Theorem wallispilem5 29789

Description: The sequence H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem5.1	|- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.2	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem5.3	|- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.4	|- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
wallispilem5.5	|- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem5	|- H ~~> 1

Distinct variable groups:   k, n, x   x, F   k, G   k, L

Allowed substitution hints:   F( k, n)   G( x, n)   H( x, k, n)   I( x, k, n)   L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 |- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
2		wallispilem5.2	. . 3 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
3		wallispilem5.3	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
4		wallispilem5.4	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 29788	. 2 |- G = H
6		nnuz 10892	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1z 10672	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
9		wallispilem5.5	. . . . 5 |- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )
10		2cnd 10390	. . . . 5 |- ( T. -> 2 e. CC )
11		2ne0 10410	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
13	8	zcnd 10744	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. CC )
14	9, 10, 12, 13	clim1fr1 29699	. . . 4 |- ( T. -> L ~~> 1 )
15		nnex 10324	. . . . . . 7 |- NN e. _V
16	15	mptex 5945	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
17	3, 16	eqeltri 2511	. . . . 5 |- G e. _V
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> G e. _V )
19		2nn0 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 2 e. NN0 )
21		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
22	20, 21	nn0mulcld 10637	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
23		1nn0 10591	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 10636	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 10633	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR )
27	22	nn0red 10633	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
28		2cnd 10390	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
29		nncn 10326	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n e. CC )
30	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 =/= 0 )
31		nnne0 10350	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
32	28, 29, 30, 31	mulne0d 9984	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) =/= 0 )
33	26, 27, 32	redivcld 10155	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) e. RR )
34	9, 33	fmpti 5863	. . . . . 6 |- L : NN --> RR
35	34	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> L : NN --> RR )
36	35	ffvelrnda 5840	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( L ` k ) e. RR )
37	2	wallispilem3 29787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
38	22, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
39	38	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR )
40	2	wallispilem3 29787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
41	25, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
42	39, 41	rerpdivcld 11050	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. RR )
43	3, 42	fmpti 5863	. . . . . 6 |- G : NN --> RR
44	43	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : NN --> RR )
45	44	ffvelrnda 5840	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
46	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 e. NN0 )
47		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
48	46, 47	nn0mulcld 10637	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
49	2	wallispilem3 29787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR )
52		2nn 10475	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. NN )
54		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN )
55	53, 54	nnmulcld 10365	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN )
56		nnm1nn0 10617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. k ) e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
58	2	wallispilem3 29787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
60	59	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR )
61	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> 1 e. NN0 )
62	48, 61	nn0addcld 10636	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
63	2	wallispilem3 29787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
65		2cnd 10390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
66		nncn 10326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
67	65, 66	mulcld 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
68		ax-1cn 9336	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 1 e. CC )
70	67, 69	npcand 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. k ) )
71	70	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
72	2, 57	wallispilem1 29785	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
73	71, 72	eqbrtrrd 4311	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
74	51, 60, 64, 73	lediv1dd 11077	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
75	67, 69	addcld 9401	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
76	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 =/= 0 )
77		nnne0 10350	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
78	65, 66, 76, 77	mulne0d 9984	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) =/= 0 )
79	75, 67, 78	divcld 10103	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) e. CC )
80	64	rpcnd 11025	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
81	64	rpne0d 11028	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) =/= 0 )
82	79, 80, 81	divcan4d 10109	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
83		2re 10387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
85		nnre 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. RR )
86	84, 85	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR )
87		1re 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 e. RR )
89	86, 88	readdcld 9409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
90	46	nn0ge0d 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 <_ 2 )
91		nnge1 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 1 <_ k )
92	84, 85, 90, 91	lemulge11d 10266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( 2 x. k ) )
93	86	ltp1d 10259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
94	84, 86, 89, 92, 93	lelttrd 9525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
95	84, 89, 94	ltled 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
96	46	nn0zd 10741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. ZZ )
97	62	nn0zd 10741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ )
98		eluz 10870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
100	95, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
101	2, 100	itgsinexp 29720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) )
102	67, 69	pncand 9716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
103	102	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
104		1e2m1 10433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = ( 2 - 1 )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
106	105	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) )
107	67, 65, 69	subsub3d 9745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) )
108	106, 107	eqtr2d 2474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) = ( ( 2 x. k ) - 1 ) )
109	108	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
110	103, 109	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
111	101, 110	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
112	111	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
113	55	peano2nnd 10335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
114	113	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
115	67, 75, 114	divcld 10103	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
116	59	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. CC )
117	79, 115, 116	mulassd 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
118	75, 67, 114, 78	divcan6d 10122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
119	118	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
120	116	mulid2d 9400	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
121	119, 120	eqtrd 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
122	112, 117, 121	3eqtr2d 2479	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
123	122	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
124	82, 123	eqtr3d 2475	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
125	74, 124	breqtrrd 4315	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
126	50, 64	rpdivcld 11040	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
127		nfcv 2577	. . . . . . . 8 |- F/_ n k
128		nfmpt1 4378	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
129	2, 128	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n I
130		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( 2 x. k )
131	129, 130	nffv 5695	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( 2 x. k ) )
132		nfcv 2577	. . . . . . . . 9 |- F/_ n /
133		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( 2 x. k ) + 1 )
134	129, 133	nffv 5695	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
135	131, 132, 134	nfov 6113	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
136		oveq2 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
137	136	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( 2 x. n ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
138	136	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
139	138	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
141	127, 135, 140, 3	fvmptf 5787	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
142	126, 141	mpdan 663	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
143	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) ) )
144		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
145	144	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
146	145	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
147	146, 145	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
148	143, 147, 54, 79	fvmptd 5776	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( L ` k ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
149	125, 142, 148	3brtr4d 4319	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
150	149	adantl 463	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
151	80, 81	dividd 10101	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
152	64	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
153	2, 48	wallispilem1 29785	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( 2 x. k ) ) )
154	152, 51, 64, 153	lediv1dd 11077	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
155	151, 154	eqbrtrrd 4311	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
156	155, 142	breqtrrd 4315	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( G ` k ) )
157	156	adantl 463	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( G ` k ) )
158	6, 8, 14, 18, 36, 45, 150, 157	climsqz2 13115	. . 3 |- ( T. -> G ~~> 1 )
159	158	trud 1373	. 2 |- G ~~> 1
160	5, 159	eqbrtrri 4310	1 |- H ~~> 1

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 1761   =/= wne 2604   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   seqcseq 11802   ^cexp 11861   ~~> cli 12958   sincsin 13345   picpi 13348   S.citg 21057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301

This theorem is referenced by:  wallispi  29790