Theorem wallispilem5 30002

Description: The sequence H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem5.1	|- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.2	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem5.3	|- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.4	|- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
wallispilem5.5	|- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem5	|- H ~~> 1

Distinct variable groups:   k, n, x   x, F   k, G   k, L

Allowed substitution hints:   F( k, n)   G( x, n)   H( x, k, n)   I( x, k, n)   L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 |- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
2		wallispilem5.2	. . 3 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
3		wallispilem5.3	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
4		wallispilem5.4	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 30001	. 2 |- G = H
6		nnuz 10997	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1z 10777	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
9		wallispilem5.5	. . . . 5 |- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )
10		2cnd 10495	. . . . 5 |- ( T. -> 2 e. CC )
11		2ne0 10515	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
13	8	zcnd 10849	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. CC )
14	9, 10, 12, 13	clim1fr1 29912	. . . 4 |- ( T. -> L ~~> 1 )
15		nnex 10429	. . . . . . 7 |- NN e. _V
16	15	mptex 6047	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
17	3, 16	eqeltri 2535	. . . . 5 |- G e. _V
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> G e. _V )
19		2nn0 10697	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 2 e. NN0 )
21		nnnn0 10687	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
22	20, 21	nn0mulcld 10742	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
23		1nn0 10696	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 10741	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 10738	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR )
27	22	nn0red 10738	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
28		2cnd 10495	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
29		nncn 10431	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n e. CC )
30	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 =/= 0 )
31		nnne0 10455	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
32	28, 29, 30, 31	mulne0d 10089	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) =/= 0 )
33	26, 27, 32	redivcld 10260	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) e. RR )
34	9, 33	fmpti 5965	. . . . . 6 |- L : NN --> RR
35	34	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> L : NN --> RR )
36	35	ffvelrnda 5942	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( L ` k ) e. RR )
37	2	wallispilem3 30000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
38	22, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
39	38	rpred 11128	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR )
40	2	wallispilem3 30000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
41	25, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
42	39, 41	rerpdivcld 11155	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. RR )
43	3, 42	fmpti 5965	. . . . . 6 |- G : NN --> RR
44	43	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : NN --> RR )
45	44	ffvelrnda 5942	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
46	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 e. NN0 )
47		nnnn0 10687	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
48	46, 47	nn0mulcld 10742	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
49	2	wallispilem3 30000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 11128	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR )
52		2nn 10580	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. NN )
54		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN )
55	53, 54	nnmulcld 10470	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN )
56		nnm1nn0 10722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. k ) e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
58	2	wallispilem3 30000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
60	59	rpred 11128	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR )
61	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> 1 e. NN0 )
62	48, 61	nn0addcld 10741	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
63	2	wallispilem3 30000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
65		2cnd 10495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
66		nncn 10431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
67	65, 66	mulcld 9507	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
68		ax-1cn 9441	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 1 e. CC )
70	67, 69	npcand 9824	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. k ) )
71	70	fveq2d 5793	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
72	2, 57	wallispilem1 29998	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
73	71, 72	eqbrtrrd 4412	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
74	51, 60, 64, 73	lediv1dd 11182	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
75	67, 69	addcld 9506	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
76	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 =/= 0 )
77		nnne0 10455	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
78	65, 66, 76, 77	mulne0d 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) =/= 0 )
79	75, 67, 78	divcld 10208	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) e. CC )
80	64	rpcnd 11130	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
81	64	rpne0d 11133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) =/= 0 )
82	79, 80, 81	divcan4d 10214	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
83		2re 10492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
85		nnre 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. RR )
86	84, 85	remulcld 9515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR )
87		1re 9486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 e. RR )
89	86, 88	readdcld 9514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
90	46	nn0ge0d 10740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 <_ 2 )
91		nnge1 10449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 1 <_ k )
92	84, 85, 90, 91	lemulge11d 10371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( 2 x. k ) )
93	86	ltp1d 10364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
94	84, 86, 89, 92, 93	lelttrd 9630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
95	84, 89, 94	ltled 9623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
96	46	nn0zd 10846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. ZZ )
97	62	nn0zd 10846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ )
98		eluz 10975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
100	95, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
101	2, 100	itgsinexp 29933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) )
102	67, 69	pncand 9821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
103	102	oveq1d 6205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
104		1e2m1 10538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = ( 2 - 1 )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
106	105	oveq2d 6206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) )
107	67, 65, 69	subsub3d 9850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) )
108	106, 107	eqtr2d 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) = ( ( 2 x. k ) - 1 ) )
109	108	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
110	103, 109	oveq12d 6208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
111	101, 110	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
112	111	oveq2d 6206	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
113	55	peano2nnd 10440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
114	113	nnne0d 10467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
115	67, 75, 114	divcld 10208	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
116	59	rpcnd 11130	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. CC )
117	79, 115, 116	mulassd 9510	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
118	75, 67, 114, 78	divcan6d 10227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
119	118	oveq1d 6205	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
120	116	mulid2d 9505	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
121	119, 120	eqtrd 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
122	112, 117, 121	3eqtr2d 2498	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
123	122	oveq1d 6205	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
124	82, 123	eqtr3d 2494	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
125	74, 124	breqtrrd 4416	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
126	50, 64	rpdivcld 11145	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
127		nfcv 2613	. . . . . . . 8 |- F/_ n k
128		nfmpt1 4479	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
129	2, 128	nfcxfr 2611	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n I
130		nfcv 2613	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( 2 x. k )
131	129, 130	nffv 5796	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( 2 x. k ) )
132		nfcv 2613	. . . . . . . . 9 |- F/_ n /
133		nfcv 2613	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( 2 x. k ) + 1 )
134	129, 133	nffv 5796	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
135	131, 132, 134	nfov 6213	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
136		oveq2 6198	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
137	136	fveq2d 5793	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( 2 x. n ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
138	136	oveq1d 6205	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
139	138	fveq2d 5793	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6208	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
141	127, 135, 140, 3	fvmptf 5889	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
142	126, 141	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
143	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) ) )
144		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
145	144	oveq2d 6206	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
146	145	oveq1d 6205	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
147	146, 145	oveq12d 6208	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
148	143, 147, 54, 79	fvmptd 5878	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( L ` k ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
149	125, 142, 148	3brtr4d 4420	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
150	149	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
151	80, 81	dividd 10206	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
152	64	rpred 11128	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
153	2, 48	wallispilem1 29998	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( 2 x. k ) ) )
154	152, 51, 64, 153	lediv1dd 11182	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
155	151, 154	eqbrtrrd 4412	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
156	155, 142	breqtrrd 4416	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( G ` k ) )
157	156	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( G ` k ) )
158	6, 8, 14, 18, 36, 45, 150, 157	climsqz2 13221	. . 3 |- ( T. -> G ~~> 1 )
159	158	trud 1379	. 2 |- G ~~> 1
160	5, 159	eqbrtrri 4411	1 |- H ~~> 1

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   =/= wne 2644   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390   |-> cmpt 4448   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   x. cmul 9388   <_ cle 9520   - cmin 9696   / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   (,)cioo 11401   seqcseq 11907   ^cexp 11966   ~~> cli 13064   sincsin 13451   picpi 13454   S.citg 21214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cc 8705  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4361  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-ofr 6421  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-ovol 21064  df-vol 21065  df-mbf 21215  df-itg1 21216  df-itg2 21217  df-ibl 21218  df-itg 21219  df-0p 21264  df-limc 21457  df-dv 21458

This theorem is referenced by:  wallispi  30003