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Theorem wallispilem5 31326
Description: The sequence  H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispilem5.2  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
wallispilem5.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
wallispilem5.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
wallispilem5.5  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
wallispilem5  |-  H  ~~>  1
Distinct variable groups:    k, n, x    x, F    k, G    k, L
Allowed substitution hints:    F( k, n)    G( x, n)    H( x, k, n)    I( x, k, n)    L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
2 wallispilem5.2 . . 3  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
3 wallispilem5.3 . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
4 wallispilem5.4 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
51, 2, 3, 4wallispilem4 31325 . 2  |-  G  =  H
6 nnuz 11108 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10885 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
9 wallispilem5.5 . . . . 5  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) ) )
10 2cnd 10599 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
11 2ne0 10619 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  =/=  0
)
138zcnd 10958 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
149, 10, 12, 13clim1fr1 31100 . . . 4  |-  ( T. 
->  L  ~~>  1 )
15 nnex 10533 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1615mptex 6124 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
173, 16eqeltri 2546 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
19 2nn0 10803 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
21 nnnn0 10793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2220, 21nn0mulcld 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
23 1nn0 10802 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
2522, 24nn0addcld 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0 )
2625nn0red 10844 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
2722nn0red 10844 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
28 2cnd 10599 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
29 nncn 10535 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3011a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
31 nnne0 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3228, 29, 30, 31mulne0d 10192 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  =/=  0 )
3326, 27, 32redivcld 10363 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
349, 33fmpti 6037 . . . . . 6  |-  L : NN
--> RR
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  L : NN --> RR )
3635ffvelrnda 6014 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
372wallispilem3 31324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
3822, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
3938rpred 11247 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
402wallispilem3 31324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4125, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4239, 41rerpdivcld 11274 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  RR )
433, 42fmpti 6037 . . . . . 6  |-  G : NN
--> RR
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
4544ffvelrnda 6014 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4619a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
47 nnnn0 10793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
4846, 47nn0mulcld 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  NN0 )
492wallispilem3 31324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  k ) )  e.  RR+ )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  e.  RR+ )
5150rpred 11247 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  e.  RR )
52 2nn 10684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  NN )
54 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
5553, 54nnmulcld 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
56 nnm1nn0 10828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
582wallispilem3 31324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  e.  RR+ )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  RR+ )
6059rpred 11247 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  RR )
6123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
6248, 61nn0addcld 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN0 )
632wallispilem3 31324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
65 2cnd 10599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
66 nncn 10535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
6765, 66mulcld 9607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
68 ax-1cn 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7067, 69npcand 9925 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
7170fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  -  1 )  +  1 ) )  =  ( I `  ( 2  x.  k
) ) )
722, 57wallispilem1 31322 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
7371, 72eqbrtrrd 4464 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  <_ 
( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) )
7451, 60, 64, 73lediv1dd 11301 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
7567, 69addcld 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
7611a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
77 nnne0 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
7865, 66, 76, 77mulne0d 10192 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  =/=  0 )
7975, 67, 78divcld 10311 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
8064rpcnd 11249 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
8164rpne0d 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =/=  0 )
8279, 80, 81divcan4d 10317 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
83 2re 10596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
85 nnre 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
8684, 85remulcld 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
87 1re 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
8986, 88readdcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
9046nn0ge0d 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
91 nnge1 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  k )
9284, 85, 90, 91lemulge11d 10474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  k
) )
9386ltp1d 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9484, 86, 89, 92, 93lelttrd 9730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9584, 89, 94ltled 9723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9646nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
9762nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  ZZ )
98 eluz 11086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9996, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
10095, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
1012, 100itgsinexp 31229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  2 ) ) ) )
10267, 69pncand 9922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
103102oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
104 1e2m1 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  ( 2  -  1 )
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
106105oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  -  1 ) ) )
10767, 65, 69subsub3d 9951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
2 ) )
108106, 107eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )
109108fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  2 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
110103, 109oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( I `
 ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
111101, 110eqtrd 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
112111oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) ) ) ) )
11355peano2nnd 10544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
114113nnne0d 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
11567, 75, 114divcld 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
11659rpcnd 11249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  CC )
11779, 115, 116mulassd 9610 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) ) ) ) )
11875, 67, 114, 78divcan6d 10330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
119118oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
120116mulid2d 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
121119, 120eqtrd 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
122112, 117, 1213eqtr2d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
123122oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
12482, 123eqtr3d 2505 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  =  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
12574, 124breqtrrd 4468 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
12650, 64rpdivcld 11264 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
127 nfcv 2624 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
k
128 nfmpt1 4531 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
1292, 128nfcxfr 2622 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n I
130 nfcv 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 2  x.  k
)
131129, 130nffv 5866 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( I `  (
2  x.  k ) )
132 nfcv 2624 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n  /
133 nfcv 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( 2  x.  k )  +  1 )
134129, 133nffv 5866 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
135131, 132, 134nfov 6300 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
136 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
137136fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  =  ( I `  (
2  x.  k ) ) )
138136oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
139138fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
140137, 139oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
141127, 135, 140, 3fvmptf 5959 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( I `  ( 2  x.  k ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
142126, 141mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
1439a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) ) )
144 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
145144oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
146145oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
147146, 145oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) ) )
148143, 147, 54, 79fvmptd 5948 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
149125, 142, 1483brtr4d 4472 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
150149adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
15180, 81dividd 10309 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
15264rpred 11247 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
1532, 48wallispilem1 31322 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( I `  ( 2  x.  k
) ) )
154152, 51, 64, 153lediv1dd 11301 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
155151, 154eqbrtrrd 4464 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  ( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
156155, 142breqtrrd 4468 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  ( G `  k
) )
157156adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  ( G `  k
) )
1586, 8, 14, 18, 36, 45, 150, 157climsqz2 13415 . . 3  |-  ( T. 
->  G  ~~>  1 )
159158trud 1383 . 2  |-  G  ~~>  1
1605, 159eqbrtrri 4463 1  |-  H  ~~>  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    =/= wne 2657   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    <_ cle 9620    - cmin 9796    / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211   (,)cioo 11520    seqcseq 12065   ^cexp 12124    ~~> cli 13258   sincsin 13652   picpi 13655   S.citg 21757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758  df-itg1 21759  df-itg2 21760  df-ibl 21761  df-itg 21762  df-0p 21807  df-limc 22000  df-dv 22001
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