Theorem wallispilem3 29867

Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	|- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   I( x, n)   N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables k m y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4301	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( m <_ w <-> m <_ 0 ) )
2	1	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
3	2	ralbidv 2740	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
4		breq2 4301	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( m <_ w <-> m <_ y ) )
5	4	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
6	5	ralbidv 2740	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
7		breq2 4301	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( m <_ w <-> m <_ ( y + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
9	8	ralbidv 2740	. . . 4 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
10		breq2 4301	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( m <_ w <-> m <_ N ) )
11	10	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
12	11	ralbidv 2740	. . . 4 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m <_ 0 )
14		nn0ge0 10610	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> 0 <_ m )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 <_ m )
16		nn0re 10593	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m e. RR )
18		0re 9391	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 e. RR )
20	17, 19	letri3d 9521	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( m = 0 <-> ( m <_ 0 /\ 0 <_ m ) ) )
21	13, 15, 20	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m = 0 )
22	21	fveq2d 5700	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) = ( I ` 0 ) )
23		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
24	23	wallispilem2 29866	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` 0 ) = pi /\ ( I ` 1 ) = 2 /\ ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) )
25	24	simp1i 997	. . . . . . . 8 |- ( I ` 0 ) = pi
26		pire 21926	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
27		pipos 21928	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
28	26, 27	elrpii 10999	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
29	25, 28	eqeltri 2513	. . . . . . 7 |- ( I ` 0 ) e. RR+
30	22, 29	syl6eqel 2531	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
31	30	ex 434	. . . . 5 |- ( m e. NN0 -> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
32	31	rgen 2786	. . . 4 |- A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ )
33		nfv 1673	. . . . . . 7 |- F/ m y e. NN0
34		nfra1 2771	. . . . . . 7 |- F/ m A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ )
35	33, 34	nfan 1861	. . . . . 6 |- F/ m ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
36		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
37		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
38		rsp 2781	. . . . . . . . 9 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
39	36, 37, 38	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
40		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) = ( I ` 1 ) )
41	24	simp2i 998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I ` 1 ) = 2
42		2rp 11001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
43	41, 42	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I ` 1 ) e. RR+
44	40, 43	syl6eqel 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
46	24	simp3i 999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
48		eluz2b2 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( m e. NN /\ 1 < m ) )
49	48	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. NN )
50		nnre 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. RR )
51		1re 9390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
53	50, 52	resubcld 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. RR )
54	49, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR )
55		1m1e0 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 - 1 ) = 0
56	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
57		eluzelre 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR )
58	48	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < m )
59	56, 57, 56, 58	ltsub1dd 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 - 1 ) < ( m - 1 ) )
60	55, 59	syl5eqbrr 4331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( m - 1 ) )
61	54, 60	elrpd 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR+ )
62	49	nnrpd 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR+ )
63	61, 62	rpdivcld 11049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
65		breq1 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( m <_ y <-> k <_ y ) )
66		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = k -> ( I ` m ) = ( I ` k ) )
67	66	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` k ) e. RR+ ) )
68	65, 67	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = k -> ( ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) )
69	68	cbvralv 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
70	69	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
71	70	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
72		uznn0sub 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
73	72	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
74	71, 73	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) )
75		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. NN0 )
76		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
77		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
78		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
79	78	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( ( y + 1 ) - 2 ) )
80		nn0re 10593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
81	80	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. RR )
82	81	recnd 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. CC )
83		df-2 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 = ( 1 + 1 )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 2 = ( 1 + 1 ) )
85	84	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) )
86		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> y e. CC )
87		ax-1cn 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 1 e. CC )
89	86, 88, 88	pnpcan2d 9762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( y - 1 ) )
90	85, 89	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
91	82, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
92	79, 91	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( y - 1 ) )
93	81	lem1d 10271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y - 1 ) <_ y )
94	92, 93	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
95	75, 76, 77, 94	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
96		breq1 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( k <_ y <-> ( m - 2 ) <_ y ) )
97		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( I ` k ) = ( I ` ( m - 2 ) ) )
98	97	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( I ` k ) e. RR+ <-> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
99	96, 98	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) <-> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) )
100	99	rspccva 3077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) -> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
101	74, 95, 100	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ )
102	64, 101	rpmulcld 11048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) e. RR+ )
103	47, 102	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
104	103	adantllr 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
105	104	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
106		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
107		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
108		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
109		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
110		nn0p1nn 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN )
111	110	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. NN )
112	109, 111	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
113		elnnuz 10902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
114	112, 113	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
115		uzp1 10899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) )
116		1p1e2 10440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
117	116	fveq2i 5699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
118	117	eleq2i 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
119	118	orbi2i 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) <-> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
120	115, 119	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
121	114, 120	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
122	106, 107, 108, 121	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
123	45, 105, 122	mpjaod 381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
124	123	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
125	124	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m = ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
126		simplll 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
127		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
128		simpl1 991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
129		simpl2 992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
130		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
131		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m = 0 )
132		nn0ge0 10610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
133	132	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> 0 <_ y )
134	131, 133	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m <_ y )
135	134	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m = 0 ) -> m <_ y )
136		simpl1 991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> y e. NN0 )
137		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
138		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( y + 1 ) )
139		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
140		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
141		simp1 988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
142	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 e. RR )
143	53	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) e. RR )
144	80	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
145		nnm1nn0 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. NN0 )
146	145	nn0ge0d 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 0 <_ ( m - 1 ) )
147	146	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 <_ ( m - 1 ) )
148	50	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
149	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
150	148, 149, 144	ltsubaddd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( ( m - 1 ) < y <-> m < ( y + 1 ) ) )
151	139, 150	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) < y )
152	142, 143, 144, 147, 151	lelttrd 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 < y )
153	152	gt0ne0d 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y =/= 0 )
154		elnnne0 10598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN <-> ( y e. NN0 /\ y =/= 0 ) )
155	141, 153, 154	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN )
156		nnleltp1 10704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ y e. NN ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
157	140, 155, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
158	139, 157	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
159	136, 137, 138, 158	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ y )
160		elnn0 10586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
161	160	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
162	161	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
163	162	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
164	135, 159, 163	mpjaodan 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
165	164	orcd 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
166	128, 129, 130, 165	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
167		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
168	167	olcd 393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
169		simp3 990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
170	16	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
171	80	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
172	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
173	171, 172	readdcld 9418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
174	170, 173	leloed 9522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ ( y + 1 ) <-> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) ) )
175	169, 174	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) )
176	166, 168, 175	mpjaodan 784	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
177	126, 37, 127, 176	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
178	39, 125, 177	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
179	178	exp31 604	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
180	35, 179	ralrimi 2802	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
181	180	ex 434	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
182	3, 6, 9, 12, 32, 181	nn0ind 10743	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
183	182	ancri 552	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) )
184		nn0re 10593	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
185	184	leidd 9911	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ N )
186		breq1 4300	. . . 4 |- ( m = N -> ( m <_ N <-> N <_ N ) )
187		fveq2 5696	. . . . 5 |- ( m = N -> ( I ` m ) = ( I ` N ) )
188	187	eleq1d 2509	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` N ) e. RR+ ) )
189	186, 188	imbi12d 320	. . 3 |- ( m = N -> ( ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) ) )
190	189	rspccva 3077	. 2 |- ( ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) )
191	183, 185, 190	sylc 60	1 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   ^cexp 11870   sincsin 13354   picpi 13357   S.citg 21103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108  df-0p 21153  df-limc 21346  df-dv 21347

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