Theorem wallispilem5 37499

Description: The sequence H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem5.1	|- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.2	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem5.3	|- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.4	|- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
wallispilem5.5	|- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem5	|- H ~~> 1

Distinct variable groups:   k, n, x   x, F   k, G   k, L

Allowed substitution hints:   F( k, n)   G( x, n)   H( x, k, n)   I( x, k, n)   L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 |- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
2		wallispilem5.2	. . 3 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
3		wallispilem5.3	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
4		wallispilem5.4	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 37498	. 2 |- G = H
6		nnuz 11194	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1zzd 10968	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
8		wallispilem5.5	. . . . 5 |- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )
9		2cnd 10682	. . . . 5 |- ( T. -> 2 e. CC )
10		2ne0 10702	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
12		1cnd 9658	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. CC )
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 37250	. . . 4 |- ( T. -> L ~~> 1 )
14		nnex 10615	. . . . . . 7 |- NN e. _V
15	14	mptex 6151	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
16	3, 15	eqeltri 2513	. . . . 5 |- G e. _V
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> G e. _V )
18		2nn0 10886	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 2 e. NN0 )
20		nnnn0 10876	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
21	19, 20	nn0mulcld 10930	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
22		1nn0 10885	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. NN0 )
24	21, 23	nn0addcld 10929	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 )
25	24	nn0red 10926	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR )
26	21	nn0red 10926	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
27		2cnd 10682	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
28		nncn 10617	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n e. CC )
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 =/= 0 )
30		nnne0 10642	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 10263	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) =/= 0 )
32	25, 26, 31	redivcld 10434	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) e. RR )
33	8, 32	fmpti 6060	. . . . . 6 |- L : NN --> RR
34	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> L : NN --> RR )
35	34	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( L ` k ) e. RR )
36	2	wallispilem3 37497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
38	37	rpred 11341	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR )
39	2	wallispilem3 37497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
40	24, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
41	38, 40	rerpdivcld 11369	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. RR )
42	3, 41	fmpti 6060	. . . . . 6 |- G : NN --> RR
43	42	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : NN --> RR )
44	43	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 e. NN0 )
46		nnnn0 10876	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
47	45, 46	nn0mulcld 10930	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
48	2	wallispilem3 37497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
50	49	rpred 11341	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR )
51		2nn 10767	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. NN )
53		id 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN )
54	52, 53	nnmulcld 10657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN )
55		nnm1nn0 10911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. k ) e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
57	2	wallispilem3 37497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
59	58	rpred 11341	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR )
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> 1 e. NN0 )
61	47, 60	nn0addcld 10929	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
62	2	wallispilem3 37497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
64		2cnd 10682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
65		nncn 10617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
66	64, 65	mulcld 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
67		1cnd 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 1 e. CC )
68	66, 67	npcand 9989	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. k ) )
69	68	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
70	2, 56	wallispilem1 37495	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
71	69, 70	eqbrtrrd 4448	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 11396	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
73	66, 67	addcld 9661	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 =/= 0 )
75		nnne0 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 10263	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) =/= 0 )
77	73, 66, 76	divcld 10382	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) e. CC )
78	63	rpcnd 11343	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
79	63	rpne0d 11346	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) =/= 0 )
80	77, 78, 79	divcan4d 10388	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
81		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
83		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. RR )
84	82, 83	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR )
85		1red 9657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 e. RR )
86	84, 85	readdcld 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
87	45	nn0ge0d 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 <_ 2 )
88		nnge1 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 1 <_ k )
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 10544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( 2 x. k ) )
90	84	ltp1d 10537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
92	82, 86, 91	ltled 9782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
93	45	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. ZZ )
94	61	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ )
95		eluz 11172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
96	93, 94, 95	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
97	92, 96	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
98	2, 97	itgsinexp 37399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) )
99	66, 67	pncand 9986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
100	99	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
101		1e2m1 10725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = ( 2 - 1 )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
103	102	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) )
104	66, 64, 67	subsub3d 10015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) )
105	103, 104	eqtr2d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) = ( ( 2 x. k ) - 1 ) )
106	105	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
107	100, 106	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
108	98, 107	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
109	108	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
110	54	peano2nnd 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
111	110	nnne0d 10654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
112	66, 73, 111	divcld 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
113	58	rpcnd 11343	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. CC )
114	77, 112, 113	mulassd 9665	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 10401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
116	115	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
117	113	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
118	116, 117	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
120	119	oveq1d 6320	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
121	80, 120	eqtr3d 2472	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
122	72, 121	breqtrrd 4452	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
123	49, 63	rpdivcld 11358	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
124		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ n k
125		nfmpt1 4515	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
126	2, 125	nfcxfr 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n I
127		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( 2 x. k )
128	126, 127	nffv 5888	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( 2 x. k ) )
129		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ n /
130		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( 2 x. k ) + 1 )
131	126, 130	nffv 5888	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
132	128, 129, 131	nfov 6331	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
133		oveq2 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
134	133	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( 2 x. n ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
135	133	oveq1d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
136	135	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
137	134, 136	oveq12d 6323	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
138	124, 132, 137, 3	fvmptf 5982	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
139	123, 138	mpdan 672	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
140	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) ) )
141		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
142	141	oveq2d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
143	142	oveq1d 6320	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
144	143, 142	oveq12d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
145	140, 144, 53, 77	fvmptd 5970	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( L ` k ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
146	122, 139, 145	3brtr4d 4456	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
147	146	adantl 467	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
148	78, 79	dividd 10380	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
149	63	rpred 11341	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
150	2, 47	wallispilem1 37495	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( 2 x. k ) ) )
151	149, 50, 63, 150	lediv1dd 11396	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
152	148, 151	eqbrtrrd 4448	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
153	152, 139	breqtrrd 4452	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( G ` k ) )
154	153	adantl 467	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( G ` k ) )
155	6, 7, 13, 17, 35, 44, 147, 154	climsqz2 13683	. . 3 |- ( T. -> G ~~> 1 )
156	155	trud 1446	. 2 |- G ~~> 1
157	5, 156	eqbrtrri 4447	1 |- H ~~> 1

Syntax hints:   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1870   =/= wne 2625   _Vcvv 3087   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   <_ cle 9675   - cmin 9859   / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   seqcseq 12210   ^cexp 12269   ~~> cli 13526   sincsin 14094   picpi 14097   S.citg 22453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699

This theorem is referenced by:  wallispi  37500