Theorem wallispilem5 38043

Description: The sequence H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem5.1	|- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.2	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem5.3	|- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
wallispilem5.4	|- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
wallispilem5.5	|- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem5	|- H ~~> 1

Distinct variable groups:   k, n, x   x, F   k, G   k, L

Allowed substitution hints:   F( k, n)   G( x, n)   H( x, k, n)   I( x, k, n)   L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 |- F = ( k e. NN |-> ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
2		wallispilem5.2	. . 3 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
3		wallispilem5.3	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
4		wallispilem5.4	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> ( ( pi / 2 ) x. ( 1 / ( seq 1 ( x. , F ) ` n ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 38042	. 2 |- G = H
6		nnuz 11218	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1zzd 10992	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
8		wallispilem5.5	. . . . 5 |- L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) )
9		2cnd 10704	. . . . 5 |- ( T. -> 2 e. CC )
10		2ne0 10724	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
12		1cnd 9677	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. CC )
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 37776	. . . 4 |- ( T. -> L ~~> 1 )
14		nnex 10637	. . . . . . 7 |- NN e. _V
15	14	mptex 6152	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
16	3, 15	eqeltri 2545	. . . . 5 |- G e. _V
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> G e. _V )
18		2nn0 10910	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 2 e. NN0 )
20		nnnn0 10900	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
21	19, 20	nn0mulcld 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
22		1nn0 10909	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 1 e. NN0 )
24	21, 23	nn0addcld 10953	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 )
25	24	nn0red 10950	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR )
26	21	nn0red 10950	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
27		2cnd 10704	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
28		nncn 10639	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n e. CC )
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> 2 =/= 0 )
30		nnne0 10664	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 10286	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) =/= 0 )
32	25, 26, 31	redivcld 10457	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) e. RR )
33	8, 32	fmpti 6060	. . . . . 6 |- L : NN --> RR
34	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> L : NN --> RR )
35	34	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( L ` k ) e. RR )
36	2	wallispilem3 38041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
38	37	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( 2 x. n ) ) e. RR )
39	2	wallispilem3 38041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
40	24, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR+ )
41	38, 40	rerpdivcld 11392	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. RR )
42	3, 41	fmpti 6060	. . . . . 6 |- G : NN --> RR
43	42	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : NN --> RR )
44	43	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 e. NN0 )
46		nnnn0 10900	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
47	45, 46	nn0mulcld 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
48	2	wallispilem3 38041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR+ )
50	49	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) e. RR )
51		2nn 10790	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. NN )
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN )
54	52, 53	nnmulcld 10679	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. NN )
55		nnm1nn0 10935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. k ) e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 )
57	2	wallispilem3 38041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR+ )
59	58	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. RR )
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> 1 e. NN0 )
61	47, 60	nn0addcld 10953	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
62	2	wallispilem3 38041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR+ )
64		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
65		nncn 10639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
66	64, 65	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
67		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 1 e. CC )
68	66, 67	npcand 10009	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. k ) )
69	68	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
70	2, 56	wallispilem1 38039	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) - 1 ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
71	69, 70	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( 2 x. k ) ) <_ ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 11419	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
73	66, 67	addcld 9680	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 2 =/= 0 )
75		nnne0 10664	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 10286	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) =/= 0 )
77	73, 66, 76	divcld 10405	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) e. CC )
78	63	rpcnd 11366	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
79	63	rpne0d 11369	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) =/= 0 )
80	77, 78, 79	divcan4d 10411	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
81		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
83		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. RR )
84	82, 83	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR )
85		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 e. RR )
86	84, 85	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. RR )
87	45	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 <_ 2 )
88		nnge1 10657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 1 <_ k )
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 10566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( 2 x. k ) )
90	84	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
92	82, 86, 91	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
93	45	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> 2 e. ZZ )
94	61	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ )
95		eluz 11196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
96	93, 94, 95	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
97	92, 96	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
98	2, 97	itgsinexp 37928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) )
99	66, 67	pncand 10006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
100	99	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
101		1e2m1 10747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = ( 2 - 1 )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
103	102	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - 1 ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) )
104	66, 64, 67	subsub3d 10035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) )
105	103, 104	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) = ( ( 2 x. k ) - 1 ) )
106	105	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
107	100, 106	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
108	98, 107	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
109	108	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
110	54	peano2nnd 10648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
111	110	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
112	66, 73, 111	divcld 10405	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
113	58	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) e. CC )
114	77, 112, 113	mulassd 9684	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) ) )
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 10424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
116	115	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) )
117	113	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
118	116, 117	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( ( 2 x. k ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) )
120	119	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) x. ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
121	80, 120	eqtr3d 2507	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) = ( ( I ` ( ( 2 x. k ) - 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
122	72, 121	breqtrrd 4422	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
123	49, 63	rpdivcld 11381	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
124		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ n k
125		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
126	2, 125	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n I
127		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( 2 x. k )
128	126, 127	nffv 5886	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( 2 x. k ) )
129		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ n /
130		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( 2 x. k ) + 1 )
131	126, 130	nffv 5886	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
132	128, 129, 131	nfov 6334	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
133		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
134	133	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( 2 x. n ) ) = ( I ` ( 2 x. k ) ) )
135	133	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
136	135	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
137	134, 136	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( I ` ( 2 x. n ) ) / ( I ` ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
138	124, 132, 137, 3	fvmptf 5981	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
139	123, 138	mpdan 681	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
140	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> L = ( n e. NN |-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) ) )
141		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
142	141	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
143	142	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
144	143, 142	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. n ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
145	140, 144, 53, 77	fvmptd 5969	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( L ` k ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. k ) ) )
146	122, 139, 145	3brtr4d 4426	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
147	146	adantl 473	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( L ` k ) )
148	78, 79	dividd 10403	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = 1 )
149	63	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
150	2, 47	wallispilem1 38039	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) <_ ( I ` ( 2 x. k ) ) )
151	149, 50, 63, 150	lediv1dd 11419	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
152	148, 151	eqbrtrrd 4418	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( ( I ` ( 2 x. k ) ) / ( I ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
153	152, 139	breqtrrd 4422	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 1 <_ ( G ` k ) )
154	153	adantl 473	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( G ` k ) )
155	6, 7, 13, 17, 35, 44, 147, 154	climsqz2 13782	. . 3 |- ( T. -> G ~~> 1 )
156	155	trud 1461	. 2 |- G ~~> 1
157	5, 156	eqbrtrri 4417	1 |- H ~~> 1

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   seqcseq 12251   ^cexp 12310   ~~> cli 13625   sincsin 14193   picpi 14196   S.citg 22655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  wallispi  38044