Theorem wallispilem3 31738

Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	|- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   I( x, n)   N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables k m y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4438	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( m <_ w <-> m <_ 0 ) )
2	1	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
3	2	ralbidv 2880	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
4		breq2 4438	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( m <_ w <-> m <_ y ) )
5	4	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
6	5	ralbidv 2880	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
7		breq2 4438	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( m <_ w <-> m <_ ( y + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
9	8	ralbidv 2880	. . . 4 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
10		breq2 4438	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( m <_ w <-> m <_ N ) )
11	10	imbi1d 317	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
12	11	ralbidv 2880	. . . 4 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m <_ 0 )
14		nn0ge0 10824	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> 0 <_ m )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 <_ m )
16		nn0re 10807	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m e. RR )
18		0red 9597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 e. RR )
19	17, 18	letri3d 9727	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( m = 0 <-> ( m <_ 0 /\ 0 <_ m ) ) )
20	13, 15, 19	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m = 0 )
21	20	fveq2d 5857	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) = ( I ` 0 ) )
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
23	22	wallispilem2 31737	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` 0 ) = pi /\ ( I ` 1 ) = 2 /\ ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) )
24	23	simp1i 1004	. . . . . . . 8 |- ( I ` 0 ) = pi
25		pirp 22723	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
26	24, 25	eqeltri 2525	. . . . . . 7 |- ( I ` 0 ) e. RR+
27	21, 26	syl6eqel 2537	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
28	27	ex 434	. . . . 5 |- ( m e. NN0 -> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
29	28	rgen 2801	. . . 4 |- A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ )
30		nfv 1692	. . . . . . 7 |- F/ m y e. NN0
31		nfra1 2822	. . . . . . 7 |- F/ m A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ )
32	30, 31	nfan 1912	. . . . . 6 |- F/ m ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
33		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
34		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
35		rsp 2807	. . . . . . . . 9 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
36	33, 34, 35	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
37		fveq2 5853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) = ( I ` 1 ) )
38	23	simp2i 1005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I ` 1 ) = 2
39		2rp 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
40	38, 39	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I ` 1 ) e. RR+
41	37, 40	syl6eqel 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ )
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
43	23	simp3i 1006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
44	43	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) )
45		eluz2nn 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. NN )
46		nnre 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. RR )
47		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
48	46, 47	resubcld 9990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. RR )
49	45, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR )
50		1m1e0 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 - 1 ) = 0
51		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
52		eluzelre 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR )
53		eluz2b2 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( m e. NN /\ 1 < m ) )
54	53	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < m )
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 10167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 - 1 ) < ( m - 1 ) )
56	50, 55	syl5eqbrr 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( m - 1 ) )
57	49, 56	elrpd 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR+ )
58	45	nnrpd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR+ )
59	57, 58	rpdivcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
60	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ )
61		breq1 4437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( m <_ y <-> k <_ y ) )
62		fveq2 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = k -> ( I ` m ) = ( I ` k ) )
63	62	eleq1d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = k -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` k ) e. RR+ ) )
64	61, 63	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = k -> ( ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) )
65	64	cbvralv 3068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
66	65	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
67	66	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) )
68		uznn0sub 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) e. NN0 )
70	67, 69	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) )
71		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. NN0 )
72		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
74		simp2 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
75	74	oveq1d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( ( y + 1 ) - 2 ) )
76		nn0re 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
77	76	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. RR )
78	77	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. CC )
79		df-2 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 = ( 1 + 1 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 2 = ( 1 + 1 ) )
81	80	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) )
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> y e. CC )
83		1cnd 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> 1 e. CC )
84	82, 83, 83	pnpcan2d 9971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( y - 1 ) )
85	81, 84	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
86	78, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) )
87	75, 86	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( y - 1 ) )
88	77	lem1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y - 1 ) <_ y )
89	87, 88	eqbrtrd 4454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y )
91		breq1 4437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( k <_ y <-> ( m - 2 ) <_ y ) )
92		fveq2 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( I ` k ) = ( I ` ( m - 2 ) ) )
93	92	eleq1d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( I ` k ) e. RR+ <-> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
94	91, 93	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) <-> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) )
95	94	rspccva 3193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) -> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) )
96	70, 90, 95	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ )
97	60, 96	rpmulcld 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) e. RR+ )
98	44, 97	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
99	98	adantllr 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
100	99	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
101		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
102		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
103		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
104		simp3 997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
105		nn0p1nn 10838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN )
106	105	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. NN )
107	104, 106	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
108		elnnuz 11123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109	107, 108	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110		uzp1 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) )
111		1p1e2 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
112	111	fveq2i 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
113	112	eleq2i 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> m e. ( ZZ>= ` 2 ) )
114	113	orbi2i 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) <-> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
115	110, 114	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
116	109, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
118	42, 100, 117	mpjaod 381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
119	118	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
120	119	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m = ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
121		simplll 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
122		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
123		simpl1 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
124		simpl2 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 )
125		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
126		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m = 0 )
127		nn0ge0 10824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> 0 <_ y )
129	126, 128	eqbrtrd 4454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m <_ y )
130	129	3ad2antl1 1157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m = 0 ) -> m <_ y )
131		simpl1 998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> y e. NN0 )
132		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
133		simpl3 1000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( y + 1 ) )
134		simp3 997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) )
135		simp2 996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN )
136		simp1 995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 )
137		0red 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 e. RR )
138	48	3ad2ant2 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) e. RR )
139	76	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
140		nnm1ge0 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 0 <_ ( m - 1 ) )
141	140	3ad2ant2 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 <_ ( m - 1 ) )
142	46	3ad2ant2 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
143		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
144	142, 143, 139	ltsubaddd 10151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( ( m - 1 ) < y <-> m < ( y + 1 ) ) )
145	134, 144	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) < y )
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 < y )
147	146	gt0ne0d 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y =/= 0 )
148		elnnne0 10812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN <-> ( y e. NN0 /\ y =/= 0 ) )
149	136, 147, 148	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN )
150		nnleltp1 10921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ y e. NN ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
151	135, 149, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) )
152	134, 151	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ y )
154		elnn0 10800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
155	154	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
156	155	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
157	156	3ad2ant2 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m = 0 \/ m e. NN ) )
158	130, 153, 157	mpjaodan 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y )
159	158	orcd 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
161		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) )
162	161	olcd 393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
163		simp3 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) )
164	16	3ad2ant2 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. RR )
165	76	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. RR )
166		1red 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR )
167	165, 166	readdcld 9623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
168	164, 167	leloed 9728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ ( y + 1 ) <-> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) ) )
169	163, 168	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) )
170	160, 162, 169	mpjaodan 784	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) )
172	36, 120, 171	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ )
173	172	exp31 604	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
174	32, 173	ralrimi 2841	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
175	174	ex 434	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) )
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 10962	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) )
177	176	ancri 552	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) )
178		nn0re 10807	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
179	178	leidd 10122	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ N )
180		breq1 4437	. . . 4 |- ( m = N -> ( m <_ N <-> N <_ N ) )
181		fveq2 5853	. . . . 5 |- ( m = N -> ( I ` m ) = ( I ` N ) )
182	181	eleq1d 2510	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` N ) e. RR+ ) )
183	180, 182	imbi12d 320	. . 3 |- ( m = N -> ( ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) ) )
184	183	rspccva 3193	. 2 |- ( ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) )
185	177, 179, 184	sylc 60	1 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   class class class wbr 4434   |-> cmpt 4492   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9807   / cdiv 10209   NNcn 10539   2c2 10588   NN0cn0 10798   ZZ>=cuz 11087   RR+crp 11226   (,)cioo 11535   ^cexp 12142   sincsin 13674   picpi 13677   S.citg 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-disj 4405  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-omul 7134  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-ioo 11539  df-ioc 11540  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-mod 11973  df-seq 12084  df-exp 12143  df-fac 12330  df-bc 12357  df-hash 12382  df-shft 12876  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-limsup 13270  df-clim 13287  df-rlim 13288  df-sum 13485  df-ef 13678  df-sin 13680  df-cos 13681  df-pi 13683  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-met 18284  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-fbas 18287  df-fg 18288  df-cnfld 18292  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-cld 19390  df-ntr 19391  df-cls 19392  df-nei 19469  df-lp 19507  df-perf 19508  df-cn 19598  df-cnp 19599  df-haus 19686  df-cmp 19757  df-tx 19933  df-hmeo 20126  df-fil 20217  df-fm 20309  df-flim 20310  df-flf 20311  df-xms 20693  df-ms 20694  df-tms 20695  df-cncf 21252  df-ovol 21746  df-vol 21747  df-mbf 21898  df-itg1 21899  df-itg2 21900  df-ibl 21901  df-itg 21902  df-0p 21947  df-limc 22140  df-dv 22141

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