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Theorem wdom2d 8009
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4548). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdom2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
wdom2d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
wdom2d.o  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
Assertion
Ref Expression
wdom2d  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, X    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)    X( y)

Proof of Theorem wdom2d
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wdom2d.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2 rabexg 4587 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  e.  _V )
4 wdom2d.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 xpexg 6587 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A )  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A
)  e.  _V )
7 csbeq1 3423 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  [_ z  /  y ]_ X  =  [_ w  /  y ]_ X )
87eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  ( [_ z  /  y ]_ X  e.  A  <->  [_ w  /  y ]_ X  e.  A )
)
98elrab 3243 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  <->  ( w  e.  B  /\  [_ w  /  y ]_ X  e.  A ) )
109simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  [_ w  /  y ]_ X  e.  A )
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } )  ->  [_ w  /  y ]_ X  e.  A )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
)  =  ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
)
1311, 12fmptd 6040 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) : {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }
--> A )
14 fssxp 5733 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) : { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } --> A  -> 
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  C_  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  C_  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  X.  A ) )
166, 15ssexd 4584 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  e.  _V )
17 wdom2d.o . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  =  X )
18 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  A  <->  X  e.  A ) )
1918biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  =  X  ->  X  e.  A )
)
2019ancrd 554 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  =  X  -> 
( X  e.  A  /\  x  =  X
) ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x  =  X  -> 
( X  e.  A  /\  x  =  X
) ) )
2221reximdv 2917 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  =  X  ->  E. y  e.  B  ( X  e.  A  /\  x  =  X )
) )
2317, 22mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  ( X  e.  A  /\  x  =  X ) )
24 nfv 1694 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( X  e.  A  /\  x  =  X
)
25 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ X
2625nfel1 2621 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ v  /  y ]_ X  e.  A
2725nfeq2 2622 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  =  [_ v  /  y ]_ X
2826, 27nfan 1914 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( [_ v  / 
y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
)
29 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  X  =  [_ v  /  y ]_ X )
3029eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  ( X  e.  A  <->  [_ v  / 
y ]_ X  e.  A
) )
3129eqeq2d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
x  =  X  <->  x  =  [_ v  /  y ]_ X ) )
3230, 31anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( X  e.  A  /\  x  =  X
)  <->  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X ) ) )
3324, 28, 32cbvrex 3067 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( X  e.  A  /\  x  =  X )  <->  E. v  e.  B  (
[_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
) )
3423, 33sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. v  e.  B  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X ) )
35 csbeq1 3423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  v  ->  [_ z  /  y ]_ X  =  [_ v  /  y ]_ X )
3635eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  ( [_ z  /  y ]_ X  e.  A  <->  [_ v  /  y ]_ X  e.  A )
)
3736elrab 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  <->  ( v  e.  B  /\  [_ v  /  y ]_ X  e.  A ) )
3837simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  [_ v  /  y ]_ X  e.  A )
39 csbeq1 3423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  v  ->  [_ w  /  y ]_ X  =  [_ v  /  y ]_ X )
4039, 12fvmptg 5939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  /\  [_ v  /  y ]_ X  e.  A )  ->  (
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  =  [_ v  /  y ]_ X
)
4138, 40mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  (
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  =  [_ v  /  y ]_ X
)
4241eqeq2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ->  (
x  =  ( ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) `  v )  <->  x  =  [_ v  / 
y ]_ X ) )
4342rexbiia 2944 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  <->  E. v  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  [_ v  /  y ]_ X
)
4436rexrab 3249 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  = 
[_ v  /  y ]_ X  <->  E. v  e.  B  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
) )
4543, 44bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
)  <->  E. v  e.  B  ( [_ v  /  y ]_ X  e.  A  /\  x  =  [_ v  /  y ]_ X
) )
4634, 45sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  (
( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
) )
4746ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
) )
48 dffo3 6031 . . . 4  |-  ( ( w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) : { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } -onto-> A  <->  ( (
w  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X
) : { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } --> A  /\  A. x  e.  A  E. v  e.  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } x  =  ( ( w  e. 
{ z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) `  v
) ) )
4913, 47, 48sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) : {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } -onto-> A )
50 fowdom 8000 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X )  e.  _V  /\  ( w  e.  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  |->  [_ w  /  y ]_ X ) : {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } -onto-> A )  ->  A  ~<_*  {
z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } )
5116, 49, 50syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A } )
52 ssrab2 3570 . . . 4  |-  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  C_  B
53 ssdomg 7563 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  C_  B  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_  B ) )
5452, 53mpi 17 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_  B )
55 domwdom 8003 . . 3  |-  ( { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_  B  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_*  B )
561, 54, 553syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_*  B )
57 wdomtr 8004 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  /\  { z  e.  B  |  [_ z  /  y ]_ X  e.  A }  ~<_*  B )  ->  A  ~<_*  B )
5851, 56, 57syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  A  ~<_*  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   [_csb 3420    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578    ~<_ cdom 7516    ~<_* cwdom 7986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-wdom 7988
This theorem is referenced by:  wdomd  8010  brwdom3  8011  unwdomg  8013  xpwdomg  8014  wdom2d2  30953
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