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Theorem wallispilem4 27684
Description:  F maps to explicit expression for the ratio of two consecutive values of  I (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem4.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispilem4.2  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  z ) ^ n
)  _d z )
wallispilem4.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
wallispilem4.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
wallispilem4  |-  G  =  H
Distinct variable groups:    z, n    z, F
Allowed substitution hints:    F( k, n)    G( z, k, n)    H( z, k, n)    I( z,
k, n)

Proof of Theorem wallispilem4
Dummy variables  w  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
21fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
I `  ( 2  x.  x ) )  =  ( I `  (
2  x.  1 ) ) )
31oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )
43fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )
52, 4oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( I `  (
2  x.  x ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) ) ) )
6 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
76oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) ) )
87oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  x )
) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
) ) )
95, 8eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( I `  ( 2  x.  x
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x ) ) )  <->  ( ( I `
 ( 2  x.  1 ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
) ) ) )
10 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
1110fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  ( 2  x.  x ) )  =  ( I `  (
2  x.  y ) ) )
1210oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
1312fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
1411, 13oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( I `  (
2  x.  x ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  y ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ) )
15 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) )
1615oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )
1716oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  x )
) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  y )
) ) )
1814, 17eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( I `  ( 2  x.  x
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x ) ) )  <->  ( ( I `
 ( 2  x.  y ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  y )
) ) ) )
19 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
I `  ( 2  x.  x ) )  =  ( I `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
2119oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) )
2221fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )
2320, 22oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( I `  (
2  x.  x ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) )
24 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) ) )
2524oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) ) ) )
2625oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  x )
) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
2723, 26eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( I `  ( 2  x.  x
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x ) ) )  <->  ( ( I `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
2928fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
I `  ( 2  x.  x ) )  =  ( I `  (
2  x.  n ) ) )
3028oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
3130fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
3229, 31oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( I `  (
2  x.  x ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
33 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )
3433oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )
3534oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  x )
) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )
3632, 35eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( I `  ( 2  x.  x
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x ) ) )  <->  ( ( I `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) )
37 2cn 10026 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
3837mulid1i 9048 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3938fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( I `
 ( 2  x.  1 ) )  =  ( I `  2
)
4038oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
41 2p1e3 10059 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4240, 41eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
4342fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( I `
 ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  =  ( I `  3
)
4439, 43oveq12i 6052 . . . . 5  |-  ( ( I `  ( 2  x.  1 ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( I ` 
2 )  /  (
I `  3 )
)
45 2z 10268 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
46 uzid 10456 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
48 wallispilem4.2 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  z ) ^ n
)  _d z )
4948wallispilem2 27682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  (
2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  2 )  =  ( ( ( 2  -  1 )  /  2 )  x.  ( I `  (
2  -  2 ) ) ) ) )
5049simp3i 968 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  2 )  =  ( ( ( 2  -  1 )  / 
2 )  x.  (
I `  ( 2  -  2 ) ) ) )
5147, 50ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( I `
 2 )  =  ( ( ( 2  -  1 )  / 
2 )  x.  (
I `  ( 2  -  2 ) ) )
52 2m1e1 10051 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
5352oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
5437subidi 9327 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  2 )  =  0
5554fveq2i 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( I `
 ( 2  -  2 ) )  =  ( I `  0
)
5649simp1i 966 . . . . . . . . 9  |-  ( I `
 0 )  =  pi
5755, 56eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 ( 2  -  2 ) )  =  pi
5853, 57oveq12i 6052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  -  1 )  /  2 )  x.  ( I `  ( 2  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  pi )
59 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
60 2ne0 10039 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
6137, 60pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
62 pire 20325 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
6362recni 9058 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
64 div32 9654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  pi  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  =  ( 1  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
6559, 61, 63, 64mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
6663, 37, 60divcli 9712 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
6766mulid2i 9049 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6865, 67eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  =  ( pi  /  2
)
6951, 58, 683eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( I `
 2 )  =  ( pi  /  2
)
70 3nn 10090 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
7170nnzi 10261 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
72 2re 10025 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
73 3re 10027 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
74 2lt3 10099 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
7572, 73, 74ltleii 9152 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  3
76 eluz2 10450 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
7745, 71, 75, 76mpbir3an 1136 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
7848wallispilem2 27682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  (
3  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  3 )  =  ( ( ( 3  -  1 )  /  3 )  x.  ( I `  (
3  -  2 ) ) ) ) )
7978simp3i 968 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  3 )  =  ( ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  x.  (
I `  ( 3  -  2 ) ) ) )
8077, 79ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( I `
 3 )  =  ( ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  x.  (
I `  ( 3  -  2 ) ) )
81 3m1e2 10052 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  -  1 )  =  2
8281eqcomi 2408 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 3  -  1 )
8382oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( 2  /  3 )  =  ( ( 3  -  1 )  /  3
)
84 3cn 10028 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
8584, 37, 59, 41subaddrii 9345 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  -  2 )  =  1
8685fveq2i 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( I `
 ( 3  -  2 ) )  =  ( I `  1
)
8749simp2i 967 . . . . . . . . 9  |-  ( I `
 1 )  =  2
8886, 87eqtr2i 2425 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( I `  ( 3  -  2 ) )
8983, 88oveq12i 6052 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  2 )  =  ( ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  x.  (
I `  ( 3  -  2 ) ) )
90 3ne0 10041 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
9137, 84, 90divcli 9712 . . . . . . . 8  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
9291, 37mulcomi 9052 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
2  /  3 ) )
9380, 89, 923eqtr2i 2430 . . . . . 6  |-  ( I `
 3 )  =  ( 2  x.  (
2  /  3 ) )
9469, 93oveq12i 6052 . . . . 5  |-  ( ( I `  2 )  /  ( I ` 
3 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  /  (
2  x.  ( 2  /  3 ) ) )
95 1z 10267 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
96 seq1 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
9795, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
98 1nn 9967 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
99 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
10099, 38syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
2  x.  k )  =  2 )
10199oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )
10238oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
103102, 52eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
104101, 103syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  1 )
105100, 104oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( 2  / 
1 ) )
10637div1i 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
107105, 106syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  2 )
108100oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
109108, 41syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  3 )
110100, 109oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
111107, 110oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  /  3
) ) )
112 wallispilem4.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
113 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( 2  / 
3 ) )  e. 
_V
114111, 112, 113fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  ( 2  x.  ( 2  /  3
) ) )
11598, 114ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  ( 2  x.  (
2  /  3 ) )
11697, 115eqtr2i 2425 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( 2  / 
3 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )
117116oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  ( 2  x.  ( 2  /  3
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
11837, 91mulcli 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( 2  / 
3 ) )  e.  CC
119115, 118eqeltri 2474 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  e.  CC
12097, 119eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  e.  CC
12137, 84, 60, 90divne0i 9718 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  3 )  =/=  0
12237, 91, 60, 121mulne0i 9621 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( 2  / 
3 ) )  =/=  0
123116, 122eqnetrri 2586 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =/=  0
12466, 120, 123divreci 9715 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 ) ) )
125117, 124eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  /  ( 2  x.  ( 2  /  3
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) ) )
12644, 94, 1253eqtri 2428 . . . 4  |-  ( ( I `  ( 2  x.  1 ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) ) )
127 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  (
2  x.  y ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  -> 
( ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) )  x.  (
( I `  (
2  x.  y ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) ) ) )
128127adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) ) ) )
12937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
130 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
13159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
132129, 130, 131adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
133129mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
134133oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
135132, 134eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
136135oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  2 )  - 
1 ) )
137129, 130mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
138137, 129, 131addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  -  1 ) ) )
13952a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
140139oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
141136, 138, 1403eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
142141oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
143142oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 )  /  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( 2  x.  y ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `  (
2  x.  y ) ) ) )
14481a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
3  -  1 )  =  2 )
145144oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 3  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
14684a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  3  e.  CC )
147137, 146, 131addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 3  -  1 ) ) )
148145, 147, 1353eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
149148oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )
150149oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) )  x.  ( I `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )
151143, 150oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
I `  ( 2  x.  y ) ) )  /  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `  (
2  x.  y ) ) )  /  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) )  x.  ( I `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
2 ) ) ) ) )
15245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
153 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
154153peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
155152, 154zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  ZZ )
15672a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
157 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
158 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
160157, 159readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
161 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
162 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
163161, 72, 162ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  2 )
165 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
166165nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  y )
167159, 157addge02d 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0  <_  y  <->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
168166, 167mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
169156, 160, 164, 168lemulge11d 9904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )
17045eluz1i 10451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
171155, 169, 170sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
17248, 171itgsinexp 27616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
I `  ( (
2  x.  ( y  +  1 ) )  -  2 ) ) ) )
173135oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  2 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  2 )  - 
2 ) )
174137, 129pncand 9368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  2 )  -  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
175173, 174eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
176175fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  ( y  +  1 ) )  -  2 ) )  =  ( I `  ( 2  x.  y
) ) )
177176oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 )  /  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `
 ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `  (
2  x.  y ) ) ) )
178172, 177eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
I `  ( 2  x.  y ) ) ) )
179135oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  2 )  +  1 ) )
180137, 129, 131addassd 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  2 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  +  1 ) ) )
18141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  +  1 )  =  3 )
182181oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )
183179, 180, 1823eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )
184183fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )
185152, 153zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ZZ )
18671a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  3  e.  ZZ )
187185, 186zaddcld 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  3 )  e.  ZZ )
188156, 157remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR )
18973a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  3  e.  RR )
190188, 189readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  3 )  e.  RR )
191 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
192156, 157, 164, 191lemulge11d 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  y
) )
193 3pos 10040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
194161, 73, 193ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  3
195188, 189addge01d 9570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0  <_  3  <->  ( 2  x.  y )  <_ 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )
196194, 195mpbii 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  <_  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )
197156, 188, 190, 192, 196letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )
19845eluz1i 10451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  +  3 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )
199187, 197, 198sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  3 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
20048, 199itgsinexp 27616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  3 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )
201184, 200eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( (
2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  ( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )
202178, 201oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `  ( 2  x.  y
) ) )  / 
( ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  3 )  -  1 )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  (
I `  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 ) ) ) ) )
203137, 131addcld 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  CC )
204130, 131addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
205129, 204mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
20660a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
207 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
208207nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  =/=  0 )
209129, 204, 206, 208mulne0d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  0 )
210203, 205, 209divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  e.  CC )
211 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
213212, 165nn0mulcld 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN0 )
21448wallispilem3 27683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  y ) )  e.  RR+ )
215214rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
216213, 215syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
217137, 146addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  3 )  e.  CC )
218161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  0  e.  RR )
219162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  2 )
220 nngt0 9985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
221156, 157, 219, 220mulgt0d 9181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  y
) )
222189, 193jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
223 elrp 10570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  RR+  <->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
224222, 223sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
225188, 224ltaddrpd 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  <  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )
226218, 188, 190, 221, 225lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )
227226gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  3 )  =/=  0 )
228205, 217, 227divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  e.  CC )
229205, 217, 209, 227divne0d 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  =/=  0 )
230187, 152zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 )  e.  ZZ )
231190, 156subge0d 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0  <_  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  y
)  +  3 ) ) )
232197, 231mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) )
233 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) )
234230, 232, 233sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 )  e.  NN0 )
23548wallispilem3 27683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
2 ) )  e.  RR+ )
236234, 235syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 ) )  e.  RR+ )
237236rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) )  e.  CC  /\  ( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) )  =/=  0 ) )
238228, 229, 237jca31 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( I `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
2 ) )  e.  CC  /\  ( I `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
239 divmuldiv 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( I `  (
2  x.  y ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  e.  CC  /\  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( I `  ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) )  e.  CC  /\  ( I `  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) )  =/=  0 ) ) )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y ) )  /  ( I `  ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `  ( 2  x.  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  (
I `  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 ) ) ) ) )
240210, 216, 238, 239syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y ) )  /  ( I `  ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( I `  ( 2  x.  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  x.  (
I `  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 ) ) ) ) )
241151, 202, 2403eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 ) ) ) ) )
242137, 146, 129addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 3  -  2 ) ) )
24385a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
3  -  2 )  =  1 )
244243oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
245242, 244eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
246245fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
I `  ( (
( 2  x.  y
)  +  3 )  -  2 ) )  =  ( I `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
247246oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  y ) )  /  ( I `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  - 
2 ) ) )  =  ( ( I `
 ( 2  x.  y ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ) )
248247oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y ) )  /  ( I `  ( ( ( 2  x.  y )  +  3 )  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) ) ) )
249241, 248eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) ) ) )
250249adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( I `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) ) ) )
251 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
252251biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
253 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) )
254252, 253syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) )
255112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
256 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
257256oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )
258256, 257oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) )
259256oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) )
260256, 259oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )
261258, 260oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) )
262261adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) )
263156, 160remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
264263, 159resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
265 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  2
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
267 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
268159, 267ltaddrp2d 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( y  +  1 ) )
269156, 160, 266, 268mulgt1d 9903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )
270159, 269gtned 9164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  1 )
271205, 131, 270subne0d 9376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
272263, 264, 271redivcld 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
273183, 190eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
274183, 227eqnetrd 2585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 )  =/=  0 )
275263, 273, 274redivcld 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) )  e.  RR )
276272, 275remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
277255, 262, 207, 276fvmptd 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) )
278277oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y )  x.  ( F `  (
y  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) )
279254, 278eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) )
280279oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
281280oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( y  +  1 ) ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
282141oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
283183oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )
284282, 283oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) ) )
285284oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )
286285oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )
287286oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) ) )
288 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( 1 ... y )  ->  w  e.  NN )
289288adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  ( 1 ... y ) )  ->  w  e.  NN )
290112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  NN  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
291 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  w  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  w ) )
292291oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  w  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  w )  - 
1 ) )
293291, 292oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  w  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  w )  / 
( ( 2  x.  w )  -  1 ) ) )
294291oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  w  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  w )  +  1 ) )
295291, 294oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  w  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  w )  / 
( ( 2  x.  w )  +  1 ) ) )
296293, 295oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  w )  /  ( ( 2  x.  w )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  w )  /  (
( 2  x.  w
)  +  1 ) ) ) )
297296adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  NN  /\  k  =  w )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  w
)  /  ( ( 2  x.  w )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  w )  / 
( ( 2  x.  w )  +  1 ) ) ) )
298 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  NN )
299 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR+
300299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
301 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  RR+ )
302300, 301rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  NN  ->  (
2  x.  w )  e.  RR+ )
30372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  NN  ->  2  e.  RR )
304 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  RR )
305303, 304remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  NN  ->  (
2  x.  w )  e.  RR )
306158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  NN  ->  1  e.  RR )
307305, 306resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( 2  x.  w
)  -  1 )  e.  RR )
308 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  NN  ->  1  <_  w )
309 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
310309mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  NN  ->  (
1  x.  w )  =  w )
311306, 303, 301ltmul1d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  NN  ->  (
1  <  2  <->  ( 1  x.  w )  < 
( 2  x.  w
) ) )
312265, 311mpbii 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  NN  ->  (
1  x.  w )  <  ( 2  x.  w ) )
313310, 312eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  NN  ->  w  <  ( 2  x.  w
) )
314306, 304, 305, 308, 313lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  w
) )
315306, 305posdifd 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  NN  ->  (
1  <  ( 2  x.  w )  <->  0  <  ( ( 2  x.  w
)  -  1 ) ) )
316314, 315mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  w )  -  1 ) )
317307, 316elrpd 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( 2  x.  w
)  -  1 )  e.  RR+ )
318302, 317rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( 2  x.  w
)  /  ( ( 2  x.  w )  -  1 ) )  e.  RR+ )
319163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  NN  ->  0  <_  2 )
320301rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  NN  ->  0  <_  w )
321303, 304, 319, 320mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  w
) )
322305, 321ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( 2  x.  w
)  +  1 )  e.  RR+ )
323302, 322rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( 2  x.  w
)  /  ( ( 2  x.  w )  +  1 ) )  e.  RR+ )
324318, 323rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  w )  /  (
( 2  x.  w
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  w )  /  ( ( 2  x.  w )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
325290, 297, 298, 324fvmptd 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  NN  ->  ( F `  w )  =  ( ( ( 2  x.  w )  /  ( ( 2  x.  w )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  w )  /  (
( 2  x.  w
)  +  1 ) ) ) )
326325, 324eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  NN  ->  ( F `  w )  e.  RR+ )
327289, 326syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  ( 1 ... y ) )  ->  ( F `  w )  e.  RR+ )
328 rpmulcl 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
w  x.  z )  e.  RR+ )
329328adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( w  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  -> 
( w  x.  z
)  e.  RR+ )
330252, 327, 329seqcl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  e.  RR+ )
331330rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y )  e.  CC  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  =/=  0 ) )
332299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
333157, 166ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  RR+ )
334332, 333rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR+ )
335156, 157, 164, 166mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  y
) )
336188, 335ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  RR+ )
337334, 336rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  e.  RR+ )
338332, 267rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR+ )
339338, 224rpaddcld 10619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  3 )  e.  RR+ )
340334, 339rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  e.  RR+ )
341337, 340rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  e.  RR+ )
342341rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  =/=  0 ) )
343 divdiv1 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  y )  e.  CC  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  =/=  0 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) ) )  =  ( 1  /  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )
344131, 331, 342, 343syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) )  /  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )
345344eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) )  /  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )
346345oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) )  /  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )
34766a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
348330rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  e.  CC )
349330rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  =/=  0 )
350348, 349reccld 9739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) )  e.  CC )
351341rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  e.  CC )
352341rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  =/=  0 )
353347, 350, 351, 352divassd 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) )  /  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )
354141, 271eqnetrrd 2587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  =/=  0 )
355205, 203, 205, 217, 354, 227divmuldivd 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  / 
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) ) )
356355oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )
357347, 350mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  y )
) )  e.  CC )
358205, 205mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  e.  CC )
359203, 217mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  e.  CC )
360205, 205, 209, 209mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =/=  0 )
361203, 217, 354, 227mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  =/=  0 )
362357, 358, 359, 360, 361divdiv2d 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
363357, 359, 358, 360divassd 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  y )
) )  x.  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
364362, 363eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
365203, 205, 205, 217, 209, 227, 209divdivdivd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
366365eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  /  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  y
)  +  3 ) ) ) )
367366oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )
368356, 364, 3673eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )
369346, 353, 3683eqtr2d 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) ) )
37063a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
371370halfcld 10168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
372371, 350mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  y )
) )  e.  CC )
373210, 228, 229divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  /  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  e.  CC )
374372, 373mulcomd 9065 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
) ) )  x.  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) ) )
375287, 369, 3743eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  y
)  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) ) )
376281, 375eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( y  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) ) )
377376adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( y  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  / 
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )  /  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  y )  +  3 ) ) )  x.  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) ) )
378128, 250, 3773eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( I `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
y  +  1 ) ) ) ) )
379378ex 424 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( I `  ( 2  x.  y
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 y ) ) )  ->  ( (
I `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  / 
( I `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
3809, 18, 27, 36, 126, 379nnind 9974 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( I `  (
2  x.  n ) )  /  ( I `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
381380mpteq2ia 4251 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n ) )  /  ( I `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
382 wallispilem4.3 . 2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( I `  ( 2  x.  n
) )  /  (
I `  ( (
2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
383 wallispilem4.4 . 2  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
384381, 382, 3833eqtr4i 2434 1  |-  G  =  H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   sincsin 12621   picpi 12624   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  wallispilem5  27685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707
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