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Theorem wallispilem5 38043
Description: The sequence  H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispilem5.2  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
wallispilem5.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
wallispilem5.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
wallispilem5.5  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
wallispilem5  |-  H  ~~>  1
Distinct variable groups:    k, n, x    x, F    k, G    k, L
Allowed substitution hints:    F( k, n)    G( x, n)    H( x, k, n)    I( x, k, n)    L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
2 wallispilem5.2 . . 3  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
3 wallispilem5.3 . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
4 wallispilem5.4 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
51, 2, 3, 4wallispilem4 38042 . 2  |-  G  =  H
6 nnuz 11218 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1zzd 10992 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
8 wallispilem5.5 . . . . 5  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) ) )
9 2cnd 10704 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
10 2ne0 10724 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  =/=  0
)
12 1cnd 9677 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
138, 9, 11, 12clim1fr1 37776 . . . 4  |-  ( T. 
->  L  ~~>  1 )
14 nnex 10637 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1514mptex 6152 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
163, 15eqeltri 2545 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
18 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
20 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2119, 20nn0mulcld 10954 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
22 1nn0 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
2421, 23nn0addcld 10953 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0 )
2524nn0red 10950 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
2621nn0red 10950 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
27 2cnd 10704 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
28 nncn 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2910a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
30 nnne0 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3127, 28, 29, 30mulne0d 10286 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  =/=  0 )
3225, 26, 31redivcld 10457 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
338, 32fmpti 6060 . . . . . 6  |-  L : NN
--> RR
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  L : NN --> RR )
3534ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
362wallispilem3 38041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
3837rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
392wallispilem3 38041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4138, 40rerpdivcld 11392 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  RR )
423, 41fmpti 6060 . . . . . 6  |-  G : NN
--> RR
4342a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
4443ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
46 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
4745, 46nn0mulcld 10954 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  NN0 )
482wallispilem3 38041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  k ) )  e.  RR+ )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  e.  RR+ )
5049rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  e.  RR )
51 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  NN )
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
5452, 53nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
55 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
572wallispilem3 38041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  e.  RR+ )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  RR+ )
5958rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  RR )
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
6147, 60nn0addcld 10953 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN0 )
622wallispilem3 38041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
64 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
65 nncn 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
6664, 65mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
67 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6866, 67npcand 10009 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  -  1 )  +  1 ) )  =  ( I `  ( 2  x.  k
) ) )
702, 56wallispilem1 38039 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
7169, 70eqbrtrrd 4418 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  <_ 
( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) )
7250, 59, 63, 71lediv1dd 11419 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
7366, 67addcld 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
75 nnne0 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
7664, 65, 74, 75mulne0d 10286 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  =/=  0 )
7773, 66, 76divcld 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
7863rpcnd 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
7963rpne0d 11369 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =/=  0 )
8077, 78, 79divcan4d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
81 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
83 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
8482, 83remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
85 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
8684, 85readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
8745nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
88 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  k )
8982, 83, 87, 88lemulge11d 10566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  k
) )
9084ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9282, 86, 91ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9345nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
9461nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  ZZ )
95 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9693, 94, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
9792, 96mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
982, 97itgsinexp 37928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  2 ) ) ) )
9966, 67pncand 10006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
10099oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
101 1e2m1 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  ( 2  -  1 )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
103102oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  -  1 ) ) )
10466, 64, 67subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
2 ) )
105103, 104eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )
106105fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  2 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
107100, 106oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( I `
 ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
10898, 107eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
109108oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) ) ) ) )
11054peano2nnd 10648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
111110nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
11266, 73, 111divcld 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
11358rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  CC )
11477, 112, 113mulassd 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) ) ) ) )
11573, 66, 111, 76divcan6d 10424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
117113mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
118116, 117eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
119109, 114, 1183eqtr2d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
120119oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
12180, 120eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  =  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
12272, 121breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
12349, 63rpdivcld 11381 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
124 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
k
125 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
1262, 125nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n I
127 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 2  x.  k
)
128126, 127nffv 5886 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( I `  (
2  x.  k ) )
129 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n  /
130 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( 2  x.  k )  +  1 )
131126, 130nffv 5886 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
132128, 129, 131nfov 6334 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
133 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
134133fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  =  ( I `  (
2  x.  k ) ) )
135133oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
136135fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
137134, 136oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
138124, 132, 137, 3fvmptf 5981 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( I `  ( 2  x.  k ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
139123, 138mpdan 681 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
1408a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) ) )
141 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
142141oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
143142oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
144143, 142oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) ) )
145140, 144, 53, 77fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
146122, 139, 1453brtr4d 4426 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
147146adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
14878, 79dividd 10403 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
14963rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
1502, 47wallispilem1 38039 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( I `  ( 2  x.  k
) ) )
151149, 50, 63, 150lediv1dd 11419 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
152148, 151eqbrtrrd 4418 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  ( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
153152, 139breqtrrd 4422 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  ( G `  k
) )
154153adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  ( G `  k
) )
1556, 7, 13, 17, 35, 44, 147, 154climsqz2 13782 . . 3  |-  ( T. 
->  G  ~~>  1 )
156155trud 1461 . 2  |-  G  ~~>  1
1575, 156eqbrtrri 4417 1  |-  H  ~~>  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660    seqcseq 12251   ^cexp 12310    ~~> cli 13625   sincsin 14193   picpi 14196   S.citg 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
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