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Theorem wallispilem5 29789
Description: The sequence  H converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispilem5.2  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
wallispilem5.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
wallispilem5.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
wallispilem5.5  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
wallispilem5  |-  H  ~~>  1
Distinct variable groups:    k, n, x    x, F    k, G    k, L
Allowed substitution hints:    F( k, n)    G( x, n)    H( x, k, n)    I( x, k, n)    L( x, n)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
2 wallispilem5.2 . . 3  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
3 wallispilem5.3 . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
4 wallispilem5.4 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
51, 2, 3, 4wallispilem4 29788 . 2  |-  G  =  H
6 nnuz 10892 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10672 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
9 wallispilem5.5 . . . . 5  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) ) )
10 2cnd 10390 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
11 2ne0 10410 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  =/=  0
)
138zcnd 10744 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
149, 10, 12, 13clim1fr1 29699 . . . 4  |-  ( T. 
->  L  ~~>  1 )
15 nnex 10324 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1615mptex 5945 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
173, 16eqeltri 2511 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
19 2nn0 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
21 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2220, 21nn0mulcld 10637 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
23 1nn0 10591 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
2522, 24nn0addcld 10636 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0 )
2625nn0red 10633 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
2722nn0red 10633 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
28 2cnd 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
29 nncn 10326 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3011a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
31 nnne0 10350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3228, 29, 30, 31mulne0d 9984 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  =/=  0 )
3326, 27, 32redivcld 10155 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
349, 33fmpti 5863 . . . . . 6  |-  L : NN
--> RR
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  L : NN --> RR )
3635ffvelrnda 5840 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
372wallispilem3 29787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
3822, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
3938rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
402wallispilem3 29787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4125, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4239, 41rerpdivcld 11050 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  RR )
433, 42fmpti 5863 . . . . . 6  |-  G : NN
--> RR
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
4544ffvelrnda 5840 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4619a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
47 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
4846, 47nn0mulcld 10637 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  NN0 )
492wallispilem3 29787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  k ) )  e.  RR+ )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  e.  RR+ )
5150rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  e.  RR )
52 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  NN )
54 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
5553, 54nnmulcld 10365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
56 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
582wallispilem3 29787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  e.  RR+ )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  RR+ )
6059rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  RR )
6123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
6248, 61nn0addcld 10636 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN0 )
632wallispilem3 29787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
65 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
66 nncn 10326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
6765, 66mulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
68 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7067, 69npcand 9719 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
7170fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  -  1 )  +  1 ) )  =  ( I `  ( 2  x.  k
) ) )
722, 57wallispilem1 29785 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
7371, 72eqbrtrrd 4311 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  k ) )  <_ 
( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) )
7451, 60, 64, 73lediv1dd 11077 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
7567, 69addcld 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
7611a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
77 nnne0 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
7865, 66, 76, 77mulne0d 9984 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  =/=  0 )
7975, 67, 78divcld 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
8064rpcnd 11025 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
8164rpne0d 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =/=  0 )
8279, 80, 81divcan4d 10109 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
83 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
85 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
8684, 85remulcld 9410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
87 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
8986, 88readdcld 9409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
9046nn0ge0d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
91 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  k )
9284, 85, 90, 91lemulge11d 10266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  k
) )
9386ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9484, 86, 89, 92, 93lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9584, 89, 94ltled 9518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  2  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9646nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
9762nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  ZZ )
98 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9996, 97, 98syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
10095, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
1012, 100itgsinexp 29720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  2 ) ) ) )
10267, 69pncand 9716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
103102oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
104 1e2m1 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  ( 2  -  1 )
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
106105oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  -  1 ) ) )
10767, 65, 69subsub3d 9745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
2 ) )
108106, 107eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )
109108fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  2 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
110103, 109oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( I `
 ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
111101, 110eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
112111oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) ) ) ) )
11355peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
114113nnne0d 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
11567, 75, 114divcld 10103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
11659rpcnd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) )  e.  CC )
11779, 115, 116mulassd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  -  1 ) ) ) ) )
11875, 67, 114, 78divcan6d 10122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
119118oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( I `  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ) )
120116mulid2d 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
121119, 120eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
122112, 117, 1213eqtr2d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  (
2  x.  k ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) )
123122oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
12482, 123eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) )  =  ( ( I `
 ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
12574, 124breqtrrd 4315 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
12650, 64rpdivcld 11040 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  k ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
127 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
k
128 nfmpt1 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
1292, 128nfcxfr 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n I
130 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 2  x.  k
)
131129, 130nffv 5695 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( I `  (
2  x.  k ) )
132 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n  /
133 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( 2  x.  k )  +  1 )
134129, 133nffv 5695 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
135131, 132, 134nfov 6113 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
136 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
137136fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
I `  ( 2  x.  n ) )  =  ( I `  (
2  x.  k ) ) )
138136oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
139138fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
140137, 139oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
141127, 135, 140, 3fvmptf 5787 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( I `  ( 2  x.  k ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
142126, 141mpdan 663 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
1439a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) ) )
144 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
145144oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
146145oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
147146, 145oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  /  ( 2  x.  k ) ) )
148143, 147, 54, 79fvmptd 5776 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  / 
( 2  x.  k
) ) )
149125, 142, 1483brtr4d 4319 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
150149adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
15180, 81dividd 10101 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
15264rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
1532, 48wallispilem1 29785 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( I `  ( 2  x.  k
) ) )
154152, 51, 64, 153lediv1dd 11077 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  <_  ( ( I `
 ( 2  x.  k ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
155151, 154eqbrtrrd 4311 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  ( ( I `  ( 2  x.  k
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
156155, 142breqtrrd 4315 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  ( G `  k
) )
157156adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  ( G `  k
) )
1586, 8, 14, 18, 36, 45, 150, 157climsqz2 13115 . . 3  |-  ( T. 
->  G  ~~>  1 )
159158trud 1373 . 2  |-  G  ~~>  1
1605, 159eqbrtrri 4310 1  |-  H  ~~>  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   (,)cioo 11296    seqcseq 11802   ^cexp 11861    ~~> cli 12958   sincsin 13345   picpi 13348   S.citg 21057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301
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