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Theorem wallispilem3 29867
Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
Assertion
Ref Expression
wallispilem3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables  k  m  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  0 ) )
21imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  0  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
32ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( w  =  0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
4 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  y ) )
54imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
65ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
7 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  ( y  +  1 ) ) )
87imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
98ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
10 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  N ) )
1110imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1211ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  <_  0 )
14 nn0ge0 10610 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
1514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  <_  m )
16 nn0re 10593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  e.  RR )
18 0re 9391 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  e.  RR )
2017, 19letri3d 9521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( m  =  0  <-> 
( m  <_  0  /\  0  <_  m ) ) )
2113, 15, 20mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  =  0 )
2221fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  =  ( I `
 0 ) )
23 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
2423wallispilem2 29866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  (
m  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  m )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  (
m  -  2 ) ) ) ) )
2524simp1i 997 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 0 )  =  pi
26 pire 21926 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
27 pipos 21928 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
2826, 27elrpii 10999 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
2925, 28eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  ( I `
 0 )  e.  RR+
3022, 29syl6eqel 2531 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
3130ex 434 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  0  ->  (
I `  m )  e.  RR+ ) )
3231rgen 2786 . . . 4  |-  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ )
33 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ m  y  e.  NN0
34 nfra1 2771 . . . . . . 7  |-  F/ m A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
3533, 34nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ m
( y  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
36 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
37 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
38 rsp 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
3936, 37, 38sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
40 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  =  ( I ` 
1 ) )
4124simp2i 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I `
 1 )  =  2
42 2rp 11001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
4341, 42eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I `
 1 )  e.  RR+
4440, 43syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
4624simp3i 999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  m )  =  ( ( ( m  - 
1 )  /  m
)  x.  ( I `
 ( m  - 
2 ) ) ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  ( m  -  2
) ) ) )
48 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( m  e.  NN  /\  1  < 
m ) )
4948simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  NN )
50 nnre 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
51 1re 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5350, 52resubcld 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
5449, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR )
55 1m1e0 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5651a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
57 eluzelre 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR )
5848simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  m )
5956, 57, 56, 58ltsub1dd 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  -  1 )  < 
( m  -  1 ) )
6055, 59syl5eqbrr 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( m  -  1 ) )
6154, 60elrpd 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR+ )
6249nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR+ )
6361, 62rpdivcld 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
m  -  1 )  /  m )  e.  RR+ )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( m  - 
1 )  /  m
)  e.  RR+ )
65 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
m  <_  y  <->  k  <_  y ) )
66 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
I `  m )  =  ( I `  k ) )
6766eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6865, 67imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  <_  y  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( k  <_  y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) ) )
6968cbvralv 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  <->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
7069biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
7170ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )
)
72 uznn0sub 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  2 )  e. 
NN0 )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  e.  NN0 )
7471, 73jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. k  e. 
NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ )  /\  ( m  - 
2 )  e.  NN0 ) )
75 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
76 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
78 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
7978oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  2 ) )
80 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
81803ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
8281recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
83 df-2 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
8584oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) ) )
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
87 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  1  e.  CC )
8986, 88, 88pnpcan2d 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( y  - 
1 ) )
9085, 89eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  - 
1 ) )
9182, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
9279, 91eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
9381lem1d 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( y  -  1 )  <_  y )
9492, 93eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
9575, 76, 77, 94syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
96 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
k  <_  y  <->  ( m  -  2 )  <_ 
y ) )
97 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
I `  k )  =  ( I `  ( m  -  2
) ) )
9897eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( I `  k
)  e.  RR+  <->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) )
9996, 98imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  <->  ( ( m  -  2 )  <_  y  ->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
10099rspccva 3077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  /\  ( m  -  2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( m  - 
2 )  <_  y  ->  ( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
)
10174, 95, 100sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
10264, 101rpmulcld 11048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  (
I `  ( m  -  2 ) ) )  e.  RR+ )
10347, 102eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
104103adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
105104ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
106 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
107 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
108 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
109 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
110 nn0p1nn 10624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e.  NN )
1111103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  NN )
112109, 111eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
113 elnnuz 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
114112, 113sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
115 uzp1 10899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) ) )
116 1p1e2 10440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
117116fveq2i 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  2 )
118117eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
119118orbi2i 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  <->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
120115, 119sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
121114, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
122106, 107, 108, 121syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
12345, 105, 122mpjaod 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
124123adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
125124ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
126 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
127 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
128 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
129 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
130 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
131 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  =  0 )
132 nn0ge0 10610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  0  <_  y
)
134131, 133eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
1351343ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
136 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  NN0 )
137 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
138 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
139 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
140 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
141 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
14218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
143533ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
144803ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
145 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
146145nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
1471463ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
148503ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
14951a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
150148, 149, 144ltsubaddd 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
( m  -  1 )  <  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
151139, 150mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  <  y )
152142, 143, 144, 147, 151lelttrd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <  y )
153152gt0ne0d 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  =/=  0 )
154 elnnne0 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  <->  ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 ) )
155141, 153, 154sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN )
156 nnleltp1 10704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
157140, 155, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
158139, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
159136, 137, 138, 158syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <_  y )
160 elnn0 10586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  <->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
161160biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
162161orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
1631623ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
164135, 159, 163mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
165164orcd 392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
166128, 129, 130, 165syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  <_  y  \/  m  =  (
y  +  1 ) ) )
167 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
168167olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( m  <_ 
y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
169 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
170163ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
171803ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
17251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
173171, 172readdcld 9418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
174170, 173leloed 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  ( y  +  1 )  <->  ( m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) ) )
175169, 174mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
176166, 168, 175mpjaodan 784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
177126, 37, 127, 176syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
17839, 125, 177mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
179178exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  (
y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
18035, 179ralrimi 2802 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
181180ex 434 . . . 4  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
( y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1823, 6, 9, 12, 32, 181nn0ind 10743 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
183182ancri 552 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 ) )
184 nn0re 10593 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
185184leidd 9911 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
186 breq1 4300 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
m  <_  N  <->  N  <_  N ) )
187 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
I `  m )  =  ( I `  N ) )
188187eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
189186, 188imbi12d 320 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  <_  N  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) ) )
190189rspccva 3077 . 2  |-  ( ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
191183, 185, 190sylc 60 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   ^cexp 11870   sincsin 13354   picpi 13357   S.citg 21103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108  df-0p 21153  df-limc 21346  df-dv 21347
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