3423	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = v -> [_ w / y ]_ X = [_ v / y ]_ X )
40	39, 12	fvmptg 5939	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ [_ v / y ]_ X e. A ) -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
41	38, 40	mpdan 668	. . . . . . . . 9 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) = [_ v / y ]_ X )
42	41	eqeq2d 2457	. . . . . . . 8 |- ( v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -> ( x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> x = [_ v / y ]_ X ) )
43	42	rexbiia 2944	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X )
44	36	rexrab 3249	. . . . . . 7 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = [_ v / y ]_ X <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
45	43, 44	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) <-> E. v e. B ( [_ v / y ]_ X e. A /\ x = [_ v / y ]_ X ) )
46	34, 45	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
47	46	ralrimiva 2857	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) )
48		dffo3 6031	. . . 4 |- ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A <-> ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } --> A /\ A. x e. A E. v e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } x = ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) ` v ) ) )
49	13, 47, 48	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A )
50		fowdom 8000	. . 3 |- ( ( ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) e. _V /\ ( w e. { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } |-> [_ w / y ]_ X ) : { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } -onto-> A ) -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
51	16, 49, 50	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } )
52		ssrab2 3570	. . . 4 |- { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B
53		ssdomg 7563	. . . 4 |- ( B e. W -> ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } C_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B ) )
54	52, 53	mpi 17	. . 3 |- ( B e. W -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B )
55		domwdom 8003	. . 3 |- ( { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_ B -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
56	1, 54, 55	3syl 20	. 2 |- ( ph -> { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B )
57		wdomtr 8004	. 2 |- ( ( A ~<_* { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } /\ { z e. B | [_ z / y ]_ X e. A } ~<_* B ) -> A ~<_* B )
58	51, 56, 57	syl2anc 661	1 |- ( ph -> A ~<_* B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   [_csb 3420   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   X. cxp 4987   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578   ~<_ cdom 7516   ~<_^* cwdom 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-wdom 7988

This theorem is referenced by:  wdomd  8010  brwdom3  8011  unwdomg  8013  xpwdomg  8014  wdom2d2  30953