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Theorem wallispilem3 31738
Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
Assertion
Ref Expression
wallispilem3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables  k  m  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4438 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  0 ) )
21imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  0  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
32ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( w  =  0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
4 breq2 4438 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  y ) )
54imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
65ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
7 breq2 4438 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  ( y  +  1 ) ) )
87imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
98ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
10 breq2 4438 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  N ) )
1110imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1211ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  <_  0 )
14 nn0ge0 10824 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
1514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  <_  m )
16 nn0re 10807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  e.  RR )
18 0red 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  e.  RR )
1917, 18letri3d 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( m  =  0  <-> 
( m  <_  0  /\  0  <_  m ) ) )
2013, 15, 19mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  =  0 )
2120fveq2d 5857 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  =  ( I `
 0 ) )
22 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
2322wallispilem2 31737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  (
m  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  m )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  (
m  -  2 ) ) ) ) )
2423simp1i 1004 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 0 )  =  pi
25 pirp 22723 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
2624, 25eqeltri 2525 . . . . . . 7  |-  ( I `
 0 )  e.  RR+
2721, 26syl6eqel 2537 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
2827ex 434 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  0  ->  (
I `  m )  e.  RR+ ) )
2928rgen 2801 . . . 4  |-  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ )
30 nfv 1692 . . . . . . 7  |-  F/ m  y  e.  NN0
31 nfra1 2822 . . . . . . 7  |-  F/ m A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
3230, 31nfan 1912 . . . . . 6  |-  F/ m
( y  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
33 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
34 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
35 rsp 2807 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
3633, 34, 35sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
37 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  =  ( I ` 
1 ) )
3823simp2i 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I `
 1 )  =  2
39 2rp 11231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
4038, 39eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I `
 1 )  e.  RR+
4137, 40syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
4323simp3i 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  m )  =  ( ( ( m  - 
1 )  /  m
)  x.  ( I `
 ( m  - 
2 ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  ( m  -  2
) ) ) )
45 eluz2nn 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  NN )
46 nnre 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
47 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
4846, 47resubcld 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR )
50 1m1e0 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  -  1 )  =  0
51 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
52 eluzelre 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR )
53 eluz2b2 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( m  e.  NN  /\  1  < 
m ) )
5453simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  m )
5551, 52, 51, 54ltsub1dd 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  -  1 )  < 
( m  -  1 ) )
5650, 55syl5eqbrr 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( m  -  1 ) )
5749, 56elrpd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR+ )
5845nnrpd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR+ )
5957, 58rpdivcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
m  -  1 )  /  m )  e.  RR+ )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( m  - 
1 )  /  m
)  e.  RR+ )
61 breq1 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
m  <_  y  <->  k  <_  y ) )
62 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
I `  m )  =  ( I `  k ) )
6362eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6461, 63imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  <_  y  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( k  <_  y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) ) )
6564cbvralv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  <->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )
)
68 uznn0sub 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  2 )  e. 
NN0 )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  e.  NN0 )
7067, 69jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. k  e. 
NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ )  /\  ( m  - 
2 )  e.  NN0 ) )
71 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
72 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
74 simp2 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
7574oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  2 ) )
76 nn0re 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
77763ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
7877recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
79 df-2 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
8180oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) ) )
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
83 1cnd 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  1  e.  CC )
8482, 83, 83pnpcan2d 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( y  - 
1 ) )
8581, 84eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  - 
1 ) )
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
8775, 86eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
8877lem1d 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( y  -  1 )  <_  y )
8987, 88eqbrtrd 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
9071, 72, 73, 89syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
91 breq1 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
k  <_  y  <->  ( m  -  2 )  <_ 
y ) )
92 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
I `  k )  =  ( I `  ( m  -  2
) ) )
9392eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( I `  k
)  e.  RR+  <->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) )
9491, 93imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  <->  ( ( m  -  2 )  <_  y  ->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
9594rspccva 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  /\  ( m  -  2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( m  - 
2 )  <_  y  ->  ( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
)
9670, 90, 95sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
9760, 96rpmulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  (
I `  ( m  -  2 ) ) )  e.  RR+ )
9844, 97eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
9998adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
10099ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
101 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
103 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
104 simp3 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
105 nn0p1nn 10838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e.  NN )
1061053ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  NN )
107104, 106eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
108 elnnuz 11123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
110 uzp1 11120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) ) )
111 1p1e2 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
112111fveq2i 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  2 )
113112eleq2i 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
114113orbi2i 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  <->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
115110, 114sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
116109, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
117101, 102, 103, 116syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
11842, 100, 117mpjaod 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
119118adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
120119ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
121 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
122 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
123 simpl1 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
124 simpl2 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
125 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
126 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  =  0 )
127 nn0ge0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  0  <_  y
)
129126, 128eqbrtrd 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
1301293ad2antl1 1157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
131 simpl1 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  NN0 )
132 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
133 simpl3 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
134 simp3 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
135 simp2 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
136 simp1 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
137 0red 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
138483ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
139763ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
140 nnm1ge0 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
1411403ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
142463ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
143 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
144142, 143, 139ltsubaddd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
( m  -  1 )  <  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
145134, 144mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  <  y )
146137, 138, 139, 141, 145lelttrd 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <  y )
147146gt0ne0d 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  =/=  0 )
148 elnnne0 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  <->  ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 ) )
149136, 147, 148sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN )
150 nnleltp1 10921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
151135, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
152134, 151mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
153131, 132, 133, 152syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <_  y )
154 elnn0 10800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  <->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
155154biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
156155orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
1571563ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
158130, 153, 157mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
159158orcd 392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
160123, 124, 125, 159syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  <_  y  \/  m  =  (
y  +  1 ) ) )
161 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
162161olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( m  <_ 
y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
163 simp3 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
164163ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
165763ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
166 1red 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
167165, 166readdcld 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
168164, 167leloed 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  ( y  +  1 )  <->  ( m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) ) )
169163, 168mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
170160, 162, 169mpjaodan 784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
171121, 34, 122, 170syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
17236, 120, 171mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
173172exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  (
y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
17432, 173ralrimi 2841 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
175174ex 434 . . . 4  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
( y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1763, 6, 9, 12, 29, 175nn0ind 10962 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
177176ancri 552 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 ) )
178 nn0re 10807 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
179178leidd 10122 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
180 breq1 4437 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
m  <_  N  <->  N  <_  N ) )
181 fveq2 5853 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
I `  m )  =  ( I `  N ) )
182181eleq1d 2510 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
183180, 182imbi12d 320 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  <_  N  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) ) )
184183rspccva 3193 . 2  |-  ( ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
185177, 179, 184sylc 60 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9807    / cdiv 10209   NNcn 10539   2c2 10588   NN0cn0 10798   ZZ>=cuz 11087   RR+crp 11226   (,)cioo 11535   ^cexp 12142   sincsin 13674   picpi 13677   S.citg 21897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-disj 4405  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-omul 7134  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-ioo 11539  df-ioc 11540  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-mod 11973  df-seq 12084  df-exp 12143  df-fac 12330  df-bc 12357  df-hash 12382  df-shft 12876  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-limsup 13270  df-clim 13287  df-rlim 13288  df-sum 13485  df-ef 13678  df-sin 13680  df-cos 13681  df-pi 13683  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-met 18284  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-fbas 18287  df-fg 18288  df-cnfld 18292  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-cld 19390  df-ntr 19391  df-cls 19392  df-nei 19469  df-lp 19507  df-perf 19508  df-cn 19598  df-cnp 19599  df-haus 19686  df-cmp 19757  df-tx 19933  df-hmeo 20126  df-fil 20217  df-fm 20309  df-flim 20310  df-flf 20311  df-xms 20693  df-ms 20694  df-tms 20695  df-cncf 21252  df-ovol 21746  df-vol 21747  df-mbf 21898  df-itg1 21899  df-itg2 21900  df-ibl 21901  df-itg 21902  df-0p 21947  df-limc 22140  df-dv 22141
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