Theorem wallispilem5 31326

Description: The sequence H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem5.1	|- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.2	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem5.3	|- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.4	|- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
wallispilem5.5	|- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem5	|- H ~~> 1

Distinct variable groups:   k, n, x   x, F   k, G   k, L

Allowed substitution hints:   F( k, n)   G( x, n)   H( x, k, n)   I( x, k, n)   L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 |- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
2		wallispilem5.2	. . 3 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
3		wallispilem5.3	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
4		wallispilem5.4	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 31325	. 2 |- G = H
6		nnuz 11108	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1z 10885	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
9		wallispilem5.5	. . . . 5 |- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )
10		2cnd 10599	. . . . 5 |- ( T. -> 2 e. CC )
11		2ne0 10619	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
13	8	zcnd 10958	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. CC )
14	9, 10, 12, 13	clim1fr1 31100	. . . 4 |- ( T. -> L ~~> 1 )
15		nnex 10533	. . . . . . 7 |- NN e. _V
16	15	mptex 6124	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
17	3, 16	eqeltri 2546	. . . . 5 |- G e. _V
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> G e. _V )
19		2nn0 10803	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 2 e. NN0 )
21		nnnn0 10793	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
22	20, 21	nn0mulcld 10848	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
23		1nn0 10802	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 10847	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 10844	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR )
27	22	nn0red 10844	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
28		2cnd 10599	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
29		nncn 10535	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n e. CC )
30	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 =/= 0 )
31		nnne0 10559	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
32	28, 29, 30, 31	mulne0d 10192	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) =/= 0 )
33	26, 27, 32	redivcld 10363	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) e. RR )
34	9, 33	fmpti 6037	. . . . . 6 |- L : NN --> RR
35	34	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> L : NN --> RR )
36	35	ffvelrnda 6014	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( L ` k ) e. RR )
37	2	wallispilem3 31324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
38	22, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
39	38	rpred 11247	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR )
40	2	wallispilem3 31324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
41	25, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
42	39, 41	rerpdivcld 11274	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. RR )
43	3, 42	fmpti 6037	. . . . . 6 |- G : NN --> RR
44	43	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : NN --> RR )
45	44	ffvelrnda 6014	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
46	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 e. NN0 )
47		nnnn0 10793	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
48	46, 47	nn0mulcld 10848	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
49	2	wallispilem3 31324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 11247	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR )
52		2nn 10684	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. NN )
54		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN )
55	53, 54	nnmulcld 10574	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN )
56		nnm1nn0 10828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. k ) e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
58	2	wallispilem3 31324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
60	59	rpred 11247	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR )
61	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> 1 e. NN0 )
62	48, 61	nn0addcld 10847	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
63	2	wallispilem3 31324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
65		2cnd 10599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
66		nncn 10535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
67	65, 66	mulcld 9607	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
68		ax-1cn 9541	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 1 e. CC )
70	67, 69	npcand 9925	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. k ) )
71	70	fveq2d 5863	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
72	2, 57	wallispilem1 31322	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
73	71, 72	eqbrtrrd 4464	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
74	51, 60, 64, 73	lediv1dd 11301	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
75	67, 69	addcld 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
76	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 =/= 0 )
77		nnne0 10559	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
78	65, 66, 76, 77	mulne0d 10192	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) =/= 0 )
79	75, 67, 78	divcld 10311	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) e. CC )
80	64	rpcnd 11249	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
81	64	rpne0d 11252	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) =/= 0 )
82	79, 80, 81	divcan4d 10317	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
83		2re 10596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
85		nnre 10534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. RR )
86	84, 85	remulcld 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR )
87		1re 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 e. RR )
89	86, 88	readdcld 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
90	46	nn0ge0d 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 <_ 2 )
91		nnge1 10553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 1 <_ k )
92	84, 85, 90, 91	lemulge11d 10474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( 2 x. k ) )
93	86	ltp1d 10467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
94	84, 86, 89, 92, 93	lelttrd 9730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
95	84, 89, 94	ltled 9723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
96	46	nn0zd 10955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. ZZ )
97	62	nn0zd 10955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ )
98		eluz 11086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
100	95, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
101	2, 100	itgsinexp 31229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) )
102	67, 69	pncand 9922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
103	102	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
104		1e2m1 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = ( 2 - 1 )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
106	105	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) )
107	67, 65, 69	subsub3d 9951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) )
108	106, 107	eqtr2d 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) = ( ( 2 x. k ) - 1 ) )
109	108	fveq2d 5863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
110	103, 109	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
111	101, 110	eqtrd 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
112	111	oveq2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
113	55	peano2nnd 10544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
114	113	nnne0d 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
115	67, 75, 114	divcld 10311	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
116	59	rpcnd 11249	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. CC )
117	79, 115, 116	mulassd 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
118	75, 67, 114, 78	divcan6d 10330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
119	118	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
120	116	mulid2d 9605	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
121	119, 120	eqtrd 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
122	112, 117, 121	3eqtr2d 2509	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
123	122	oveq1d 6292	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
124	82, 123	eqtr3d 2505	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
125	74, 124	breqtrrd 4468	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
126	50, 64	rpdivcld 11264	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
127		nfcv 2624	. . . . . . . 8 |- F/_ n k
128		nfmpt1 4531	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
129	2, 128	nfcxfr 2622	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n I
130		nfcv 2624	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( 2 x. k )
131	129, 130	nffv 5866	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( 2 x. k ) )
132		nfcv 2624	. . . . . . . . 9 |- F/_ n /
133		nfcv 2624	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( 2 x. k ) + 1 )
134	129, 133	nffv 5866	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
135	131, 132, 134	nfov 6300	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
136		oveq2 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
137	136	fveq2d 5863	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( 2 x. n ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
138	136	oveq1d 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
139	138	fveq2d 5863	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6295	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
141	127, 135, 140, 3	fvmptf 5959	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
142	126, 141	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
143	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) ) )
144		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
145	144	oveq2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
146	145	oveq1d 6292	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
147	146, 145	oveq12d 6295	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
148	143, 147, 54, 79	fvmptd 5948	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( L ` k ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
149	125, 142, 148	3brtr4d 4472	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
150	149	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
151	80, 81	dividd 10309	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
152	64	rpred 11247	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
153	2, 48	wallispilem1 31322	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( 2 x. k ) ) )
154	152, 51, 64, 153	lediv1dd 11301	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
155	151, 154	eqbrtrrd 4464	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
156	155, 142	breqtrrd 4468	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( G ` k ) )
157	156	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( G ` k ) )
158	6, 8, 14, 18, 36, 45, 150, 157	climsqz2 13415	. . 3 |- ( T. -> G ~~> 1 )
159	158	trud 1383	. 2 |- G ~~> 1
160	5, 159	eqbrtrri 4463	1 |- H ~~> 1

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   T. wtru 1375   e. wcel 1762   =/= wne 2657   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442   |-> cmpt 4500   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   + caddc 9486   x. cmul 9488   <_ cle 9620   - cmin 9796   / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211   (,)cioo 11520   seqcseq 12065   ^cexp 12124   ~~> cli 13258   sincsin 13652   picpi 13655   S.citg 21757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758  df-itg1 21759  df-itg2 21760  df-ibl 21761  df-itg 21762  df-0p 21807  df-limc 22000  df-dv 22001

This theorem is referenced by:  wallispi  31327