Theorem wallispilem3 37939

Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	|- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   I( x, n)   N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables k m y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4409	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( m <_ w <-> m <_ 0 ) )
2	1	imbi1d 319	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
3	2	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
4		breq2 4409	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( m <_ w <-> m <_ y ) )
5	4	imbi1d 319	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
6	5	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
7		breq2 4409	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( m <_ w <-> m <_ ( y + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 319	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
9	8	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
10		breq2 4409	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( m <_ w <-> m <_ N ) )
11	10	imbi1d 319	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
12	11	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
13		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m <_ 0 )
14		nn0ge0 10902	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> 0 <_ m )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 <_ m )
16		nn0re 10885	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m e. RR )
18		0red 9649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 e. RR )
19	17, 18	letri3d 9782	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( m = 0 <-> ( m <_ 0 /\ 0 <_ m ) ) )
20	13, 15, 19	mpbir2and 934	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m = 0 )
21	20	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) = ( I ` 0 ) )
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
23	22	wallispilem2 37938	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` 0 ) = pi /\ ( I ` 1 ) = 2 /\ ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) )
24	23	simp1i 1018	. . . . . . . 8 |- ( I ` 0 ) = pi
25		pirp 23428	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
26	24, 25	eqeltri 2527	. . . . . . 7 |- ( I ` 0 ) e. RR+
27	21, 26	syl6eqel 2539	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
28	27	ex 436	. . . . 5 |- ( m e. NN0 -> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
29	28	rgen 2749	. . . 4 |- A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ )
30		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ m y e. NN0
31		nfra1 2771	. . . . . . 7 |- F/ m A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ )
32	30, 31	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ m ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
33		simpllr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
34		simplr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
35		rsp 2756	. . . . . . . . 9 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
36	33, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
37		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) = ( I ` 1 ) )
38	23	simp2i 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I ` 1 ) = 2
39		2rp 11314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
40	38, 39	eqeltri 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I ` 1 ) e. RR+
41	37, 40	syl6eqel 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ )
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
43	23	simp3i 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
44	43	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
45		eluz2nn 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. NN )
46		nnre 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. RR )
47		1red 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
48	46, 47	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. RR )
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR )
50		1m1e0 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 - 1 ) = 0
51		1red 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
52		eluzelre 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR )
53		eluz2b2 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( m e. NN /\ 1 < m ) )
54	53	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < m )
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 - 1 ) < ( m - 1 ) )
56	50, 55	syl5eqbrr 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( m - 1 ) )
57	49, 56	elrpd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR+ )
58	45	nnrpd 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR+ )
59	57, 58	rpdivcld 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
60	59	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
61		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( m <_ y <-> k <_ y ) )
62		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = k -> ( I ` m ) = ( I ` k ) )
63	62	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` k ) e. RR+ ) )
64	61, 63	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = k -> ( ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) )
65	64	cbvralv 3021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
66	65	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
67	66	ad3antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
68		uznn0sub 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
69	68	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
70	67, 69	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) )
71		simplll 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. NN0 )
72		simplr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
73		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
74		simp2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
75	74	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( ( y + 1 ) - 2 ) )
76		nn0re 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
77	76	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. RR )
78	77	recnd 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. CC )
79		df-2 10675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 = ( 1 + 1 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 2 = ( 1 + 1 ) )
81	80	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) )
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> y e. CC )
83		1cnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 1 e. CC )
84	82, 83, 83	pnpcan2d 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( y - 1 ) )
85	81, 84	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
86	78, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
87	75, 86	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( y - 1 ) )
88	77	lem1d 10547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y - 1 ) <_ y )
89	87, 88	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
91		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( k <_ y <-> ( m - 2 ) <_ y ) )
92		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( I ` k ) = ( I ` ( m - 2 ) ) )
93	92	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( I ` k ) e. RR+ <-> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
94	91, 93	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) <-> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) )
95	94	rspccva 3151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) -> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
96	70, 90, 95	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ )
97	60, 96	rpmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) e. RR+ )
98	44, 97	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
99	98	adantllr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
100	99	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
101		simplll 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
102		simplr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
103		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
104		simp3 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
105		nn0p1nn 10916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN )
106	105	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. NN )
107	104, 106	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
108		elnnuz 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109	107, 108	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110		uzp1 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) )
111		1p1e2 10730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
112	111	fveq2i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
113	112	eleq2i 2523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
114	113	orbi2i 522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) <-> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
115	110, 114	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
116	109, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
118	42, 100, 117	mpjaod 383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
119	118	adantlr 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
120	119	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m = ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
121		simplll 769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
122		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
123		simpl1 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
124		simpl2 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
125		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
126		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m = 0 )
127		nn0ge0 10902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
128	127	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> 0 <_ y )
129	126, 128	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m <_ y )
130	129	3ad2antl1 1171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m = 0 ) -> m <_ y )
131		simpl1 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> y e. NN0 )
132		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
133		simpl3 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( y + 1 ) )
134		simp3 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
135		simp2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
136		simp1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
137		0red 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 e. RR )
138	48	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) e. RR )
139	76	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
140		nnm1ge0 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 0 <_ ( m - 1 ) )
141	140	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 <_ ( m - 1 ) )
142	46	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
143		1red 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
144	142, 143, 139	ltsubaddd 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( ( m - 1 ) < y <-> m < ( y + 1 ) ) )
145	134, 144	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) < y )
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 9798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 < y )
147	146	gt0ne0d 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y =/= 0 )
148		elnnne0 10890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN <-> ( y e. NN0 /\ y =/= 0 ) )
149	136, 147, 148	sylanbrc 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN )
150		nnleltp1 10998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ y e. NN ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
151	135, 149, 150	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
152	134, 151	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ y )
154		elnn0 10878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
155	154	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
156	155	orcomd 390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
157	156	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
158	130, 153, 157	mpjaodan 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
159	158	orcd 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
161		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
162	161	olcd 395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
163		simp3 1011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
164	16	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
165	76	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
166		1red 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
167	165, 166	readdcld 9675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
168	164, 167	leloed 9783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ ( y + 1 ) <-> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) ) )
169	163, 168	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) )
170	160, 162, 169	mpjaodan 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
172	36, 120, 171	mpjaod 383	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
173	172	exp31 609	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
174	32, 173	ralrimi 2790	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
175	174	ex 436	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 11037	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
177	176	ancri 555	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) )
178		nn0re 10885	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
179	178	leidd 10187	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ N )
180		breq1 4408	. . . 4 |- ( m = N -> ( m <_ N <-> N <_ N ) )
181		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( m = N -> ( I ` m ) = ( I ` N ) )
182	181	eleq1d 2515	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` N ) e. RR+ ) )
183	180, 182	imbi12d 322	. . 3 |- ( m = N -> ( ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) ) )
184	183	rspccva 3151	. 2 |- ( ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) )
185	177, 179, 184	sylc 62	1 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   ^cexp 12279   sincsin 14128   picpi 14131   S.citg 22588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593  df-0p 22640  df-limc 22833  df-dv 22834

This theorem is referenced by:  wallispilem4  37940  wallispilem5  37941