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Theorem wallispilem3 32050
Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
Assertion
Ref Expression
wallispilem3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables  k  m  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4384 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  0 ) )
21imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( w  =  0  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
32ralbidv 2831 . . . 4  |-  ( w  =  0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
4 breq2 4384 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  y ) )
54imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
65ralbidv 2831 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
7 breq2 4384 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  ( y  +  1 ) ) )
87imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
98ralbidv 2831 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
10 breq2 4384 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  N ) )
1110imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1211ralbidv 2831 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
13 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  <_  0 )
14 nn0ge0 10756 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
1514adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  <_  m )
16 nn0re 10739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
1716adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  e.  RR )
18 0red 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  e.  RR )
1917, 18letri3d 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( m  =  0  <-> 
( m  <_  0  /\  0  <_  m ) ) )
2013, 15, 19mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  =  0 )
2120fveq2d 5791 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  =  ( I `
 0 ) )
22 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
2322wallispilem2 32049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  (
m  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  m )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  (
m  -  2 ) ) ) ) )
2423simp1i 1003 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 0 )  =  pi
25 pirp 22958 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
2624, 25eqeltri 2476 . . . . . . 7  |-  ( I `
 0 )  e.  RR+
2721, 26syl6eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
2827ex 432 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  0  ->  (
I `  m )  e.  RR+ ) )
2928rgen 2752 . . . 4  |-  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ )
30 nfv 1722 . . . . . . 7  |-  F/ m  y  e.  NN0
31 nfra1 2773 . . . . . . 7  |-  F/ m A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
3230, 31nfan 1946 . . . . . 6  |-  F/ m
( y  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
33 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
34 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
35 rsp 2758 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
3633, 34, 35sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
37 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  =  ( I ` 
1 ) )
3823simp2i 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I `
 1 )  =  2
39 2rp 11162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
4038, 39eqeltri 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I `
 1 )  e.  RR+
4137, 40syl6eqel 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
4323simp3i 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  m )  =  ( ( ( m  - 
1 )  /  m
)  x.  ( I `
 ( m  - 
2 ) ) ) )
4443adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  ( m  -  2
) ) ) )
45 eluz2nn 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  NN )
46 nnre 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
47 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
4846, 47resubcld 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR )
50 1m1e0 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  -  1 )  =  0
51 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
52 eluzelre 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR )
53 eluz2b2 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( m  e.  NN  /\  1  < 
m ) )
5453simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  m )
5551, 52, 51, 54ltsub1dd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  -  1 )  < 
( m  -  1 ) )
5650, 55syl5eqbrr 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( m  -  1 ) )
5749, 56elrpd 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR+ )
5845nnrpd 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR+ )
5957, 58rpdivcld 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
m  -  1 )  /  m )  e.  RR+ )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( m  - 
1 )  /  m
)  e.  RR+ )
61 breq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
m  <_  y  <->  k  <_  y ) )
62 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
I `  m )  =  ( I `  k ) )
6362eleq1d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6461, 63imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  <_  y  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( k  <_  y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) ) )
6564cbvralv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  <->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6766ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )
)
68 uznn0sub 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  2 )  e. 
NN0 )
6968adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  e.  NN0 )
7067, 69jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. k  e. 
NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ )  /\  ( m  - 
2 )  e.  NN0 ) )
71 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
72 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
73 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
74 simp2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
7574oveq1d 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  2 ) )
76 nn0re 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
77763ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
7877recnd 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
79 df-2 10529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
8180oveq2d 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) ) )
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
83 1cnd 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  1  e.  CC )
8482, 83, 83pnpcan2d 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( y  - 
1 ) )
8581, 84eqtrd 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  - 
1 ) )
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
8775, 86eqtrd 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
8877lem1d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( y  -  1 )  <_  y )
8987, 88eqbrtrd 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
9071, 72, 73, 89syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
91 breq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
k  <_  y  <->  ( m  -  2 )  <_ 
y ) )
92 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
I `  k )  =  ( I `  ( m  -  2
) ) )
9392eleq1d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( I `  k
)  e.  RR+  <->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) )
9491, 93imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  <->  ( ( m  -  2 )  <_  y  ->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
9594rspccva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  /\  ( m  -  2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( m  - 
2 )  <_  y  ->  ( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
)
9670, 90, 95sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
9760, 96rpmulcld 11211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  (
I `  ( m  -  2 ) ) )  e.  RR+ )
9844, 97eqeltrd 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
9998adantllr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
10099ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
101 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
102 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
103 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
104 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
105 nn0p1nn 10770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e.  NN )
1061053ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  NN )
107104, 106eqeltrd 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
108 elnnuz 11055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
110 uzp1 11052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) ) )
111 1p1e2 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
112111fveq2i 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  2 )
113112eleq2i 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
114113orbi2i 517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  <->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
115110, 114sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
116109, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
117101, 102, 103, 116syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
11842, 100, 117mpjaod 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
119118adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
120119ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
121 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
122 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
123 simpl1 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
124 simpl2 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
125 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
126 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  =  0 )
127 nn0ge0 10756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
128127adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  0  <_  y
)
129126, 128eqbrtrd 4400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
1301293ad2antl1 1156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
131 simpl1 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  NN0 )
132 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
133 simpl3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
134 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
135 simp2 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
136 simp1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
137 0red 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
138483ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
139763ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
140 nnm1ge0 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
1411403ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
142463ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
143 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
144142, 143, 139ltsubaddd 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
( m  -  1 )  <  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
145134, 144mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  <  y )
146137, 138, 139, 141, 145lelttrd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <  y )
147146gt0ne0d 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  =/=  0 )
148 elnnne0 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  <->  ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 ) )
149136, 147, 148sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN )
150 nnleltp1 10853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
151135, 149, 150syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
152134, 151mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
153131, 132, 133, 152syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <_  y )
154 elnn0 10732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  <->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
155154biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
156155orcomd 386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
1571563ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
158130, 153, 157mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
159158orcd 390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
160123, 124, 125, 159syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  <_  y  \/  m  =  (
y  +  1 ) ) )
161 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
162161olcd 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( m  <_ 
y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
163 simp3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
164163ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
165763ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
166 1red 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
167165, 166readdcld 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
168164, 167leloed 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  ( y  +  1 )  <->  ( m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) ) )
169163, 168mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
170160, 162, 169mpjaodan 784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
171121, 34, 122, 170syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
17236, 120, 171mpjaod 379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
173172exp31 602 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  (
y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
17432, 173ralrimi 2792 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
175174ex 432 . . . 4  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
( y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1763, 6, 9, 12, 29, 175nn0ind 10892 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
177176ancri 550 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 ) )
178 nn0re 10739 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
179178leidd 10054 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
180 breq1 4383 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
m  <_  N  <->  N  <_  N ) )
181 fveq2 5787 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
I `  m )  =  ( I `  N ) )
182181eleq1d 2461 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
183180, 182imbi12d 318 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  <_  N  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) ) )
184183rspccva 3147 . 2  |-  ( ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
185177, 179, 184sylc 60 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742   class class class wbr 4380    |-> cmpt 4438   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426    < clt 9557    <_ cle 9558    - cmin 9736    / cdiv 10141   NNcn 10470   2c2 10520   NN0cn0 10730   ZZ>=cuz 11019   RR+crp 11157   (,)cioo 11468   ^cexp 12088   sincsin 13820   picpi 13823   S.citg 22131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cc 8746  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-disj 4352  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-ofr 6458  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-omul 7071  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-acn 8254  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ioc 11473  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-bc 12302  df-hash 12327  df-shft 12921  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-limsup 13315  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-ef 13824  df-sin 13826  df-cos 13827  df-pi 13829  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-lp 19742  df-perf 19743  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-haus 19921  df-cmp 19992  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cncf 21486  df-ovol 21980  df-vol 21981  df-mbf 22132  df-itg1 22133  df-itg2 22134  df-ibl 22135  df-itg 22136  df-0p 22181  df-limc 22374  df-dv 22375
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