Theorem wallispilem3 32050

Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	|- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   I( x, n)   N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables k m y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4384	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( m <_ w <-> m <_ 0 ) )
2	1	imbi1d 315	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
3	2	ralbidv 2831	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
4		breq2 4384	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( m <_ w <-> m <_ y ) )
5	4	imbi1d 315	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
6	5	ralbidv 2831	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
7		breq2 4384	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( m <_ w <-> m <_ ( y + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 315	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
9	8	ralbidv 2831	. . . 4 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
10		breq2 4384	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( m <_ w <-> m <_ N ) )
11	10	imbi1d 315	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
12	11	ralbidv 2831	. . . 4 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
13		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m <_ 0 )
14		nn0ge0 10756	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> 0 <_ m )
15	14	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 <_ m )
16		nn0re 10739	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
17	16	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m e. RR )
18		0red 9526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 e. RR )
19	17, 18	letri3d 9656	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( m = 0 <-> ( m <_ 0 /\ 0 <_ m ) ) )
20	13, 15, 19	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m = 0 )
21	20	fveq2d 5791	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) = ( I ` 0 ) )
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
23	22	wallispilem2 32049	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` 0 ) = pi /\ ( I ` 1 ) = 2 /\ ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) )
24	23	simp1i 1003	. . . . . . . 8 |- ( I ` 0 ) = pi
25		pirp 22958	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
26	24, 25	eqeltri 2476	. . . . . . 7 |- ( I ` 0 ) e. RR+
27	21, 26	syl6eqel 2488	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
28	27	ex 432	. . . . 5 |- ( m e. NN0 -> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
29	28	rgen 2752	. . . 4 |- A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ )
30		nfv 1722	. . . . . . 7 |- F/ m y e. NN0
31		nfra1 2773	. . . . . . 7 |- F/ m A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ )
32	30, 31	nfan 1946	. . . . . 6 |- F/ m ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
33		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
34		simplr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
35		rsp 2758	. . . . . . . . 9 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
36	33, 34, 35	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
37		fveq2 5787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) = ( I ` 1 ) )
38	23	simp2i 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I ` 1 ) = 2
39		2rp 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
40	38, 39	eqeltri 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I ` 1 ) e. RR+
41	37, 40	syl6eqel 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ )
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
43	23	simp3i 1005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
44	43	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
45		eluz2nn 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. NN )
46		nnre 10477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. RR )
47		1red 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
48	46, 47	resubcld 9923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. RR )
49	45, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR )
50		1m1e0 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 - 1 ) = 0
51		1red 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
52		eluzelre 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR )
53		eluz2b2 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( m e. NN /\ 1 < m ) )
54	53	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < m )
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 - 1 ) < ( m - 1 ) )
56	50, 55	syl5eqbrr 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( m - 1 ) )
57	49, 56	elrpd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR+ )
58	45	nnrpd 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR+ )
59	57, 58	rpdivcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
60	59	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
61		breq1 4383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( m <_ y <-> k <_ y ) )
62		fveq2 5787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = k -> ( I ` m ) = ( I ` k ) )
63	62	eleq1d 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` k ) e. RR+ ) )
64	61, 63	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = k -> ( ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) )
65	64	cbvralv 3022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
66	65	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
67	66	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
68		uznn0sub 11050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
69	68	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
70	67, 69	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) )
71		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. NN0 )
72		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
73		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
74		simp2 995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
75	74	oveq1d 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( ( y + 1 ) - 2 ) )
76		nn0re 10739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
77	76	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. RR )
78	77	recnd 9551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. CC )
79		df-2 10529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 = ( 1 + 1 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 2 = ( 1 + 1 ) )
81	80	oveq2d 6230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) )
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> y e. CC )
83		1cnd 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 1 e. CC )
84	82, 83, 83	pnpcan2d 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( y - 1 ) )
85	81, 84	eqtrd 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
86	78, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
87	75, 86	eqtrd 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( y - 1 ) )
88	77	lem1d 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y - 1 ) <_ y )
89	87, 88	eqbrtrd 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
91		breq1 4383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( k <_ y <-> ( m - 2 ) <_ y ) )
92		fveq2 5787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( I ` k ) = ( I ` ( m - 2 ) ) )
93	92	eleq1d 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( I ` k ) e. RR+ <-> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
94	91, 93	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) <-> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) )
95	94	rspccva 3147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) -> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
96	70, 90, 95	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ )
97	60, 96	rpmulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) e. RR+ )
98	44, 97	eqeltrd 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
99	98	adantllr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
100	99	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
101		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
102		simplr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
103		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
104		simp3 996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
105		nn0p1nn 10770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN )
106	105	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. NN )
107	104, 106	eqeltrd 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
108		elnnuz 11055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109	107, 108	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110		uzp1 11052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) )
111		1p1e2 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
112	111	fveq2i 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
113	112	eleq2i 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
114	113	orbi2i 517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) <-> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
115	110, 114	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
116	109, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
118	42, 100, 117	mpjaod 379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
119	118	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
120	119	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m = ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
121		simplll 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
122		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
123		simpl1 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
124		simpl2 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
125		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
126		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m = 0 )
127		nn0ge0 10756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
128	127	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> 0 <_ y )
129	126, 128	eqbrtrd 4400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m <_ y )
130	129	3ad2antl1 1156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m = 0 ) -> m <_ y )
131		simpl1 997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> y e. NN0 )
132		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
133		simpl3 999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( y + 1 ) )
134		simp3 996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
135		simp2 995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
136		simp1 994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
137		0red 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 e. RR )
138	48	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) e. RR )
139	76	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
140		nnm1ge0 10866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 0 <_ ( m - 1 ) )
141	140	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 <_ ( m - 1 ) )
142	46	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
143		1red 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
144	142, 143, 139	ltsubaddd 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( ( m - 1 ) < y <-> m < ( y + 1 ) ) )
145	134, 144	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) < y )
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 < y )
147	146	gt0ne0d 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y =/= 0 )
148		elnnne0 10744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN <-> ( y e. NN0 /\ y =/= 0 ) )
149	136, 147, 148	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN )
150		nnleltp1 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ y e. NN ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
151	135, 149, 150	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
152	134, 151	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ y )
154		elnn0 10732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
155	154	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
156	155	orcomd 386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
157	156	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
158	130, 153, 157	mpjaodan 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
159	158	orcd 390	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
161		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
162	161	olcd 391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
163		simp3 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
164	16	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
165	76	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
166		1red 9540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
167	165, 166	readdcld 9552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
168	164, 167	leloed 9657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ ( y + 1 ) <-> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) ) )
169	163, 168	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) )
170	160, 162, 169	mpjaodan 784	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
172	36, 120, 171	mpjaod 379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
173	172	exp31 602	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
174	32, 173	ralrimi 2792	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
175	174	ex 432	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 10892	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
177	176	ancri 550	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) )
178		nn0re 10739	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
179	178	leidd 10054	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ N )
180		breq1 4383	. . . 4 |- ( m = N -> ( m <_ N <-> N <_ N ) )
181		fveq2 5787	. . . . 5 |- ( m = N -> ( I ` m ) = ( I ` N ) )
182	181	eleq1d 2461	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` N ) e. RR+ ) )
183	180, 182	imbi12d 318	. . 3 |- ( m = N -> ( ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) ) )
184	183	rspccva 3147	. 2 |- ( ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) )
185	177, 179, 184	sylc 60	1 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1836   =/= wne 2587   A.wral 2742   class class class wbr 4380   |-> cmpt 4438   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422   + caddc 9424   x. cmul 9426   < clt 9557   <_ cle 9558   - cmin 9736   / cdiv 10141   NNcn 10470   2c2 10520   NN0cn0 10730   ZZ>=cuz 11019   RR+crp 11157   (,)cioo 11468   ^cexp 12088   sincsin 13820   picpi 13823   S.citg 22131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cc 8746  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-disj 4352  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-ofr 6458  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-omul 7071  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-acn 8254  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ioc 11473  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-bc 12302  df-hash 12327  df-shft 12921  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-limsup 13315  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-ef 13824  df-sin 13826  df-cos 13827  df-pi 13829  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-lp 19742  df-perf 19743  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-haus 19921  df-cmp 19992  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cncf 21486  df-ovol 21980  df-vol 21981  df-mbf 22132  df-itg1 22133  df-itg2 22134  df-ibl 22135  df-itg 22136  df-0p 22181  df-limc 22374  df-dv 22375

This theorem is referenced by:  wallispilem4  32051  wallispilem5  32052